FEM में lumped mass मैट्रिक्स कैसे तैयार करें

जब समय पर निर्भर PDE परिमित तत्व विधि का उपयोग करते हुए हल करता है, उदाहरण के लिए गर्मी समीकरण कहते हैं, यदि हम स्पष्ट समय का उपयोग करते हैं तो हमें बड़े पैमाने पर मैट्रिक्स के कारण एक रैखिक प्रणाली को हल करना होगा। उदाहरण के लिए यदि हम गर्मी समीकरण उदाहरण के साथ चिपके रहते हैं,

$\frac{\partial{u}}{\partial{t}} = c\nabla{}^{2}u$

फिर आगे यूलर का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

$M(\frac{u^{n+1}-u^{n}}{dt}) = -cKu^{n}$

और इस प्रकार भले ही हम एक स्पष्ट समय की कदम योजना का उपयोग कर रहे हैं लेकिन हमें अभी भी एक रैखिक प्रणाली को हल करना है। यह स्पष्ट रूप से एक बड़ी समस्या है क्योंकि स्पष्ट योजनाओं का उपयोग करने का प्राथमिक लाभ एक रैखिक प्रणाली को हल करना नहीं है। मैंने पढ़ा है कि इस समस्या को हल करने का एक सामान्य तरीका इसके बजाय "गांठदार" मास मैट्रिक्स का उपयोग करना है जो नियमित (सुसंगत) मास मैट्रिक्स को एक विकर्ण मैट्रिक्स में बदल देता है और इस प्रकार उलटा तुच्छ बनाता है। हालाँकि, Google खोज करने पर मुझे अभी भी पूरी तरह से यकीन नहीं है कि यह लम्प्ड मास मैट्रिक्स कैसे बनाया जाता है। उदाहरण के लिए, वह शोध -प्रसार के स्तर के लिए बड़े पैमाने पर न्युमेरिक विशेषज्ञों को देख रहा है।एडसन वेंडलैंड हैरी और एडमर शुल्ज़ द्वारा वे विकर्ण पर सभी गुणांकों को संक्षेप में जोड़कर अपने गांठदार द्रव्यमान मैट्रिक्स का निर्माण करते हैं। उदाहरण के लिए अगर हमारा मूल सुसंगत द्रव्यमान मैट्रिक्स था:

(\begin{matrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4\end{pmatrix}$

फिर गांठ वाला मास मैट्रिक्स होगा:

(\begin{matrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9\end{pmatrix}$

मेरा सवाल तो यह है: क्या यह सही तरीका है कि गांठ वाले मास मैट्रिक्स को बनाया जाए? सटीकता के मामले में पूर्ण सुसंगत द्रव्यमान मैट्रिक्स के बजाय गांठ वाले जन मैट्रिक्स का उपयोग करते समय क्या नुकसान मौजूद हैं? मैंने जिन कागजों का उल्लेख किया है, उनके लेखक ने वास्तव में गांठ वाले द्रव्यमान मैट्रिक्स का उपयोग नहीं करने का सुझाव दिया था, हालांकि ऐसा लगता था कि वे केवल एक अंतर्निहित समय की कदम योजना का उपयोग कर रहे थे, जो मुझे लगा कि यह अजीब था कि ऐसे मेट्रिसेस का उपयोग करने का प्राथमिक कारण स्पष्ट तरीकों के लिए है।

नोट: मैं गर्मी समीकरण को हल करने के लिए आगे यूलर का उपयोग कभी नहीं करूंगा, यह सिर्फ एक उदाहरण था। इसके अलावा अगर यह मायने रखता है कि मेरी समस्या नवियर स्टोक्स समीकरणों को हल कर रही है जहां गैर-रेखीय शब्द को स्पष्ट रूप से व्यवहार किया जाता है और प्रसार शब्द का व्यवहार किया जाता है।

धन्यवाद

finite-element time-integration navier-stokes

— जेम्स
स्रोत

जहां तक मैं इसे समझता हूं, द्रव्यमान मैट्रिक्स समय के संबंध में स्थिर है, इसलिए आपको केवल एक एलयू फैक्टराइजेशन करने की आवश्यकता है, और फिर शेष कार्य अलग-अलग दाएं हाथ पर संचालन होगा, जो कि अच्छा नहीं लगता है, क्योंकि आप वैसे भी मैट्रिक्स-सदिश गुणकों के साथ कुछ ऐसा ही कर रहे हैं।

O (n^{2})

$O(n^{2})$

— ज्योफ ऑक्सीबेरी

हां मैं यह कर सकता था कि अगर मैं एक प्रत्यक्ष सॉल्वर का उपयोग कर रहा था, लेकिन अगर मैं पीसीजी या कुछ अन्य पुनरावृत्त सॉल्वर का उपयोग कर रहा हूं, तो मुझे नहीं लगता कि इससे मदद मिलेगी

