संख्यात्मक विश्लेषण में Nitsche की विधि का सामान्य विचार क्या है?

मुझे पता है कि नित्शे का तरीका एक बहुत ही आकर्षक तरीका है क्योंकि यह लैरींग मल्टीप्लायरों के उपयोग के बिना एक खराब तरीके से घर्षण सीमा की स्थिति के साथ ड्यूरिचलेट प्रकार की सीमा की स्थिति या संपर्क की अनुमति देता है। और इसका लाभ, जो कि एक ड्यूरिचेल बाउंड्री कंडीशन को एक कमजोर रूप में एक न्यूमैन सीमा स्थिति के रूप में बदलना है, इस तथ्य से भुगतान किया जाता है कि कार्यान्वयन मॉडल पर निर्भर है।

हालाँकि, यह मेरे लिए बहुत सामान्य प्रतीत होता है। क्या आप मुझे इस पद्धति का अधिक विशिष्ट विचार दे सकते हैं? एक सरल उदाहरण की सराहना की जाएगी।

— अनह-थि दिन्ह
स्रोत

मुझे नहीं लगता कि मैं आपके प्रश्न को काफी समझता हूं। आप सही तरीके से पहचानते हैं कि विधि का आविष्कार क्यों किया गया था (कमजोर रूप में डिरिचलेट की स्थिति को संभालने के लिए)। "हालांकि, इसका क्या मतलब है यह मेरे लिए बहुत सामान्य है। क्या आप मुझे इस पद्धति का अधिक विशिष्ट विचार दे सकते हैं? एक सरल उदाहरण महंगा है।"

— वुल्फगैंग बंगर्थ

@WolfgangBangerth: मुझे इस विचार के लिए एक (सरल) उदाहरण की आवश्यकता है। यह मेरे लिए बहुत सार है।

— आन-थि दिनेह

@ ओलिवर: मैं आपको "महंगा" के रूप में "प्रिय", "अनमोल", अर्थात् "सराहना" के रूप में मान रहा हूं? मैंने शब्द बदलने की स्वतंत्रता ली है; यदि आप असहमत हैं, तो संपादित करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें।

— क्रिश्चियन क्लैसन

नित्शे का तरीका असंबंधित गैलेर्किन विधियों से संबंधित है (वास्तव में, जैसा कि वोल्फगैंग बताते हैं, यह इन विधियों का एक अग्रदूत है), और एक समान फैशन में प्राप्त किया जा सकता है। आइए सबसे सरल समस्या पर विचार करें, पॉइसन का समीकरण: अब हम एक वैचारिक सूत्रीकरण की तलाश में हैं

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} - Δ यू & = च पर Ω, \\ यू & = जी पर \partial Ω । \end{aligned} \end{matrix}

$\left\{\begin{aligned} -\Delta u &= f \qquad\text{on }\Omega,\\ u &= g \qquad\text{on }\partial\Omega. \end{aligned}\right. \tag{1}$

(यानी, सुसंगत) में (कमजोर) समाधान से संतुष्ट है , $u\in H^1(\Omega)$
और में सममित है , $u$ $v$
एक अद्वितीय समाधान स्वीकार करता है (जिसका अर्थ है कि बिलिनियर फॉर्म ज़बरदस्त है)।

हम सामान्य रूप से अंतर समीकरण के मजबूत रूप को लेकर शुरू करते हैं, एक परीक्षण फ़ंक्शन गुणा करके और भागों द्वारा एकीकृत करते हैं। दाईं ओर से शुरू करके, हम जहां अंतिम समीकरण में हमने सीमा पर उत्पादक शून्य जोड़ा है । अलग रैखिक और bilinear रूपों को मामले में उलटफेर अब एक सममित द्विरेखीय रूप है कि समाधान के लिए संतुष्ट हो जाता है के लिए एक परिवर्तन संबंधी समीकरण देता की । $v\in H^1(\Omega)$

\begin{aligned} (f, v) = (- Δ u, v) & = (\nabla u, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} u v d s \\ = (\nabla u, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} u v d s - \int_{\partial Ω} (u - g) \partial_{ν} v d s \end{aligned}

$\begin{aligned} (f ,v) = (-\Delta u,v)&=(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds \\ &= (\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} (u-g)\partial_\nu v\,ds \end{aligned}$

0 = u - g

$0=u-g$

u \in H^{1} (Ω)

$u\in H^1(\Omega)$

(1)

$(1)$

द्विरेखीय प्रपत्र लेकिन आक्रामक नहीं है, क्योंकि आप इसे नीचे से बाध्य नहीं कर सकते हैं के लिए द्वारा (हम मनमाने ढंग से किसी भी सीमा की स्थिति की जरूरत नहीं है के रूप में , हम हमेशा की तरह पोंकारे की असमानता का उपयोग नहीं कर सकते हैं - इसका मतलब है कि हम बिलिनियर फॉर्म को बदले बिना मान के हिस्से को मनमाने ढंग से बड़ा कर सकते हैं)। इसलिए हमें एक और (सममित) शब्द जोड़ने की जरूरत है जो सही समाधान के लिए गायब हो जाता है: कुछ पर्याप्त बड़ा। (सममित, संगत, बलपूर्वक) को यह सुराग कमजोर सूत्रीकरण: खोजें ऐसा है कि $u=v$ $c\|v\|_{H^1}^2$ $v\in H^1(\Omega)$ $L^2$ $\eta\int_{\partial\Omega} (u-g)v\,ds$ $\eta>0$ $u\in H^1(\Omega)$

