क्रिएलोव उप-विधि विधि से आंतरिक eigenvalues ​​कैसे खोजें?

Question

मैं सोच रहा हूँ कि पुनरावृत्त विधि द्वारा दिए गए अंतराल [a, b] में कुछ विरल मैट्रिक्स के आइगेनवेल्यूज़ कैसे खोजे जा सकते हैं। मेरी व्यक्तिगत समझ के लिए, आंतरिक लोगों के बजाय चरम eigenvalues ​​को खोजने के लिए क्रायलोव उप-विधि का उपयोग करना अधिक स्पष्ट है।

Comments

क्या आपने यहां दिए गए उत्तरों पर विचार किया है ?

— डेथब्रेथ

मैं उत्सुक हूँ ... आपका मैट्रिक्स कितना बड़ा है? क्या आप सभी आंतरिक eigenvalues, या एक विशेष मूल्य के सबसे करीब की जरूरत है?

— पॉल

@Paul यह सिर्फ एक ऑन-गॉनिंग शोध है, आकार बिलियन स्पैर मैट्रिक्स द्वारा बिलियन होगा, और हमें मॉडलिंग करने के लिए केवल कुछ निश्चित अंतराल में कुछ eigenvalues ​​की आवश्यकता है।

— विलोब्रुक

@Deathbreath अपने अनुस्मारक के लिए धन्यवाद। मैंने उन उत्तरों पर विचार किया है।

— विलोब्रुक

हो सकता है कि आपको पता हो कि ressource पहले से ही है, लेकिन यह वैसे भी उपयोगी हो सकता है ... www-users.cs.umn.edu/~saad/eig_book_2ndEd.pdf के संबंध में, टॉम

— टॉम

Answer 1

निम्नलिखित रणनीति को शिफ्ट और इनवर्ट कहा जाता है और यह दो महत्वपूर्ण तथ्यों पर निर्भर करता है:

1. के रूप में ही स्पेक्ट्रम है एक है, लेकिन से नीचे स्थानांतरित कर दिया τ , यानी, अगर λ ∈ σ ( एक ) तो λ - τ ∈ σ ( एक - τ मैं ) ।$A-\tau I$$A$$\tau$$\lambda \in \sigma(A)$$\lambda-\tau \in \sigma(A-\tau I)$
2. यह मानते हुए कि उलटी है, मैट्रिक्स एक - 1 एक स्पेक्ट्रम जिनमें से स्पेक्ट्रम के तत्व-वार उलटा के बराबर है है एक , यानी, अगर λ ∈ σ ( एक ) तो 1 / λ ∈ σ ( एक - 1 ) ।$A$$A^{-1}$$A$$\lambda \in \sigma(A)$$1/\lambda \in \sigma(A^{-1})$

चूंकि के भाग स्थानांतरित कर दिया है जाएगाएकके स्पेक्ट्रम जो के करीब हैएक+$A-\frac{a+b}{2}I$$A$ मूल के पास, eigenvalues केएकके पासएक+$\frac{a+b}{2}$$A$ बहुत बड़ा होगा(ए-ए+$\frac{a+b}{2}$, और इसलिए उन्हें लेने के लिए क्रायलोव एल्गोरिथ्म की अपेक्षा करना उचित है।$(A-\frac{a+b}{2}I)^{-1}$

Comments

मेरा प्रश्न शिफ्ट और इनवर्ट विधि से है, हम एक के पास सभी आइगेनवेल्यूज़ को बढ़ा सकते हैं, जिनमें से निश्चित रूप से अवांछित लोगों को मूल रूप से कम से कम शामिल किया जाएगा, और फिर उन आइजेनवेल्यूज़ को कैसे फ़िल्टर किया जाए। दूसरा सवाल यह है कि इंटरएक्शन में दूसरे एंडपॉइंट b का उपयोग कैसे किया जाए।

— विलोब्रुक

बहुपद फिल्टर का उपयोग करके कुछ निश्चित प्रतिजन को फ़िल्टर करना संभव है। इस तकनीक के एक सुलभ अवलोकन के लिए,

— सोरेंसन

$c=(a+b)/2$