— जेम्स

मैं व्यक्तिगत रूप से सामूहिक रूप से गांठ लगाने पर भरोसा नहीं करता। कम्प्यूटेशनल रूप से, यह आपको कोई फायदा नहीं देता है जब तक कि आप स्पष्ट समय के लिए कदम नहीं उठाते हैं, उस स्थिति में विकर्ण द्रव्यमान मैट्रिक्स को हल करने में बहुत आसान बनाता है। यदि आप एक अंतर्निहित समय कदम विधि का उपयोग कर रहे हैं, तो आप मैट्रिक्स में किसी भी तरह का कोई लाभ नहीं उठा सकते हैं। मुझे लगता है कि आप एक सुसंगत मैट्रिक्स का उपयोग न करके केवल उस बिंदु पर त्रुटि प्राप्त करते हैं।

— पॉल

मुझे आश्चर्य है कि किसी ने चतुर्भुज के लिए फ्राइड और मार्कस (1975) की विधि का उल्लेख नहीं किया है, जो ट्रंकेशन त्रुटि के नुकसान से बचने के लिए लॉबेटो बिंदुओं पर नोड्स का उपयोग करता है। जब तक आपको क्यूबिक्स नहीं मिलता है, तब तक कोई मुद्दा नहीं है, लेकिन यह सीरपिपिटी तत्वों को रोकता है। विचार को त्रिभुज तक विस्तारित किया गया है, लेकिन इसके लिए एक विशेष आधार और चतुर्भुज की आवश्यकता है।

— एल। यंग

मुझे नहीं लगता कि इसका कोई निश्चित उत्तर है, क्योंकि यह एक विषय से दूसरे में बदल सकता है (और यह भी निर्भर करता है कि आप किस प्रकार के तत्वों का उपयोग कर रहे हैं)। हाल ही में कुछ कागजात के बारे में बात कर रहे हैं, साथ ही साथ [2]। तो, यह एक बंद चर्चा नहीं है। इसके अलावा, आपके पास विभिन्न जड़त्वीय घटक (कम से कम यांत्रिकी में) हो सकते हैं, जब आपके पास बीम या गोले के रूप में गतिज बाधाओं के साथ तत्व होते हैं।

Zienkiewicz (देखें [१], खंड १६.२.४) द्रव्यमान मैट्रिक्स को लुभाने के लिए तीन तरीकों पर चर्चा करें

पंक्ति योग विधि
$म_{मैं मैं}^{(lumped)} = \underset{जे}{Σ} म_{मैं जे}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = \sum_j M_{ij}$
विकर्ण स्केलिंग साथ समायोजित करने के लिए ।
$म_{मैं मैं}^{(lumped)} = सी म_{मैं मैं}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = c M_{ii}$ $c$ $\sum_j M^{(\text{lumped})}_{jj} = \int_\Omega \rho d\Omega$
एक नोड का उपयोग करते हुए का मूल्यांकन केवल नोडल बिंदुओं को शामिल करता है और इस प्रकार स्वचालित रूप से एक विकर्ण मैट्रिक्स को मानक तत्व आकार फ़ंक्शन के लिए wich में , । $M$ $N_i=0$ $x=x_j$ $i\neq j$

सभी मामलों में सभी तरीके काम नहीं करते हैं, उदाहरण के लिए, पंक्ति योग विधि 8-नोड सेरिंडिपिटी तत्वों के लिए काम नहीं करती है क्योंकि यह नकारात्मक द्रव्यमान को जन्म देगा।

मैंने तत्व 2 को तत्व के कुल द्रव्यमान के साथ उपयोग किया है ( ) मैट्रिक्स के ट्रेस द्वारा विभाजित ( ), अर्थात $M_{\text{tot}}$ $\mathrm{Tr}(M)$

म_{मैं मैं}^{(lumped)} = \frac{म_{मुन्ना}}{टी आर (म)} म_{मैं मैं} (पर कोई योग नहीं मैं) ।

$M^{(\text{lumped})}_{ii} = \frac{M_{\text{tot}}}{\mathrm{Tr}(M)} M_{ii} \quad \text{(no summation on $i$)} \enspace .$

मैंने तथाकथित स्पेक्ट्रल एलिमेंट मेथड्स के साथ लॉबेटो नोड्स (नोड्स और इंटीग्रेशन पॉइंट के रूप में इन स्थानों का उपयोग करके) के साथ विधि 3 का भी उपयोग किया है, जो स्वचालित रूप से विकर्ण मैट्रिसेस को जन्म देता है।

[1] से, आप कुछ तत्व प्रकारों के लिए कुछ तरीकों का वर्णन करते हुए इस आंकड़े को देख सकते हैं कुछ दो आयामी परिमित तत्वों के लिए द्रव्यमान की गांठ

संदर्भ

[१] झू, जे।, जेडआरएल टेलर, और ओसी जिंकविक्ज़। "परिमित तत्व विधि: इसका आधार और मूल तत्व।" (2005): 54-102।

[२] फेल्प्पा, कार्लोस ए।, क्वियन गुओ और केसी पार्क। "मास मैट्रिक्स टेम्प्लेट: सामान्य विवरण और 1d उदाहरण।" इंजीनियरिंग में अभिलेखागार के तरीके 22.1 (2015): 1-65।

— निकोगुआरो
स्रोत