(\nabla यू, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} यू v घ रों - \int_{\partial Ω} यू \partial_{ν} v घ रों + η \int_{\partial Ω} यू v घ रों = - \int_{\partial Ω} जी \partial_{ν} v घ रों + η \int_{\partial Ω} जी v घ रों + \int_{Ω} च v घ एक्स सबके लिए v \in {एच}^{1} (Ω) ।

$(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} u\partial_\nu v\,ds +\eta\int_{\partial\Omega} u v\,ds = -\int_{\partial\Omega} g\partial_\nu v\,ds + \eta\int_{\partial\Omega} g v\,ds + \int_\Omega f v\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1(\Omega).$

बजाय असतत सन्निकटन में सामान्य गैलरकिन सन्निकटन पैदा करता है। ध्यान दें कि चूंकि यह सीमा स्थितियों के कारण गैर-अनुरूप है (हम एक अंतरिक्ष में असतत समाधान की तलाश कर रहे हैं, जो कि हम निरंतर समाधान की मांग की तुलना में बड़ा है), कोई भी उस समस्या से असतत समस्या का अच्छी तरह से सामना नहीं कर सकता है निरंतर समस्या। Nitsche ने अब दिखाया कि अगर को के रूप में पर्याप्त रूप से बड़ा चुना जाता है, तो असतत समस्या वास्तव में स्थिर है (एक उपयुक्त मेष-निर्भर मानदंड के संबंध में)। $u,v\in H^1(\Omega)$ $u_h,v_h\in V_h\subset H^1(\Omega)$ $\eta$ $ch^{-1}$ $c>0$

(यह नित्शे की मूल व्युत्पत्ति नहीं है, जो बंद गैलरकिन विधियों को पूर्व निर्धारित करता है और एक समतुल्य न्यूनतम समस्या से शुरू होता है। वास्तव में, उनके मूल पेपर में बिलिनियर फॉर्म का उल्लेख बिल्कुल नहीं है, लेकिन आप इसे उदाहरण के लिए, जैसे फ्रायंड और स्टेनबर्ग में पा सकते हैं । दूसरे क्रम की समस्याओं के लिए कमजोर रूप से लगाए गए सीमा की शर्तों पर, नौवीं इंटक की कार्यवाही । कॉन्फिडेंट । फ़िनाइट एलिमेंट्स इन फ़्लुइड्स, वेनिस 1995। एम। मोरांडी सेची एट अल।, ईडीएस। पीपी। 327-336 )।

— ईसाई क्लासन
स्रोत

आपका पहला वाक्य गलत नहीं है, लेकिन ऐतिहासिक रूप से गलत है: नित्शे का विचार पहले आया और उसने बंद गैलेरकिन विधियों के विकास को प्रेरित किया। उस ने कहा, यह अन्यथा उत्कृष्ट जवाब से दूर नहीं है।

— वोल्फगैंग बैंगर्थ

@WolfgangBangerth आप निश्चित रूप से सही हैं; कोई भी कारण निहित नहीं था, केवल सहसंबंध। लेकिन उचित एट्रिब्यूशन देना महत्वपूर्ण है, खासकर उन लोगों के लिए जो अन्यथा कम स्थानांतरित हो जाते हैं। मैं स्पष्ट करने के लिए संपादित करूँगा।

— क्रिश्चियन क्लैसन

प्रश्न: 1. क्या आप अतिरिक्त सीमा शब्द को जोड़ने से पहले व्यापकता के मुद्दे पर अधिक विस्तार कर सकते हैं? 2. यहाँ "गैर-अनुरूपता" का क्या अर्थ है? 3. मुझे लगा कि मैं पढ़ता हूं कि स्थिरता बिलिनियर फॉर्म की जबरदस्ती का एक स्वचालित परिणाम है ..? हालांकि यह स्पष्टीकरण काफी अच्छा है (केवल स्पष्टीकरण जो मुझे वास्तव में मिल गया है), क्या कोई भी तुलना के लिए विधि (और / या इसके व्युत्पत्ति) के किसी अन्य समग्र स्पष्टीकरण से जुड़ सकता है? यहां तक कि अगर मैं मूल पेपर का पता लगा सकता हूं, तो यकीन नहीं कि इससे बहुत मदद मिलेगी। फ्रायंड और स्टेनबर्ग पेपर केवल एक छोटे से सिनोप्सिस और एक जोड़े को विशिष्ट देता है

— नाइट्स

गैर- : असतत समाधान स्थान निरंतर समाधान स्थान उप-समूह नहीं है - क्योंकि सीमा की स्थिति केवल एक कमजोर अर्थ में लागू की जाती है। यहाँ एक संभावित उपयोगी लिंक है ।

V_{h}

$V_h$

H_{g}^{1} (Ω)

$H_g^1(\Omega)$

— गोहोकिस

@ रातें मैंने आपके बिंदुओं (अपने दूसरे पैराग्राफ में, स्पष्ट रूप से छोड़कर) को संबोधित करने के लिए उत्तर को संपादित किया है।

— क्रिश्चियन क्लैसन