क्या पुनरावृत्त विधि इस तरह के स्पेक्ट्रम के साथ एक रैखिक प्रणाली को प्रभावी ढंग से हल कर सकती है

Question

मेरे पास मैट्रिक्स के साथ एक रैखिक प्रणाली है जो eigenvalues ​​समान रूप से यूनिट सर्कल पर वितरित की जाती है:

क्या पुनरावृत्ति विधि से इस तरह की प्रणाली को प्रभावी ढंग से हल करना संभव है, शायद कुछ पूर्व शर्त के साथ?

Comments

मुझे लगता है कि MINRES ऐसा करेगा, हालांकि मैं केवल एक वास्तविक स्पेक्ट्रम के लिए एक समान परिणाम जानता हूं। क्या आप मैट्रिक्स के बारे में अधिक जानते हैं (विशेष रूप से, क्या यह सामान्य है)?

— क्रिश्चियन क्लैसन

इसके अलावा, पेज

— क्रिश्चियन

यह कागज भी एक अच्छा संदर्भ है। विशेष रूप से, संयुग्म ढाल विधि को सामान्य समीकरणों में लागू करना ( ), जबकि बड़ी स्थिति संख्या वाले मेट्रिसेस के लिए असावधान, आपके मामले में काम कर सकता है, क्योंकि एकवचन मान 1. के करीब दिखते हैं$A^*Ax = A^*b$

— डैनियल शापेरो

@ChristianClason सामान्य स्थिति में मैट्रिक्स सामान्य नहीं है। इसकी एक निश्चित ब्लॉक संरचना है और विरल है। संदर्भ के लिए धन्यवाद!

— faleichik

यदि मैट्रिक्स अत्यधिक गैर-सामान्य है, तो CGNE का मेरा सुझाव गलत है, लेकिन उस पेपर को एक अच्छी शुरुआत होना चाहिए। लाइब्रेरी पेट्सक के पास सूर्य के नीचे हर क्रायलोव सबसपस सॉल्वर है, इसलिए आप उन सभी को आज़मा सकते हैं और देख सकते हैं कि कौन सा काम सबसे अच्छा है। इसके लिए एक पायथन इंटरफ़ेस भी है, जो चीजों को बहुत अधिक सुविधाजनक बनाता है।

— डैनियल शेपरो

Answer 1

मैट्रिक्स बहुत अच्छी तरह से वातानुकूलित है, इसलिए GMRES (k) को बिना पूर्व शर्त के ठीक काम करना चाहिए।

Comments

हालांकि मैट्रिक्स अच्छी तरह से वातानुकूलित है, लेकिन यह जरूरी नहीं है कि जीएमआरईएस अच्छी तरह से परिवर्तित हो। ऑक्टेव (मतलाब) उदाहरण: `एन = 100; ए = आंख (एन); पी = [एन, 1: -1]; ए = ए (:, पी); हालत_नंबर = कंडोम (ए), बी = आंख (; n, 1) + रैंड (n, 1) * 1e-6; [x, झंडा, रिले, iter, resvec] = gmres (A, b); सभी को बंद करें; semilogy (resvec); आंकड़ा; कथानक (eig) ),) "।"; `

— विम

@wim: आप सही कह रहे हैं; मैं अच्छे कारण के बिना मान रहा था कि सामान्य था। $A$

— अर्नाल्ड न्यूमैयर