क्या प्रत्यक्ष सॉल्वर मैट्रिक्स की स्थिति संख्या से प्रभावित होते हैं?

Question

अगर मैं अपेक्षाकृत छोटी समस्या को हल कर सकता था, यानी एक ऐसी समस्या जिसे एलयू जैसी प्रत्यक्ष विधि द्वारा नियंत्रित किया जा सकता है, तो क्या रैखिक ऑपरेटर की स्थिति संख्या समाधान की सटीकता को प्रभावित करती है?

मैं जिन शोध समस्याओं पर काम कर रहा हूं उनमें से एक समीकरण की रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए अनुकूलन तकनीकों के विकास पर केंद्रित है, और मैं जिन "मुद्दों" में चल रहा हूं, उनमें मैट्रिस की संख्या बहुत अधिक हो सकती है।

यह विचार करने के लिए एक महत्वपूर्ण कारक होगा कि क्या मैं एक पुनरावृत्त विधि और पूर्व-निर्माता का उपयोग कर सकता हूं, लेकिन अभी मैं छोटी समस्याओं (स्वतंत्रता की 1M डिग्री से कम) को हल कर रहा हूं, इसलिए एक सीधा समाधान अभी के लिए उपयुक्त है।

Answer 1

$Ax = b$$O(\kappa(A) \cdot \varepsilon)$$\varepsilon$$1 + \varepsilon > 1$$\varepsilon \approx 10^{-16}$$10^{12}$

पुनरावृत्त सॉल्वर के लिए, मैट्रिक्स स्थिति संख्या अनंत-सटीक अंकगणित में भी शो में प्रवेश करती है क्योंकि यह अक्सर एल्गोरिथम के सैद्धांतिक अभिसरण दर को निर्धारित करता है। प्रत्यक्ष सॉल्वरों के साथ, यह केवल एक विचार बन जाता है जब आप इस तथ्य को ध्यान में रखते हैं कि आपका कंप्यूटर परिमित परिशुद्धता में संचालित होता है।