लॉग-लॉग स्पेस में इंटीग्रल

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मैं उन कार्यों के साथ काम कर रहा हूं, जो सामान्य रूप से, बहुत चिकनी हैं और लॉग-लॉग स्पेस में बेहतर व्यवहार करते हैं --- ताकि जहां मैं प्रक्षेप / एक्सट्रपलेशन, आदि करता हूं, और वह बहुत अच्छी तरह से काम करता है। क्या लॉग-लॉग स्थान में इन संख्यात्मक कार्यों को एकीकृत करने का एक तरीका है?

अर्थात, मैं कुछ खोजने के लिए एक संचयी अभिन्न (उदाहरण के लिए अजगर, उपयोग scipy.integrate.cumtrapz) करने के लिए कुछ सरल ट्रैपोज़ाइडल नियम का उपयोग करने की उम्मीद कर रहा हूं $F(r)$ सेंट

F (r) = \int_{0}^{r} y (x) d x

$F(r) = \int_0^r y(x) \, dx$

लेकिन मैं और (जब संभव हो) के बजाय मान और का उपयोग करने की उम्मीद कर रहा हूं । $log(y)$ $log(x)$ $y$ $x$

numerics integration

— DilithiumMatrix
स्रोत

मुझे यह लिंक ( my.originlab.com/forum/topic.asp?TOPIC_ID=1251 ) मिला, जो मुझे सामान्य रूप से उसी तरह से जाना जाता है: ढलान और लॉग-लॉग स्थान में अवरोधन। फिर लिन-लिन स्थान में परिवर्तित करें, एकीकृत करें और मूल्यांकन करें।

— ममस

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आप बस चर बदल सकते हैं। स्थापना $a=log(x)$ , $b(a)=log(y(x))$ । अभिन्न हो जाता है

$F(r)=\int^{log(r)}_{-\infty} exp(a+b) da$

आपको थोड़ा सावधान रहना होगा क्योंकि आप से एकीकरण कर रहे हैं $-\infty$ । आपको वास्तव में क्या करना है, इस पर निर्भर करेगा $y(x)$ की तरह लगता है।

— दमिश्क स्टील
स्रोत

आपके प्रतिक्रिया के लिए धन्येवाद! लेकिन मुझे लगता है कि यह प्रभावी रूप से रैखिक अंतरिक्ष में अभिन्न प्रदर्शन कर रहा है। हालांकि मैं कुछ असंभव के लिए पूछ रहा हूँ ...

— Dil लिथियमMatrix

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नहीं, यह लॉग स्पेस में इंटीग्रल करता है। जब विवेक,

d a

$da$ लॉग स्पेस में समान रूप से आकार है, रैखिक स्थान नहीं।

— दमिश्क स्टील

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@Dil लिथियमMatrix सही है: का विवेक

x

$x$ मान लॉग-स्पेस में हैं, लेकिन का प्रक्षेप

y

$y$ मान रैखिक स्थान में होता है। इस प्रकार, यदि आप ट्रेपोज़ॉइडल नियम का उपयोग करने वाले थे, तो प्रभावी रूप से एकीकृत होने वाला फ़ंक्शन लॉगरिदमिक एक्स-अक्ष और रैखिक वाई-अक्ष के साथ एक प्लॉट में रैखिक रैखिक है।

— बर्नपार्क

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मैं अजगर का उपयोग नहीं करता हूं, लेकिन अगर मैं सही तरीके से समझता हूं तो

F (r) = \int_{0}^{r} y (x) d x

$F(r)=\int_0^ry(x)dx$ आप कुछ सोच रहे हैं

F = i n t e g r a t e (y, x)

$\mathbf{F}=\mathrm{integrate}(\mathbf{y},\mathbf{x})$ कहाँ पे

F = [F_{1}, . . ., F_{n}]

