FEM: कठोरता मैट्रिक्स की विलक्षणता

{(σ^{2} (x) u^{″} (x))}^{″} = f (x), 0 ⩽ x ⩽ 1

$\left( \sigma^{2}(x) u ''(x) \right)'' = f(x), \;\;\; 0 \leqslant x \leqslant 1$

u (0) = u (1) = 0

$u(0) = u(1) = 0$

u^{″} (0) = u^{″} (1) = 0

$u''(0) = u''(1) = 0$

σ (x) ⩾ σ_{0} > 0

$\sigma(x) \geqslant \sigma_{0} > 0$

A u = f

$Au = f$

A

$A$

FEM योजना के बाद, मैं अपनी समस्या को एक अनुकूलन समस्या

J (u) = (A u, u) - 2 (f, u) \to min_{u}

$J(u) = (Au,u) - 2(f,u) \to \min_{u}$ सीमित करता हूं, मैं परिमित तत्वों

h_{k} (x)

$h_{k}(x)$ को

रूप में

करता

v_{k} (x) = {\begin{aligned} 1 - {(\frac{x - x_{k}}{h})}^{2}, & x \in [x_{k - 1}, x_{k + 1}] \\ 0, & otherwise \end{aligned}

$v_{k}(x) = \left\{ \begin{array}{rl} 1 - \left( \frac{x-x_{k}}{h} \right)^2, & x \in [x_{k-1},x_{k+1}] \\ 0, & \text{otherwise} \end{array} \right.$ किसी भी

k = 1, \dots, n - 1

$k = 1,\ldots,n-1$ , जहां

x_{k} = h k

$x_{k} = hk$ ,

h = \frac{1}{n}

$h = \frac{1}{n}$ । परिमित तत्व

v_{0} (x)

$v_{0}(x)$ और

v_{n} (x)

$v_{n}(x)$ समान रूप से पेश किए गए हैं।

मैं सदिश को खोजने की कोशिश करता हूं $\alpha$ जैसे कि $u(x) = \sum_{k=0}^{n} \alpha_{k} v_{k}(x)$ अनुकूलन समस्या को हल करता है। हमारे पास

J (u) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n} α_{i} α_{j} (A v_{i}, v_{j}) - \sum_{i = 0}^{n} 2 α_{i} (v_{i}, f) = α^{T} V α - 2 α^{T} b \to min_{α},

$J(u) = \sum\limits_{i=0}^{n} \sum\limits_{j=0}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j} (Av_{i},v_{j}) - \sum\limits_{i=0}^{n} 2\alpha_{i} (v_{i},f) = \alpha^{T} V \alpha - 2\alpha^{T} b \to \min\limits_{\alpha},$ जहां

b_{i} = (f, v_{i})

$b_{i} = (f,v_{i})$ और

V_{i, j} = (A v_{i}, v_{j})

$V_{i,j} = (Av_{i},v_{j})$ ।

संबंध में भेदभाव के बाद

α

$\alpha$ मुझे

प्राप्त होता है

V α = b,

$V\alpha = b,$ लेकिन यहां कठोरता मैट्रिक्स

V

$V$ विलक्षण है। तो मुझे क्या करना है? शायद मुझे अन्य परिमित तत्वों को चुनना होगा?

finite-element

— अधिरोपण
स्रोत

नमस्ते, निमज़ा, क्या आपके पास एक परीक्षण समस्या है जिसे आप सटीक समाधान जानते हैं? यदि हाँ, तो परीक्षण करने के लिए

V^{T} V α = V^{T} b

$V^T V \alpha = V^T b$ को हल करें यदि आपका आधार डोमेन के अंदर सही है, यदि सब कुछ सही दिखता है, तो हो सकता है कि यह गलत तरीके से लगाया गया बीसी मैट्रिक्स विलक्षण बनाता है। लेकिन ईसा पूर्व मुझे ठीक लगता है।

— शुआओ काओ

जवाबों:

संभावना के घटते क्रम में

गलत आधार। आपके वर्णन से, ऐसा प्रतीत होता है कि आपके पास प्रत्येक तत्व पर समर्थन के साथ दो द्विघात कार्य हैं। वह स्थान एकता का विभाजन नहीं और (निरंतर पहला व्युत्पन्न) नहीं है। सीधे अपने चौथे क्रम की समस्या को दूर करने के लिए (उदाहरण के लिए, दूसरे आदेश समीकरणों की प्रणाली में इसे कम करने के बजाय), आपको आधार की आवश्यकता होगी । ध्यान दें कि आधार सभी रैखिक कार्यों को वास्तव में पुन: पेश करने में सक्षम होना चाहिए। $C^1$ $C^1$ $C^1$
अपर्याप्त सीमा की स्थिति। यदि आप रिक्त स्थान की गणना करते हैं और साजिश करते हैं तो यह स्पष्ट रूप से स्पष्ट होगा।
गलत विधानसभा। तत्वों से मानचित्र की जांच करके यह सुनिश्चित करने के लिए इकट्ठे क्रम में आएँ कि आपको क्या उम्मीद है, उदाहरण के लिए कि यह तत्वों के उन्मुखीकरण को उलट नहीं रहा है।
गलत स्थानीय सभा। 1 डी में, आप विश्लेषणात्मक रूप से गणना कर सकते हैं कि तत्व कठोरता मैट्रिक्स क्या दिखता है (शायद एक सरलीकृत मामले के लिए) और जांचें कि कोड इसे पुन: पेश करता है।

— जेड ब्राउन
स्रोत

धन्यवाद। 1. मुझे लगता है कि मुझे आधार की आवश्यकता होगी क्योंकि । फिर, यदि मैं केवल उन कार्यों पर विचार करता हूं जो सीमा की स्थितियों को संतुष्ट करते हैं तो ।

C^{2}

$C^2$

(A u, v) = \int_{0}^{1} σ^{2} (x) u^{″} (x) v^{″} (x) d x

$(Au,v) = \int_{0}^{1} \sigma^{2}(x) u''(x) v''(x) dx$

\ker A = {0}

$\ker A = \{ 0 \}$

— अधिरोपण

A आधार पर्याप्त है, अभिन्न आवश्यकता निरंतर नहीं होनी चाहिए। ध्यान दें कि दूसरे डेरिवेटिव पर सीमा की स्थिति एक सीमा अभिन्न अंग बन जाएगी। आप चौथे क्रम की समस्या के प्रत्यक्ष विवेकाधिकार के लिए आधार का उपयोग कर सकते हैं , लेकिन आपको पहले और दूसरे आदेश सिस्टम के लिए बंद Galerkin विधियों के साथ कूद की शर्तों को एकीकृत करने की आवश्यकता होगी। यह एक बुरा तरीका नहीं है, लेकिन यह 1 डी में अनावश्यक रूप से जटिल है क्योंकि निरंतरता के किसी भी क्रम के साथ आधारों का निर्माण करना बहुत आसान है (जैसे विभाजन)। यह पेपर " DG" का एक उदाहरण है ।

C^{1}

$C^1$

C^{0}

$C^0$

C^{0}

$C^0$

— जेड ब्राउन

ठीक है। मैंने अपना आधार सही किया: अब को छोड़ दिया और । अब यह । लेकिन विधि अभी भी काम नहीं करती है।

v_{k} (x) = \cos^{2} (\frac{π}{2 h} (x - x_{i}))

$v_{k}(x) = \cos^2 \left(\frac{\pi}{2h}(x-x_{i}) \right)$

[x_{i - 1}, x_{i + 1}]

$[x_{i-1},x_{i+1}]$

i = 1, \dots, n - 1

$i = 1,\ldots,n-1$

C^{1}

$C^1$

— Appliqué

आधार कार्यों रैखिक पुन: पेश करने में सक्षम होना चाहिए, लेकिन यह नहीं कर सकता। एक बार जब आप इसे ठीक कर लेते हैं, तो जांचें कि इंटीग्रल सही ढंग से किया जा रहा है, फिर सीमा की स्थिति की जांच करें।

C^{1}

$C^1$

— जेड ब्राउन

स्पष्ट रूप से समस्या का एक ODD क्रम व्युत्पन्न है। अधिक विशेष रूप से बड़े Péclet संख्याओं के लिए , कठोरता मैट्रिक्स 'ठीक' आकार को बनाए नहीं रख सकता है, जो असेंबली के दौरान शून्य बनाता है और इसलिए विलक्षण या कभी-कभी बहुत छोटे निर्धारक हो जाता है जो समाधान प्लॉट में दोलनों द्वारा ध्यान देने योग्य होते हैं।

इस तरह की समस्या का समाधान अन्य तरीकों के अलावा, दंड का उपयोग है। अधिक विशेष रूप से इसे पेट्रोव-गैलेर्किन विधि कहा जाता है ।

मेरी बुरी अंग्रेजी समझ के लिए क्षमा करें।

— सोहेल अहमद
स्रोत