बीजगणितीय मल्टीग्रिड: इंटरपोलेशन और प्रतिबंध के उत्पाद में मानक 1 के साथ कुछ क्यों नहीं होता है?

Question

मैं वर्तमान में ब्रिग्स एट अल, अध्याय 8 द्वारा "ए मल्टीग्रिड ट्यूटोरियल" के साथ काम कर रहा हूं।

प्रक्षेप ऑपरेटर का निर्माण निम्नानुसार दिया गया है:

फिर प्रतिबंध ऑपरेटर और ठीक ग्रिड ऑपरेटर का निर्माण निम्नानुसार दिया गया है:

मान लेते हैं कि हमारे पास तीन ग्रिड पॉइंट्स x0, X1, x2 हैं, जिनमें से एक एक्स 1 ठीक है और बाकी मोटे हैं। बीच वाला बीच में आता है x1 = x0*w0 + x2*w2। इसलिए, प्रक्षेप ऑपरेटर (मैटलैब में) है:

I = [1, 0, 0; w0, 0, w2; 0, 0, 1]

I =

[  1, 0,  0]
[ w0, 0, w2]
[  0, 0,  1]

प्रतिबंध ऑपरेटर तब है:

transpose(I)

ans =

[ 1, w0, 0]
[ 0,  0, 0]
[ 0, w2, 1]

अब देखते हैं कि क्या होगा अगर कोई प्रतिबंधित करेगा और फिर सीधे इंटरपोल करेगा, तो परिणाम क्या होगा Iऔर transpose(I):

I*transpose(I)

ans =

[  1,          w0,  0]
[ w0, w0^2 + w2^2, w2]
[  0,          w2,  1]

मुझे उम्मीद है कि यह मैट्रिक्स एक पहचान मैट्रिक्स की तरह कुछ है या कम से कम मानक 1 या कुछ होगा। लेकिन अगर हम x = [1, 1, 1] को w0 = w2 = 0.5 के लिए लागू करते हैं, तो हमें [1.5 1.5%] मिलेगा। मुझे लगता है कि बार-बार लागू प्रतिबंध-प्रक्षेप संचालन कुछ को कम से कम अभिसरण करेगा। लेकिन नहीं, उस मामले में सभी वेक्टर घटक हर प्रतिबंध-प्रक्षेप पर 1.5 से गुणा किए जाते हैं। जो मुझे बहुत अजीब लगता है।

क्या कोई समझा सकता है कि क्या चल रहा है?

Comments

आपका अंकन थोड़ा सा अनपेक्षित है कि आप प्रतिबंध ऑपरेटर को मैट्रिक्स के रूप में लिखते हैं । लेकिन यह निश्चित रूप से 3 नोड्स के ठीक स्थान से 2 नोड्स के मोटे स्थान पर होना चाहिए, इसलिए इसे मैट्रिक्स के रूप में लिखना उपयोगी होगा । $I$$3\times 3$$2\times 3$

— वोल्फगैंग बैंगर्थ

Answer 1

एक सरल स्पष्टीकरण - प्रतिबंध ऑपरेटर की सीमा मोटे ग्रिड स्थान है, जबकि प्रक्षेप ऑपरेटर की सीमा ठीक ग्रिड स्थान है। जब तक दोनों समान नहीं होते हैं, तो प्रक्षेप + प्रतिबंध पहचान मैट्रिक्स में परिणाम नहीं देगा, क्योंकि हमेशा घटक होंगे जो प्रतिबंध ऑपरेटर द्वारा काटे गए हैं और खो गए हैं। $x$

Comments

मैं समझता हूँ कि। लेकिन मैं कम से कम यह मानूंगा कि बार-बार प्रतिबंध और प्रक्षेप लागू करने से कुछ के खिलाफ अभिसरण होगा। लेकिन नहीं - उपरोक्त मामले में सभी वेक्टर तत्वों को हर प्रतिबंध-प्रक्षेप के लिए 1.5 से गुणा किया जाएगा। यह मुझे अजीब लगता है।

— माइकल

ज़रूर - कुछ छोटी प्रतिक्रियाएँ। (1) चौरसाई और सामान्यीकरण को ध्यान में नहीं रखा जाता है, जो आमतौर पर प्रक्षेप / प्रतिबंध के साथ मिलकर लागू होते हैं। (२) इसका एक हिस्सा वजन का विकल्प हो सकता है। ये अक्सर इंटरपोलेशन / प्रतिबंध ऑपरेटरों के विभिन्न विकल्पों के अनुरूप होते हैं, जिनमें से कुछ दूसरों की तुलना में बेहतर व्यवहार करते हैं। (3) अन्य इंटरप / प्रतिबंधित ऑपरेटर हैं जिनके लिए इंटरप + प्रतिबंधित एक प्रक्षेपण है। उदाहरण के लिए, आप मोटे से लेकर महीन ग्रिड तक वैश्विक अनुमान लगा सकते हैं, लेकिन यह महंगा है और एक सॉल्वर के लायक नहीं है।

— जेसी चान

Answer 2

$I^TI$

$E$$EI$$EI$$(EI)(EI)=EI$