$\mathbf{F}=[F_1,...,F_n]$ एक ग्रिड पर अभिन्न नमूना का एक सदिश नमूना है

x

$\mathbf{x}$ ।

हालाँकि आपके पास नमूने नहीं हैं $x$ तथा $y$ , बल्कि आपके पास के नमूने हैं $\hat{x}=\log(x)$ तथा $\hat{y}=\log(y)$ ।

बेशक सबसे सरल तरीका होगा

F = i n t e g r a t e (\exp (\hat{y}), \exp (\hat{x})),

$\mathbf{F}=\mathrm{integrate}(\exp(\mathbf{\hat{y}}),\exp(\mathbf{\hat{x}})) ,$ लेकिन यह त्रुटि-प्रवण होगा, क्योंकि

y (x)

$y(x)$ चिकनी नहीं है, भले ही

\hat{y} (\hat{x})

$\hat{y}(\hat{x})$ है।

अब ट्रैपेज़ॉइडल नियम अनिवार्य रूप से आपके इनपुट को मानता है $y(x)$ टुकड़ा रेखीय है। तो आपके लिए साधारण सामान्यीकरण यह माना जाएगा $\hat{y}(\hat{x})$ टुकड़ा रेखीय है।

इस मामले में, परिभाषित करना $\Delta F_k=F_{k+1}-F_k$ , आपके पास

Δ {एफ}_{क} = \int_{{एक्स}_{क}}^{{एक्स}_{क + 1}} y (एक्स) घ एक्स = \int_{{\hat{एक्स}}_{क}}^{{\hat{एक्स}}_{क + 1}} इ^{\hat{y} (\hat{एक्स})} इ^{\hat{एक्स}} घ \hat{एक्स} = \int_{{\hat{एक्स}}_{क}}^{{\hat{एक्स}}_{क + 1}} \tilde{y} (\hat{एक्स}) घ \hat{एक्स}

$\Delta F_k=\int_{x_k}^{x_{k+1}}y(x)dx =\int_{\hat{x}_k}^{\hat{x}_{k+1}}e^{\hat{y}(\hat{x})}e^\hat{x}d\hat{x} =\int_{\hat{x}_k}^{\hat{x}_{k+1}}\tilde{y}(\hat{x})d\hat{x}$

फिर, परिभाषित करना $t=(\hat{x}-\hat{x}_k)/\Delta \hat{x}_k$ , आपके पास

{\hat{y}}_{क + टी} \approx {\hat{y}}_{क} + टी Δ {\hat{y}}_{क}

$\hat{y}_{k+t} \approx \hat{y}_k + t \Delta \hat{y}_k$ तथा

\tilde{y} (t) \approx a e^{b t}

$\tilde{y}(t) \approx a e^{bt}$ , साथ में

a = e^{{\hat{y}}_{k} + {\hat{x}}_{k}}

$a=e^{\hat{y}_k+\hat{x}_k}$ तथा

b = Δ {\hat{y}}_{k} + Δ {\hat{x}}_{k}

$b=\Delta \hat{y}_k+\Delta \hat{x}_k$ ।

तो एकात्म हो जाता है

Δ F_{k} \approx a Δ \hat{x} \int_{0}^{1} e^{b t} d t = a Δ \hat{x} \frac{e^{b} - 1}{b}

$\Delta F_k \approx a \Delta \hat{x} \int_0^1e^{bt}dt = a \Delta \hat{x} \frac{e^b-1}{b}$

मतलाब में यह कुछ इस तरह दिखेगा

dlogx=diff(logx); dlogy=diff(logy); k=1:length(logx)-1;  
b=dlogx+dlogy; a=exp(logx+logy);  
dF=a(k).*dlogx.*(exp(b)-1)./b;  
F=cumsum([0,dF]);

उम्मीद है की यह मदद करेगा!

