परिमित तत्व विश्लेषण में परीक्षण समारोह का उद्देश्य क्या है?

लहर समीकरण में:

c^{2} \nabla \cdot \nabla u (x, t) - \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} = f (x, t)

$c^2 \nabla \cdot \nabla u(x,t) - \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = f(x,t)$

एकीकृत करने से पहले हम पहले परीक्षण फ़ंक्शन $v(x,t)$ से गुणा क्यों करते हैं ?

finite-element

— एंडी
स्रोत

संक्षिप्त उत्तर: क्योंकि परिमित तत्व विधि कमजोर निरूपण का विवेक है, न कि मजबूत निरूपण (जो आपने दिया है)। मध्यम उत्तर: क्योंकि आप एक परिमित आयामी फ़ंक्शन को खोजने के लिए सुनिश्चित नहीं हो सकते हैं जैसे कि समीकरण संतुष्ट है; सबसे अच्छे रूप में आप अवशिष्ट के लिए परिमित-आयामी समाधान स्थान के लिए ऑर्थोगोनल होने की उम्मीद कर सकते हैं - या समकक्ष रूप से, उस स्थान के किसी भी तत्व के लिए ऑर्थोगोनल (जो कि एक परीक्षण कार्य है)। भागों द्वारा एकीकरण उतना महत्वपूर्ण नहीं है, और आपके मामले में समरूपता के लिए। लंबे उत्तर एक टिप्पणी के लिए बहुत लंबा है :)

— ईसाई क्लैसन

एक और संक्षिप्त विवरण: यदि आप सिर्फ एकीकृत करते हैं और शून्य पर सेट होते हैं, तो आप गायब होने का मतलब पूछ रहे हैं - बिल्कुल नहीं जो आप देख रहे हैं, क्योंकि तब डोमेन के एक हिस्से में अवशिष्ट बहुत बड़ा हो सकता है, जब तक कि यह दूसरे में विपरीत संकेत के साथ बड़ा है। सार में परीक्षण कार्य प्रत्येक तत्व के अवशिष्ट को "स्थानीयकृत" करता है।

— क्रिश्चियन क्लैसन

: एक वैकल्पिक व्याख्या के लिए, यह जवाब देखने scicomp.stackexchange.com/questions/16331/...

— पॉल

जवाबों:

आप इसके पीछे की तरफ आ रहे हैं। औचित्य को बेहतर रूप से देखा जाता है, जो परिवर्तनशील सेटिंग से शुरू होकर मजबूत रूप में काम करता है। एक बार जब आप ऐसा कर लेते हैं, तो परीक्षण फ़ंक्शन द्वारा गुणा करने और फिर एकीकृत करने की अवधारणा को उन समस्याओं पर लागू किया जा सकता है, जहां आप कम से कम समस्या के साथ शुरू नहीं करते हैं।

इसलिए उस समस्या पर विचार करें, जहाँ हम कम से कम (और औपचारिक रूप से काम करना चाहते हैं और यहाँ कठोरता से नहीं):

I (u) = \frac{1}{2} \int_{Ω} (\nabla u (x))^{2} d x

$I(u) = \frac {1}{2} \int_\Omega (\nabla u(x))^2 \; dx$

$\partial\Omega$ $I$ $u$

I^{'} (u (x), v (x)) = lim_{h \to 0} \frac{d}{d h} I (u (x) + h v (x))

$I'(u(x),v(x))=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{d}{dh}I(u(x)+hv(x))$

जहां सिर्फ एक अदिश राशि है। आप देख सकते हैं कि यह एक स्केलर चर के स्केलर कार्यों के लिए व्युत्पन्न की पारंपरिक परिभाषा के समान है, लेकिन ऐसे कार्यात्मक तक विस्तारित जो स्केलर को वापस दे देते हैं, लेकिन उनके डोमेन फ़ंक्शन पर हैं। $h$ $I$

यदि हम इसे हमारे (ज्यादातर चेन नियम का उपयोग करते हुए) के लिए गणना करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं $I$

I^{'} (u, v) = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x

$I'(u,v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx$

न्यूनतम खोजने के लिए इसे शून्य पर सेट करने पर, हमें एक समीकरण मिलता है, जो लाप्लास के समीकरण के लिए कमजोर कथन जैसा दिखता है:

\int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = 0

$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx = 0$

अब, यदि हम डाइवर्जेंस थेर्म (उर्फ मल्टी-डिमेसिनल इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स) का उपयोग करते हैं, तो हम व्युत्पन्न को ले सकते हैं और इसे प्राप्त करने के लिए पर रख सकते हैं। $v$ $u$

