एक ब्लैक-बॉक्स कार्यात्मक का अनुमान नॉर्म

Question

चलो $V$ आदर्श के साथ एक परिमित आयामी वेक्टर अंतरिक्ष हो $\|\cdot\|$ और जाने $F : V \rightarrow \mathbb R$एक बाउंडेड लीनियर फंक्शनल हो। इसे केवल ब्लैक-बॉक्स के रूप में दिया जाता है।

के मानदंड का अनुमान लगाना चाहूंगा $F$(ऊपर और नीचे से)। जैसा$F$ एक ब्लैक-बॉक्स है, ऐसा करने का एकमात्र तरीका यूनिट वैक्टर से इसका परीक्षण करना है $V$ और, परिणाम के आधार पर, खोजें $v \in S^1 V$ वह अधिकतम हो जाता है $|F(v)|$।

क्या आप ऐसे एल्गोरिथ्म को जानते हैं? मेरे मन में जो अनुप्रयोग है,$V$ एक परिमित तत्व स्थान है और $F$ उस जगह पर एक जटिल कार्यात्मक है।

संपादित करें: मेरा पहला विचार चुनना है $v \in S^1 V$ बेतरतीब ढंग से, कई दिशाओं में इसे बढ़ाएं, कहते हैं, $v_1,\dots,v_k$, और उसके बाद प्रक्रिया को दोहराएं $v_i$ यह सबसे बड़ा है $F(v_i)$। मुझे नहीं पता कि इस समस्या के लिए एल्गोरिदम और विश्लेषण कहां मिलेगा।

Comments

क्या आदर्श एक ब्लैक बॉक्स भी है? या यह Banach रिक्त स्थान के लिए सामान्य मानदंड है,$\|\cdot\|_\infty$?

— जैक पॉल्सन

इसके अलावा, क्या आप किसी क्षेत्र में (या एक बिंदु पर) इस मानदंड में रुचि रखते हैं, जहां फ़ंक्शन में निरंतर व्युत्पन्न है?

— जेड ब्राउन

@ जैक: वेक्टर अंतरिक्ष का आदर्श कम्प्यूटेबल है, और एक परिमित तत्व स्पेस पर इसे मास मैट्रिक्स और कठोरता मैट्रिक्स द्वारा गणना की जा सकती है। ($0$-थ और $1$-स्ट डेरिवेटिव)।

— शुहालो

@Jed: $F$रैखिक है, इसलिए यह पहले से ही अलग है।

— शुहालो

Answer 1

अगर आपका स्पेस $V$ हिल्बर्ट स्थान है, फिर रिस्ज़ प्रमेय कहता है कि आप प्रतिनिधित्व कर सकते हैं $F(v)=\left< f, v \right>$ और आप गणना कर सकते हैं $f$जैसा कि आप इकाई वैक्टर बाहर की कोशिश करके उल्लेख करते हैं। यदि अंतरिक्ष उच्च आयामी है, तो यह अव्यावहारिक हो जाता है, लेकिन आप कम से कम अनुमान लगा सकते हैं$f$ कंप्यूटिंग के द्वारा $F(v)$ यादृच्छिक वैक्टर के एक अनुक्रम के लिए $v$।

Answer 2

हो सकता है कि आप हैगर की स्थिति संख्या अनुमानक को संशोधित कर सकते हैं (देखें, उदाहरण के लिए, http://eprints.ma.man.ac.uk/321/01/35608.pdf )$\|A^{-1}\|$ का एक कारक $A$ जाना जाता है, अपने विशेष मामले के लिए काम करने के लिए।