(संपादित करें: मेरा उत्तर अनिवार्य रूप से उसी अधिक संक्षिप्त उत्तर के समान है जो दमिश्क स्टील ने दिया था जैसा कि मैं टाइप कर रहा था। एकमात्र अंतर यह है कि मैंने उस मामले के लिए एक विशेष समाधान देने का प्रयास किया है जहां "विशेष" $y(x)$ "एक टुकड़ा-रैखिक है $\hat{y}(\hat{x})$ असतत पर विवेक $\mathbf{\hat{x}}$ जाल, साथ $F(\hat{x}_1)=0$ ।)

— GeoMatt22
स्रोत

आपकी (बहुत स्पष्ट) प्रतिक्रिया के लिए धन्यवाद, लेकिन जैसा कि मैंने अभी @DamascusSteel --- के जवाब में कहा है- मुझे लगता है कि यह सिर्फ रैखिक-रैखिक स्थान के अभिन्न अंग को बदल रहा है, और लॉग-स्पेस के लाभों को खो रहा है।

— Dil लिथियमMatrix

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@Dil लिथियमMatrix: यह दमिश्कसेल की तरह एक ही जवाब नहीं है। ध्यान दें कि दमिश्क के उत्तर के लिए ट्रेपोजॉइड-नियम लागू करने का जवाब नहीं दिया जाएगा

\frac{\exp (b) - 1}{b}

$\frac{\exp(b)-1}{b}$ कारक।

— बर्नपार्क

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यदि फ़ंक्शन लॉग-लॉग प्लॉट में सुचारू दिखता है, तो आप प्रत्येक अंतराल (पावर कानून, लॉग-लॉग में रैखिक) पर एक पावर लॉ का उपयोग करके प्रक्षेप कर सकते हैं। इस प्रकार, अंकों के बीच $(x_i, y_i)$ तथा $(x_{i+1}, y_{i+1})$ उस धारणा के तहत $y = C_i x^{n_i}$ अंतराल के भीतर $i$ , आप प्राप्त करते हैं $n_i = \ln(y_i/y_{i+1})/\ln(x_i/x_{i+1})$ तथा $C_i = \ln(y_i) - n_i\ln(x_i)$ । अंतराल से अभिन्न को योगदान $i$ तब है

Δ F_{i} = \int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} C_{i} x^{n_{i}} d x = {\begin{cases} \frac{C_{i}}{n_{i} + 1} (x_{i + 1}^{n_{i} + 1} - x_{i}^{n_{i} + 1}), & n_{i} \neq - 1 \\ C_{i} (\ln x_{i + 1} - \ln x_{i}), & n_{i} = - 1, \end{cases}

$\Delta F_i = \int_{x_i}^{x_{i+1}} C_i x^{n_i}dx = \left\{ \begin{array}{l@{\quad}l} \frac{C_i}{n_i + 1} (x_{i+1}^{n_i+1} - x_i^{n_i+1}), & n_i \neq -1 \\ C_i(\ln x_{i+1} - \ln x_i), & n_i=-1, \end{array} \right.$ जहां आपको स्पष्ट रूप से विशेष मामले की पहचान करने के लिए कुछ सहिष्णुता की आवश्यकता होती है

n_{i} = - 1

$n_i=-1$ आपके कार्यान्वयन में।

— स्टीफन बी लिंडस्ट्रोम
स्रोत

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मुझे लगता है कि पिछले जवाबों में चर के साथ-साथ कुछ त्रुटियों के परिवर्तन के साथ थोड़ा भ्रम है। एक लॉग फ़ंक्शन का अभिन्न इंटीग्रल का लॉग नहीं है। मुझे लगता है कि सामान्य रूप से किसी कार्य को अपने लॉग के अभिन्न अंग के रूप में जानना मुश्किल है। अगर किसी को पता है कि मुझे कैसे दिलचस्पी होगी।

इस बीच, @ स्टीफन का समाधान लॉग-लॉग स्पेस में किसी फ़ंक्शन को एकीकृत करने के लिए प्राप्त करने का तरीका है। शुरुआती बिंदु यह है कि आप जो कार्य कर रहे हैं वह छोटे पर्याप्त खंडों के लिए लॉग-लॉग स्थान में रैखिक है।

एक तब खंड के बिंदुओं पर रेखा के समीकरण को लिख सकता है:

\log (y_{1}) = m_{1} \log (x_{1}) + n_{1}

$\log(y_1)=m_1 \log(x_1) + n_1$

\log (y_{2}) = m_{1} \log (x_{1}) + n_{1}

$\log(y_2)=m_1 \log(x_1) + n_1$

where $m_1$ is the slope of the line and $n_1$ is its y-intercept.

