एक लाप्लासियन मैट्रिक्स के वर्गमूल को खोजना

11

मान लें कि निम्नलिखित मैट्रिक्स को अपने स्थानापन्न । उत्पाद पैदावार , $A$

[\begin{array}{ccc} 0.500 & - 0.333 & - 0.167 \\ - 0.500 & 0.667 & - 0.167 \\ - 0.500 & - 0.333 & 0.833 \end{array}]

$\left[\begin{array}{ccc} 0.500 & -0.333 & -0.167\\ -0.500 & 0.667 & -0.167\\ -0.500 & -0.333 & 0.833\end{array}\right]$

A^{T}

$A^T$

A^{T} A = G

$A^TA=G$

[\begin{array}{ccc} 0.750 & - 0.334 & - 0.417 \\ - 0.334 & 0.667 & - 0.333 \\ - 0.417 & - 0.333 & 0.750 \end{array}]

$\left[\begin{array}{ccc}0.750 & -0.334 & -0.417\\ -0.334 & 0.667 & -0.333\\ -0.417 & -0.333 & 0.750\end{array}\right]$

जहां एक लाप्लासियन मैट्रिक्स है । ध्यान दें कि मेट्रिसेस और रैंक 2 के हैं, जो कि eigenvector । $G$ $A$ $G$ $1_n=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\end{array}\right]^T$

मुझे आश्चर्य है कि यदि केवल दिया जाता है तो प्राप्त करने का तरीका क्या होगा । मैंने eigendecomposition यूईयू की कोशिश की , और फिर सेट किया, लेकिन अलग परिणाम दिया। मुझे लगता है कि यह रैंक की कमी के साथ करना है। क्या कोई इसे समझा सकता है? स्पष्ट रूप से, उपरोक्त उदाहरण चित्रण के लिए है; आप उपरोक्त फॉर्म के सामान्य लाप्लासियन मैट्रिक्स अपघटन पर विचार कर सकते हैं। $A$ $G$ $G=UEU^T$ $A'=UE^{1/2}$

उदाहरण के लिए, चोल्स्की अपघटन का उपयोग को खोजने के लिए किया जा सकता है , पर अपघटन से कई समाधान निकल सकते हैं। मुझे उस समाधान में दिलचस्पी है जिसे रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहां एक $G=LL^T$ $G$

A = (I - 1_{n} w^{T}),

$A=(I-1_nw^{T}),$

I

$I$

3 \times 3

$3\times 3$ पहचान मैट्रिक्स,

, और

कुछ वेक्टर संतोषजनक जा रहा है

। यदि यह मामलों को सरल करता है, तो आप मान सकते हैं कि

की प्रविष्टियाँ गैर-नकारात्मक हैं।

1_{n} = [1 1 1]

$1_n=[1~ 1~ 1]$

w

$w$

w^{T} 1_{n} = 1

$w^T1_n=1$

w

$w$

linear-algebra matrix eigensystem

— usero
स्रोत

मुझे लगता है कि

के प्रतिनिधित्व के बारे में आपके द्वारा जोड़ा गया टिप्पणी केवल आंशिक रूप से सहायक है। यह मानता है कि शून्य के बराबर एक ईजेनवल्यू है, लेकिन गैर-नियतांक हमेशा होता है, है न?

A

$A$

— वोल्फगैंग बंगर्थ

@WolfgangBangerth मैं "गैर-निर्धारक" का अर्थ जानने की कोशिश कर रहा हूं। यदि यह

, तो यह उपरोक्त उदाहरण के लिए है, और मुझे यकीन नहीं है कि इसे

लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है । हालाँकि,

को छोड़कर , मुझे संदेह है कि समाधान हमेशा मौजूद रहेगा।

d e t (A) = 0

$det(A)=0$

A = I - 1_{n} w^{T}

$A=I-1_nw^T$

n = 3

$n=3$

— usero

नहीं, मेरा मतलब यह है कि आपकी समस्या का समाधान विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं है। मैं इस तथ्य को इंगित कर रहा था कि क्या मैट्रिक्स में एक शून्य ईजेन्यूएल है या नहीं, वास्तव में इस तथ्य को नहीं बदलता है कि वर्गमूल समस्या का कोई अनूठा समाधान नहीं है।

