FEM में, कठोरता मैट्रिक्स सकारात्मक निश्चित क्यों है?

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एफईएम कक्षाओं में, यह आमतौर पर दी जाती है कि कठोरता मैट्रिक्स सकारात्मक निश्चित है, लेकिन मैं अभी समझ नहीं पा रहा हूं। क्या कोई कुछ स्पष्टीकरण दे सकता है?

उदाहरण के लिए, हम पॉइसन समस्या पर विचार कर सकते हैं: जिसकी कठोरता मैट्रिक्स है: जो सममित और सकारात्मक निश्चित है। समरूपता एक स्पष्ट संपत्ति है, लेकिन सकारात्मक निश्चितता मेरे लिए इतनी खोजपूर्ण नहीं है।

- \nabla^{2} u = f,

$-\nabla^2 u = f,$

K_{i j} = \int_{Ω} \nabla φ_{i} \cdot \nabla φ_{j} d Ω,

$K_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, d\Omega,$

finite-element matrix stiffness

— user123
स्रोत

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यह वास्तव में उस आंशिक अंतर समीकरण पर निर्भर करता है जिसे आप हल करने की कोशिश कर रहे हैं। क्या आप उस व्यक्ति को जोड़ सकते हैं जिसमें आप रुचि रखते हैं?

— क्रिश्चियन क्लैसन

नमस्ते, @ क्रिसटन क्लैसन, आपकी टिप्पणी के लिए धन्यवाद। मैंने इस समस्या का एक ठोस उदाहरण जोड़ा है।

— user123

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कैविएट: सीमा स्थितियों के बिना, तत्व मैट्रिसेस से इकट्ठे पूर्ण सिस्टम कठोरता मैट्रिक्स, में पूर्ण रैंक नहीं है, क्योंकि इसमें कठोर शरीर गतियों के बराबर शून्य बलों को मैप करना है। इस प्रकार पूर्ण कठोरता मैट्रिक्स सकारात्मक सकारात्मक सबसे अच्छा हो सकता है। हालांकि, उचित सीमा स्थितियों के साथ, कठोर शरीर की गति अक्षम हो जाती है, और विवश प्रणाली तब निरर्थक है। (अन्यथा कोई इसे हल नहीं कर सका)। इसलिए, वास्तविक सकारात्मक निश्चितता को खोजने के लिए, आपको सीमा स्थितियों के आवेदन के परिणामस्वरूप संघनित मैट्रिक्स को देखना होगा।

— 12

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संपत्ति आंशिक अंतर के अनुरूप (कमजोर रूप) की संपत्ति से निम्नानुसार है; यह परिमित तत्व विधियों के फायदों में से एक है, उदाहरण के लिए, परिमित अंतर विधियों की तुलना में।

यह देखने के लिए, पहले याद रखें कि परिमित तत्व विधि पॉइसन समीकरण के कमजोर रूप से शुरू होती है (मैं यहां डिरिचलेट सीमा की स्थिति मान रहा हूं): $u\in H^1_0(\Omega)$ ऐसा है कि

a (u, v) := \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = \int_{Ω} f v d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) .

$a(u,v):= \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v \,dx = \int_\Omega fv\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega).$ यहां महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि

\begin{matrix} (1) & a (v, v) = ‖ \nabla v ‖_{L^{2}}^{2} \geq c ‖ v ‖_{H^{1}}^{2} for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}

$a(v,v) = \|\nabla v\|_{L^2}^2 \geq c \|v\|_{H^1}^2 \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega). \tag{1}$ (यह पोंकारे की असमानता का अनुसरण करता है।)

अब शास्त्रीय परिमित तत्व दृष्टिकोण अनंत-आयामी स्थान को परिमित-आयामी उप-स्थान और ऐसा यहाँ महत्वपूर्ण संपत्ति है। कि आप एक ही उपयोग कर रहे हैं और एक उप- (क अनुरूप discretization); इसका मतलब है कि आपके पास अभी भी $H^1_0(\Omega)$ $V_h\subset H^1_0(\Omega)$ $u_h\in V_h$

\begin{matrix} (2) & a (u_{h}, v_{h}) := \int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v_{h} d x = \int_{Ω} f v_{h} d x for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(u_h,v_h):= \int_\Omega \nabla u_h\cdot \nabla v_h \,dx = \int_\Omega fv_h\,dx \qquad\text{for all }v_h\in V_h.\tag{2}$

a

$a$

V_{h} \subset H_{0}^{1} (Ω)

$V_h\subset H^1_0(\Omega)$

\begin{matrix} (3) & a (v_{h}, v_{h}) \geq c ‖ v_{h} ‖_{H^{1}}^{2} > 0 for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(v_h,v_h) \geq c \|v_h\|_{H^1}^2 >0 \qquad\text{for all }v_h\in V_h. \tag{3}$

अब अंतिम चरण के लिए: रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है, तो आप एक आधार लेने के लिए परिवर्तन संबंधी प्रपत्र को बदलने के लिए की , लिखने और डालने , में । कठोरता मैट्रिक्स तब प्रविष्टियाँ (जो आपने लिखा है, उससे मेल खाता है)। $\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$ $V_h$ $u_h =\sum_{i=1}^N u_i\varphi_i$ $v_h=\varphi_j$ $1\leq j\leq N$ $(2)$ $K$ $K_{ij}=a(\varphi_i,\varphi_j)$

अब एक मनमाना वेक्टर और । फिर हमारे पास और (यानी, आप दोनों तर्कों में स्केलर और रकम को स्थानांतरित कर सकते हैं) चूँकि मनमाना था, इसका अर्थ है कि सकारात्मक निश्चित है। $\vec v=(v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$ $v_h:=\sum_{i=1}^Nv_i \varphi_i\in V_h$ $(3)$ $a$

{\vec{v}}^{T} K \vec{v} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} v_{i} K_{i j} v_{j} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} a (v_{i} φ_{i}, v_{j} φ_{j}) = a (v_{h}, v_{h}) > 0.

$\vec v^T K \vec v = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N v_iK_{ij} v_j = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N a(v_i\varphi_i,v_j\varphi_j) = a(v_h,v_h) >0.$

\vec{v}

$\vec v$

K

$K$

टीएल; डीआर: कठोरता मैट्रिक्स सकारात्मक निश्चित है क्योंकि यह एक (स्व-सहायक) अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण के अनुरूप विवेक से आता है ।

— क्रिश्चियन क्लैसन
स्रोत

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यदि तत्व की कठोरता सकारात्मक नहीं है, तो सिस्टम स्थिर नहीं है। इसलिए मॉडल सबसे अधिक सही नहीं है। हार्मोनिक थरथरानवाला के सबसे बुनियादी समीकरण को देखें

m x^{″} (t) + k x (t) = f (t)

$m x''(t) + k x(t) = f(t)$

यदि समाधान अस्थिर है नकारात्मक (विशेषता समीकरण के मूल पर नज़र) है। इसका मतलब है कि समाधान फूटेगा। कठोरता को बहाल करने वाला बल होना चाहिए। कम से कम एक भौतिक वसंत के लिए। कठोरता मैट्रिक्स बड़ी संख्या में तत्वों (वैश्विक कठोरता मैट्रिक्स) तक फैली हुई है। बस इतना ही। लेकिन यह एक ही मूल विचार है। FEM आधार संरचनात्मक विश्लेषण के लिए कठोरता मैट्रिक्स पद्धति में है जहां प्रत्येक तत्व के साथ जुड़ा हुआ कठोरता है। $k$

— नासिर
स्रोत