- \int_{Ω} \nabla \cdot (\nabla u) v d x + boundary terms = 0

$-\int_\Omega \nabla \cdot (\nabla u) v \; dx + \text {boundary terms} = 0$

अब यह वास्तव में दिखता है जहां आप शुरू करते हैं जब आप आंशिक अंतर समीकरण से एक कमजोर बयान का निर्माण करना चाहते हैं। इस विचार को देखते हुए, आप इसे किसी भी पीडीई के लिए उपयोग कर सकते हैं, बस एक परीक्षण फ़ंक्शन से गुणा कर सकते हैं, एकीकृत कर सकते हैं, डायवर्जन प्रमेय लागू कर सकते हैं, और फिर विवेक कर सकते हैं।

— बिल बार्थ
स्रोत

मैं इसे भारित अवशिष्ट को कम करने के संदर्भ में समझाना पसंद करूंगा।

— nicoguaro

@nicoguaro, ठीक है तो आप उस उत्तर को लिख सकते हैं, और हम देखेंगे कि कौन सा व्यक्ति ओपी को अधिक समझ में आता है। :)

— बिल बर्थ

+1 यह इंगित करने के लिए कि कमजोर रूप वास्तव में (या कम से कम अक्सर) मजबूत रूप से अधिक प्राकृतिक है।

— ईसाई क्लैसन

दिलचस्प। एक स्पर्शरेखा की तरह, लेकिन इस तरह के व्युत्पन्न पर विचार करने के लिए "अब कई अच्छी तरह से ट्रोड तरीके हैं" के बारे में : मैंने जो सीखा है वह एकमात्र तरीका है जिसका आपने उल्लेख किया है। अन्य प्रकार क्या हैं?

— user541686

@ मेहरदाद यह विधि एक दिशात्मक व्युत्पन्न की गणना करती है और यह पुष्टि करती है कि यह एक रैखिक ऑपरेटर है ( ) और इसलिए यह Gâteaux व्युत्पन्न है। आप दूसरी दिशा से भी आ सकते हैं: एक रेखीय ऑपरेटर (उदाहरण के लिए, वास्तविक कार्यों के साथ सादृश्य द्वारा) का अनुमान लगाएं और सत्यापित करें कि यह एक प्रकार के पहले-क्रम टेलर सन्निकटन संपत्ति को संतुष्ट करता है। तब यह एक फ्रेटी व्युत्पन्न है (और इसलिए यह भी एक Gâteaux व्युत्पन्न है)।

h

$h$

— क्रिश्चियन क्लैसन

जैसा कि मैंने पहले उल्लेख किया है, मैं एक कमजोर अवशिष्ट के रूप में कमजोर रूप के बारे में सोचना पसंद करता हूं।

हम एक अनुमानित समाधान खोजना चाहते हैं । हमें अवशिष्ट के रूप में परिभाषित करते हैं $\hat{u}$

R = c^{2} \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^{2} \hat{u}}{\partial t^{2}} - f (x, t)

$R = c^2 \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial t^2} - f(x,t)$

सटीक समाधान के मामले के लिए अवशिष्ट डोमेन पर शून्य फ़ंक्शन है। हम एक अनुमानित समाधान ढूंढना चाहते हैं जो "अच्छा" है, अर्थात, जो "छोटा" बनाता है । तो, हम अवशिष्ट (उदाहरण के लिए कम से कम वर्ग विधियों) के मानक को कम करने की कोशिश कर सकते हैं, या इसके कुछ औसत। इसे करने का एक तरीका भारित अवशिष्ट की गणना करना है, अर्थात् भारित अवशिष्ट को कम करना $R$

\int_{Ω} w R d Ω

$\int\limits_\Omega wR d\Omega$

इसके बारे में एक महत्वपूर्ण बात यह है कि यह एक कार्यात्मक परिभाषित करता है, इसलिए आप इसे कम कर सकते हैं। यह उन कार्यों के लिए काम कर सकता है जिनके पास एक परिवर्तनशील रूप नहीं है। मैं इस पोस्ट में थोड़ा और वर्णन करता हूं । आप समारोह का चयन कर सकते समारोह का एक ही स्थान की जा रहा है की तरह है, अलग अलग तरीकों से (Galerkin विधि), डिराक डेल्टा कार्य (मोरचा तरीकों), या एक मौलिक समाधान (सीमा तत्वों विधि)। $w$ $\hat{u}$

यदि आप पहले मामले का चयन करते हैं, तो आप @BillBarth द्वारा वर्णित एक समीकरण के साथ समाप्त हो जाएंगे।

— निकोगुआरो
स्रोत