— वोल्फगैंग बैंगर्थ

11

हम मैट्रिक्स Laplacian मैट्रिक्स है जो eigenvalues का एक सेट है के लिए जहाँ हम हमेशा पता । इस प्रकार लाप्लासियन मैट्रिक्स हमेशा सममित सकारात्मक अर्ध-निश्चित होता है। क्योंकि मैट्रिक्स $G=A^TA$ $\lambda_0\leq\lambda_1\leq\ldots\leq \lambda_n$ $G\in\mathbb{R}^{n\times n}$ $\lambda_0 = 0$ $G$ जब हम चोल्स्की अपघटन पर चर्चा करते हैं तो हमें सममित सकारात्मक निश्चित नहीं होना चाहिए। चोल्स्की अपघटन एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स के लिए मौजूद है लेकिन यह अब अद्वितीय नहीं है। उदाहरण के लिए, सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स असीम रूप से कई चोल्स्की डिकम्पोजिशन

A = [\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}],

$A=\left[\!\!\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \!\!\right],$

A = [\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ \sin θ & \cos θ \end{array}] [\begin{array}{cc} 0 & \sin θ \\ 0 & \cos θ \end{array}] = L L^{T} .

$A=\left[\!\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \!\right] = \left[\!\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array} \!\right] \left[\!\begin{array}{cc} 0 & \sin\theta \\ 0 & \cos\theta \end{array} \!\right]=LL^T.$

हालाँकि, क्योंकि हमारे पास एक मैट्रिक्स है जिसे एक लाप्लासियन मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है, हम वास्तव में अधिक परिष्कृत रैखिक बीजगणित उपकरण जैसे चोल्स्की डिकम्पोज़िशन से बच सकते हैं या सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स वर्गमूल को खोज सकते हैं जैसे कि हम । उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास लाप्लास मैट्रिक्स , $G$ $G$ $A$ $G\in\mathbb{R}^{4\times 4}$ हम वांछित मैट्रिक्सको पुनर्प्राप्त करने के लिए ग्राफ सिद्धांत का उपयोग कर सकते हैं। हम उन्मुख घटना मैट्रिक्स तैयार करके ऐसा करते हैं। अगर हम ग्राफ में किनारों की संख्या को परिभाषित होने के लिएहोने के लिए और कोने की संख्यातो उन्मुख घटना मैट्रिक्सएक हो जाएगामैट्रिक्स द्वारा दिए गए

G = [\begin{array}{cccc} 3 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

$G=\left[\!\begin{array}{cccc} 3 & -1 & -1 & -1\\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\!\right]$

A

$A$

m

$m$

n

$n$

A

$A$

m \times n

$m\times n$

जहां

किनारे को दर्शाता है जो कोने को

और

जोड़ता है। यदि हमचार कोने और तीन किनारों के साथ

लिए एक ग्राफ लेते हैं, तो हमारे पास उन्मुख घटना मैट्रिक्स

A_{e v} = {\begin{array}{lc} 1 & if e = (v, w) and v < w \\ - 1 & if e = (v, w) and v > w \\ 0 & otherwise, \end{array}

$A_{ev} = \left\{\begin{array}{lc} 1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v<w \\ -1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v>w \\ 0 & \textrm{otherwise}, \end{array} \right.$

e = (v, w)

$e=(v,w)$

v

$v$

w

$w$

G

$G$

और हम पा सकते हैं कि

। आपके द्वारा वर्णित मैट्रिक्स समस्या के लिए, आप वर्टिकलके समान किनारों के साथ

लिए एक ग्राफ़बनाएंगे, फिर आपको मैट्रिक्स

को फिर से संगठित करने की क्षमता होनी चाहिएजब आपको केवल लाप्लासियन मैट्रिक्स

।

A = [\begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}],

$A = \left[\!\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array}\!\right],$

G = A^{T} A

$G=A^TA$

G

$G$

A

$A$

G

$G$

अपडेट करें:

अगर हम के रूप में एक ग्राफ के शिखर डिग्री के विकर्ण मैट्रिक्स को परिभाषित और के रूप में ग्राफ के निकटता मैट्रिक्स , तो Laplacian मैट्रिक्स ग्राफ के द्वारा परिभाषित किया गया है । उदाहरण के लिए, निम्नलिखित ग्राफ में $N$ $M$ $G$ $G=N-M$

हम पाते हैं कि लाप्लासियन मैट्रिक्स अब हमचित्र के ग्राफ में दिए गए किनारों और नोड्स का उपयोग करकेको उन्मुख घटना मैट्रिक्ससे संबंधित करते हैं। फिर हम की प्रविष्टियां मिलतीसे उदाहरण के लिए, किनारे

G = [\begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}] .

