क्या सममित सामान्यीकृत ईजेनवल्यू समस्या के लिए सिल्वेस्टर जड़ता कानून का सामान्यीकरण है?

Question

मुझे पता है कि सममित eigenvalue समस्या को हल करने में , हम कर सकते हैं सिलवेस्टर जड़ता कानून, कि eigenvalues के की संख्या है का उपयोग कम से कम के नकारात्मक प्रविष्टियों की संख्या के बराबर होती है जहां विकर्ण मैट्रिक्स से आता है का एलडीएल कारक । फिर, द्विभाजन विधि से, हम सभी या कुछ स्वदेशी इच्छानुसार पा सकते हैं। मैं जानना चाहता हूं कि क्या सममित सामान्यीकृत आइगेनवेल्यू समस्याओं के लिए सिल्वेस्टर जड़ता कानून का एक सामान्यीकरण मौजूद है, जो कि को हल कर रहा है , जहां और सममित मैट्रिक हैं। धन्यवाद।$Ax = \lambda x$$A$$a$$D$$D$$A-aI = LDL^{T}$$Ax= \lambda Bx$$A$$B$

Answer 1

हां, अगर पेंसिल निश्चित है, यानी, यदि और हरमिटियन हैं और सकारात्मक निश्चित है। फिर के हस्ताक्षर से आइजनवेल्यू समस्या लिए एक ही व्याख्या होती है जैसा कि मामले में । इस तरह का एक अधिक सामान्य परिणाम किसी भी निश्चित nonlinear eigenvalue समस्या । मेरी पुस्तक का खंड 5.3 देखें$A$$B$$B$$A-\sigma B$$(A-\lambda B)x=0$$B=I$$A(\lambda)x=0$

अर्नोल्ड न्यूमैयर, संख्यात्मक विश्लेषण का परिचय, कैम्ब्रिज यूनिव। प्रेस, कैम्ब्रिज 2001।

के लिए , मेरे दावे का प्रमाण जैक पॉल्सन द्वारा दिए गए तर्क से माना जा सकता है कि और बधाई हैं, इसलिए समान जड़ता है।$(A-\lambda B)x=0$$C-\sigma I$$A-\sigma B$

विशेष रूप से, कोई सीधे की जड़ता की गणना कर सकता है , और को बनाने के लिए चोल्स्की कारक की आवश्यकता नहीं । वास्तव में, अगर बीमार वातानुकूलित है तो के संख्यात्मक गठन जड़ता परीक्षण की गुणवत्ता खराब हो।$A-\sigma B$$B$$C$$B$$C$

Comments

बी के बीमार कंडीशनिंग के बारे में अच्छी बात; मुझे लगता है कि आपका दृष्टिकोण बेहतर है अगर कोई वास्तव में केवल जड़ता की गणना करने में रुचि रखता है। मेरे द्वारा सुझाया गया दृष्टिकोण वास्तव में eigenvalue समस्या को हल करने के लिए विशिष्ट है (मामले में जहां अच्छी तरह से वातानुकूलित है)। $B$

— जैक पोल्सन

@JackPoulson: और विरल होने पर एक विशिष्ट अंतराल में आईजेनवेल्यू प्राप्त करने के लिए आमतौर पर जड़ता परीक्षण लागू किया जाता है और उनका संयुक्त स्पार्सिटी पैटर्न बहुत अधिक मात्रा में नहीं भरता है। लेकिन आपका पहले ही निष्क्रिय हो जाएगा जब ट्रिडिएंगल होगा, इसलिए इसका उपयोग करना। एक बड़ी विरल सामान्यकृत स्वदेशी समस्या के आइगेनवेल्यूज को खोजने के लिए कभी भी उपयुक्त नहीं है। (हालांकि, यदि समस्या बड़ी नहीं है, तो जड़ता का उपयोग करने में बहुत कम बिंदु है, क्योंकि सभी eigenvalues ​​को खोजने में आमतौर पर पर्याप्त तेजी है।)$A$$B$$C$$B$

— अर्नोल्ड न्यूमैयर

निश्चित रूप से; ऐसा लगता है कि मैंने गलती से अपनी टिप्पणी से "घने" शब्द छोड़ दिया।

— जैक पॉल्सन

Answer 2

इस मामले में जहां हर्मिटियन और पॉजिटिव-निश्चित है, का चोल्स्की फैक्टरलाइजेशन , कहते हैं , कि$B$$B$$B = L L^H$

$$Ax=LL^H x \lambda,$$

और इस समीकरण को दिखाने के लिए हेरफेर किया जा सकता है

$$(L^{-1} A L^{-H})(L^H x) = (L^H x) \lambda,$$

जहाँ यह स्पष्ट होना चाहिए कि की समरूपता को संरक्षित रखता है , और पेंसिल के समान स्पेक्ट्रम भी है । इस प्रकार, बनाने के बाद , दो-तरफा त्रिकोणीय हल के बाद चोल्स्की फैक्टरलाइज़ेशन के साथ , आप सीधे पेंसिल के आइगेनवेल्स के बारे में जानकारी चमकाने के लिए पर सिल्वेस्टर जड़ता कानून लागू कर सकते हैं ।$C \equiv L^{-1} A L^{-H}$$A$$(A,B)$$C$$C$$(A,B)$

ध्यान दें कि, चूंकि सिल्वेस्टर की जड़ता का नियम अनुरूपता परिवर्तनों के संबंध में अपरिवर्तनीय है , उदाहरण के लिए, , तो मैट्रिक्स , माध्यम से से परिवर्तनशील अनुरूप है। , और इसलिए में जैसी जड़ता है । हालांकि, अगर कुछ गैर-परिवर्तन शिफ्ट लिए की जड़ता वांछित है , तो हम अब केवल विचार नहीं कर सकते ।$S \cdot S^H$$C$$A$$L^{-1} \cdot L^{-H}$$C$$A$$C-\sigma I$$\sigma$$A$

Comments

किसी भी रचनात्मक आलोचना के बिना एक पतन?

— जैक पॉल्सन

मैंने अपने कार्यालय के कंप्यूटर पर लॉग-आउट नहीं किया है, और मेरे ऑफ़िसमेट ने अपने ब्राउज़र में इस टैब में चलने के लिए हुआ और उत्तर को अस्वीकार कर दिया, मैं गलतफहमी के लिए माफी मांगता हूं और उनसे पूछूंगा कि उन्होंने इसे क्यों डाउनवोट किया।

— शुआओ काओ

आप बिलकुल सही थे, जब एक spd मैट्रिक्स है, जोड़ी , हम बस को देख सकते हैं कि हम क्या चाहते हैं। हालाँकि, मेरे ऑफ़िसमेट ने कहा कि आपने इस सवाल का जवाब नहीं दिया कि क्या केवल समरूपता है। गलतफहमी के लिए खेद है। $B$$(A,B)$$A$$B$

— शुआओ काओ

@ जौन: आहें। यह नहीं है कि नीचे के लिए क्या है।

— जैक पोल्सन

मुझे पता है! मैंने पहले ही उनसे कहा "कृपया नियम पढ़ें" जब मैंने पाया कि उन्होंने मेरे खाते का उपयोग एक प्रासंगिक उत्तर को अस्वीकार करने के लिए किया है!

— शुआओ काओ