By subtracting the two, one can find:

m_{1} = \frac{\log (y_{1}) - l o g (y_{2})}{\log (x_{1}) - l o g (x_{2})}

$m_1=\frac{\log(y_1) -log(y_2)}{\log(x_1)-log(x_2)}$

and from substitution:

n_{1} = \log (y_{1}) - m_{1} \log (x_{1})

$n_1=\log(y_1)-m_1 \log(x_1)$

If in the log-log space the equation of a segment is close to a line then in normal (linear) space the equation of the segment is close to an exponential:

y (x) ≃ x^{m} e^{n}

$y(x)\simeq x^{m} e^{n}$

If we have a analytical formulation for this segment it is easy to integrate:

\int_{x_{1}}^{x_{2}} y (x) d x = \frac{e^{n_{1}}}{m_{1} + 1} (x_{2}^{m_{1} + 1} - x_{1}^{m_{1} + 1}), for m \neq - 1

$\int_{x_1}^{x_2}y(x)dx = \frac{e^{n_1}}{m_1+1}(x_2^{m_1+1}-x_1^{m_1+1}), \,\, \text{for } \, m\neq -1$

and

\int_{x_{1}}^{x_{2}} y (x) d x = e^{n_{1}} \log \frac{x_{2}}{x_{1}}, for m = - 1

$\int_{x_1}^{x_2}y(x)dx = e^{n_1} \log \frac{x_2}{x_1},\, \,\text{for } \, m = -1$

This feels a bit like cheating, but this is sampling in log-log space such that we can approximate the function in the linear space to an exponential with parameters derived from the log-log space.

— Elena Pascal
स्रोत

This is wonderful @elenapascal, this has been bothering me for over 3 years now, and I think this is (or is very close to) the solution. I don't quite following your last relation, I don't think the integral over y equal to the log(x2/x1)

— DilithiumMatrix

In particular, if I take the log of the integral on the left-hand-side, then I get a similar term to the right hand side, but with log([x_2/x_1]^{m_1+1} + 1), i.e. there is an additional +1 in the argument of the log

— DilithiumMatrix

It bothered me a lot today as well, only after I wrote it I realised @Stefan had posted the same answer. For m=-1 you just replace that in the definition of y: y(x)=e^n/x. That gives logs. I'm not sure I follow your second post

— Elena Pascal

I just realized the same thing, but I hadn't fully understood until I read your explanation

— DilithiumMatrix

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The solution I use is basically an implementation of the trapezium rule and makes use of the scipy.misc.logsumexp function to maintain precision. If you have some function lny that returns the logarithm of y then you can do, e.g.:

from scipy.misc import logsumexp
import numpy as np

xmin = 1e-15
xmax = 1e-5

# get values of x spaced logarithmically
xvs = np.logspace(np.log10(xmin), np.log10(xmax), 10000)

# evaluate your function at xvs
lys = lny(xvs)

# perform trapezium rule integration
deltas = np.log(np.diff(xvs))
logI = -np.log(2.) + logsumexp([logsumexp(lys[:-1]+deltas), logsumexp(lys[1:]+deltas)])

The value logI is the log of the integral that you want.

स्पष्ट रूप से यह काम नहीं करेगा यदि आपको सेट करने की आवश्यकता है xmin = 0। लेकिन, यदि आपके पास अभिन्न के लिए कुछ गैर-शून्य सकारात्मक निचली सीमा है, तो आप xvsएक संख्या को खोजने के लिए अंक के साथ खेल सकते हैं जहां अभिन्न अभिसरण करता है।

— मैट पिटकिन
स्रोत