$G=\left[\!\begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\!\right] - \left[\!\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\!\right].$

G

$G$

A

$A$

A

$A$

A_{e v} = {\begin{array}{lc} 1 & if e = (v, w) and v < w \\ - 1 & if e = (v, w) and v > w \\ 0 & otherwise, \end{array} .

$A_{ev} = \left\{\begin{array}{lc} 1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v<w \\ -1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v>w \\ 0 & \textrm{otherwise}, \end{array} \right..$

e_{1}

$e_1$ नोड्स

और

जोड़ता है । तो यह निर्धारित करने के

हम ध्यान दें कि के सूचकांक

के सूचकांक से भी कम है

(या हम मामला है

की परिभाषा में

)। इस प्रकार,

। इसी तरह सूचकांकों की तुलना के माध्यम से हम

पा सकते हैं

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

A_{e_{1}, v_{1}}

$A_{e_1,v_1}$

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

v < w

$v<w$

A_{e v}

$A_{ev}$

A_{e_{1}, v_{1}} = 1

$A_{e_1,v_1} = 1$

A_{e_{1}, v_{2}} = - 1

$A_{e_1,v_2} = -1$ । हम

नीचे एक और अधिक स्पष्ट तरीके से चित्रित किनारों और कोने को संदर्भित करते हैं।

A

$A$

A = \begin{array}{ccccc} v_{1} & v_{2} & v_{3} & v_{4} \\ e_{1} & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ e_{2} & 1 & 0 & - 1 & 0 \\ e_{3} & 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array} .

$A = \begin{array}{c|cccc} & v_1 & v_2 & v_3 & v_4 \\ \hline e_1 & 1 & -1 & 0 & 0\\ e_2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ e_3 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array}.$

$Gr$ $V$ $E$

w : V \times V \to R^{+},

$w: V\times V\rightarrow \mathbb{R}^+,$

u

$u$

v

$v$

w (u, v)

$w(u,v)$

u \in V

$u\in V$

u

$u$

d_{u} = \sum_{v \in V} w (u, v) .

$d_u = \sum_{v\in V}w(u,v).$

G r

$Gr$

A d (G r)

$Ad(Gr)$

n \times n

$n\times n$

V

$V$

w (u, v)

$w(u,v)$

D (G r)

$D(Gr)$

V

$V$

G

$G$

G = D (G r) - A d (G r) .

$G = D(Gr) - Ad(Gr).$

मूल पद से समस्या में हम जानते हैं

G = [\begin{array}{ccc} \frac{3}{4} & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{12} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{5}{12} & - \frac{1}{3} & \frac{3}{4} \end{array}] .

$G=\left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{3}{4} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{5}{12} \\ -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} \\ -\tfrac{5}{12} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{3}{4} \\ \end{array}\!\right].$

G

$G$

G = A^{T} A

$G=A^TA$

A

$A$

A = I - 1_{n} w^{T}

$A=I-1_nw^T$

w^{T} 1_{n} = 1

$w^T1_n=1$

A

$A$

A

$A$

A d (G r)

$Ad(Gr)$ शून्य प्रविष्टियों के रूप में अच्छी तरह से, यानी, भारित ग्राफ में लूप नहीं होंगे। वास्तव में भारित उन्मुख घटना मैट्रिक्स की गणना करना मुश्किल लगता है (हालांकि यह भारित रेखांकन के साथ मेरी अनुभवहीनता का परिणाम हो सकता है)। हालाँकि, हम जिस रूप में हम तदर्थ तरीके से तलाश करते हैं उसका एक गुणनखंड पा सकते हैं यदि हम मानते हैं कि हम अपने ग्राफ में छोरों के बारे में कुछ जानते हैं। हमने भारित लाप्लासियन मैट्रिक्स विभाजित किया है।

G

$G$

G = [\begin{array}{ccc} \frac{5}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{11}{12} \end{array}] - [\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{5}{12} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{5}{12} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{array}] = D (G r) - A d (G r) .

$G=\left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{5}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \tfrac{11}{12} \\ \end{array}\!\right]-\left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{5}{12} \\ \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \\ \tfrac{5}{12} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{6} \\ \end{array}\!\right] = D(Gr)-Ad(Gr).$

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

v_{3}

$v_3$

1 / 2

$1/2$

1 / 3

$1/3$

1 / 6

$1/6$

w

$w$

[\frac{1}{2}

$[\frac{1}{2}$

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$

\frac{1}{6}]^{T}

$\frac{1}{6}]^T$

A

$A$

A = I - 1_{n} w^{T} = [\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{2} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} & \frac{5}{6} \end{array}] .

$A = I-1_nw^T = \left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{6} \\ -\tfrac{1}{2} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{6} \\ -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{5}{6} \\ \end{array}\!\right].$

$A$

— एंड्रयू विंटर्स
स्रोत

A

$A$

G

$G$

O (n^{2})

$O(n^2)$

G

$G$

G

$G$

G

$G$

A

$A$

G

$G$

A

$A$

G

$G$

1

G

$G$

A = I - 1_{n} w^{T}

$A=I-1_nw^T$

G

$G$

G = A^{T} A = (I - 1_{n} w^{T})^{T} (I - 1_{n} w^{T})

$G=A^TA=(I-1_nw^T)^T(I-1_nw^T)$

9

$A$ $B$

B^{2} = A,

$B^2 = A,$

$C$

C^{H} C = A,

$C^H C = A,$

$C \mapsto Q C$ $Q$

अंत में, कोई रचनात्मक रूप से एक हर्मिटियन पॉजिटिव सेमीफाइनल मैट्रिक्स के यूनीक मैट्रिक्स स्क्वायर-रूट को परिभाषित कर सकता है।

A = U Λ U^{H},

$A = U \Lambda U^H,$

$U$ $\Lambda$ $A$

B = U \sqrt{Λ} U^{H} .

$B = U \sqrt{\Lambda} U^H.$

— जैक पॉल्सन
स्रोत

A

$A$

6

G = A^{T} A .

$G = A^T A.$

G

$G$

G

$G$

G = L^{T} L

$G=L^TL$

A = L

$A=L$

A

$A$

G

$G$ , और यदि आप एक विशेष चाहते हैं, तो आपको इस तरह से प्रश्न को फिर से लिखना होगा कि आप उस वर्गमूल के "शाखा" के संरचनात्मक गुणों को निर्दिष्ट करें जिसमें आप रुचि रखते हैं।

मैं कहूंगा कि यह स्थिति जटिल संख्याओं का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं के बीच वर्गमूल लेने के लिए असहमति नहीं है: वहाँ भी, सामान्य तौर पर आपके पास दो जड़ें हैं, और आपको यह कहना होगा कि आप किस उत्तर को अद्वितीय बनाना चाहते हैं।

— वोल्फगैंग बंगर्थ
स्रोत

आप निश्चित रूप से सही हैं। जैसा कि मैं ऊपर बताता हूं, एक और तरीका वर्णक्रमीय अपघटन दृष्टिकोण होगा। मैंने समाधान को अनूठा बनाने के लिए एक संपादन किया है। उम्मीद है कि यह मामलों को जटिल नहीं करेगा।

— usero

क्या मैं हमेशा ऊपर मौजूद बाधा के साथ एक समाधान है? शायद यह केवल कुछ मामलों के लिए है, और सामान्य रूप से नहीं।

— usero

दरअसल, चोल्स्की अपने मामले में काम नहीं करता है, क्योंकि यह (अनिवार्य रूप से) आवश्यकता है कि मैट्रिक्स हर्मिटियन सकारात्मक-निश्चित हो।

— जैक पॉल्सन

4

$LDL^{T}$ $\hat{D} = \sqrt{D}$ $G = L\hat{D}$

— Willowbrook
स्रोत

L D L^{T}

$LDL^T$

1

@JackPoulson मैं matlab में एक विलक्षण मैट्रिक्स A की कोशिश करता हूं, और ldl चलाता हूं, यह काम करता है। शून्य प्रतिध्वनियां डी के विकर्ण में शून्य से मेल खाती हैं

— विलोब्रुक

2

L D L^{T}

$LDL^T$

P A P^{'} = L D L^{T}

$PAP'=LDL^T$

D

$D$

2 \times 2

$2 \times 2$