हाउसहोल्डर प्रतिबिंब एक मैट्रिक्स को विकर्ण क्यों नहीं कर सकता है?

Question

जब व्यवहार में क्यूआर कारक की गणना करते हैं, तो एक मैट्रिक्स के निचले हिस्से को शून्य करने के लिए हाउसहोल्डर प्रतिबिंब का उपयोग करता है। मुझे पता है कि सममित मैट्रिसेस के आइजनवालों की गणना के लिए, हाउसहोल्डर प्रतिबिंबों के साथ आप जो सबसे अच्छा कर सकते हैं, वह इसे ट्राइडीगॉनल रूप में मिल रहा है। क्या यह देखने का एक स्पष्ट तरीका है कि इसे इस तरह से पूरी तरह से विकर्ण क्यों नहीं किया जा सकता है? मैं इसे बस समझाने की कोशिश कर रहा हूं लेकिन मैं स्पष्ट प्रस्तुति नहीं दे सकता।

Answer 1

सममित मैट्रिक्स eigenvalues के गणना करते समय, $M\in\mathbb{R}^{n\times n}$ सबसे अच्छा आप हाउसहोल्डर परावर्तक साथ कर सकते हैं ड्राइव है $M$ एक tridiagonal फार्म के लिए। जैसा कि पिछले उत्तर में उल्लेख किया गया था क्योंकि $M$ सममित है एक ऑर्थोगोनल समानता परिवर्तन है जिसके परिणामस्वरूप एक विकर्ण मैट्रिक्स होता है, अर्थात, $D=S^TMS$ । यह सुविधाजनक होगा यदि हम अज्ञात ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स की कार्रवाई को देख सकते हैं $S$सख्ती से हाउसहोल्डर रिफ्लेक्टर का उपयोग करके रिफ्लेक्टरों के अनुक्रम की गणना करके और $H^T$ को बाएं से $M$ और $H$ के अधिकार से $M$। हालांकि यह संभव नहीं है क्योंकि जिस तरह से हाउसहोल्डर रिफ्लेक्टर को कॉलम शून्य करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। यदि हम हाउसहोल्डर रिफ्लेक्टर की गणना करने के लिए नीचे की सभी संख्याओं को शून्य करते हैं तो $M_{11}$हम एम = ( पाते हैं )

$$M=\left(\!\!{\begin{array}{ccccc} * &* & * & *&* \\ * &* & * & *&* \\ * &* & * & *&* \\ * &* & * & *&* \\ * &* & * & *&* \\ \end{array}}\!\!\right)\rightarrow H^T_1M=\left(\!\!{\begin{array}{ccccc} * &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ \end{array}}\!\!\right).$$ लेकिन अब प्रविष्टियां$M_{12}-M_{1n}$ कोबाईं ओर लागूरिफ्लेक्टर द्वारा बदल दिया गया है$H^T_1$। इस प्रकार जब हम$H_1$ को दाईं ओर लगाते हैं तो यहकी पहली पंक्ति को$M$केवल छोड़ने परशून्य नहीं होगा$M_{11}$। इसके बजाय हम H T 1 M= ( प्राप्त करेंगे ) जहां न केवल हमने पंक्ति को शून्य नहीं किया बल्कि हम उस शून्य संरचना को नष्ट कर सकते हैं जिसे हमने केवल रिफ्लेक्टर एच टी 1 के साथ पेश किया था। $$H^T_1M=\left(\!\!{\begin{array}{ccccc} * &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ \end{array}}\!\!\right)\rightarrow H^T_1MH_1=\left(\!\!{\begin{array}{ccccc} * &*'' & *'' & *''&*'' \\ *' &*'' & *'' & *''&*'' \\ *' &*'' & *'' & *''&*'' \\ *' &*'' & *'' & *''&*'' \\ *' &*'' & *'' & *''&*'' \\ \end{array}}\!\!\right).$$ $H^T_1$

हालाँकि, जब आप को एक त्रिभुज संरचना में ले जाना चुनते हैं, तो आप H T 1 की क्रिया से अछूता पहली पंक्ति छोड़ देंगे , इसलिए M = $M$$H^T_1$ इस प्रकार जब हम दाएं से समान रिफ्लेक्टर लगाते हैं तो हमें H T 1 M=

$$M=\left(\!\!{\begin{array}{ccccc} * &* & * & *&* \\ * &* & * & *&* \\ * &* & * & *&* \\ * &* & * & *&* \\ * &* & * & *&* \\ \end{array}}\!\!\right)\rightarrow H^T_1M=\left(\!\!{\begin{array}{ccccc} * &* & * & *&* \\ *' &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ \end{array}}\!\!\right).$$ $$H^T_1M=\left(\!\!{\begin{array}{ccccc} * &* & * & *&* \\ *' &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ \end{array}}\!\!\right)\rightarrow H^T_1MH_1=\left(\!\!{\begin{array}{ccccc} * &*' & 0 & 0&0 \\ *' &*'' & *'' & *''&*'' \\ 0 &*'' & *'' & *''&*'' \\ 0 &*'' & *'' & *''&*'' \\ 0 &*'' & *'' & *''&*'' \\ \end{array}}\!\!\right).$$

$M$$T$$M$$S^T$$S$

Answer 2

जैसा कि अन्य उत्तरों की टिप्पणियां स्पष्ट करती हैं, यहां असली मुद्दा हाउसहोल्डर मैट्रिसेस की कमी नहीं है, बल्कि एक सवाल है कि प्रत्यक्ष ("बंद-फ़ॉर्म") के बजाय पुनरावृत्ति क्यों (ऑर्थोगोनल के माध्यम से) सहानुभूति मैट्रिसेस को तिरछे करने के लिए उपयोग किया जाता है समानता)।

वास्तव में किसी भी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स को हाउसहोल्डर मैट्रीस के एक उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है , इसलिए यदि हम एक सममित मैट्रिक्स (इसके आइगेनवेल्यूज) के विकर्ण रूप को जानते थे, तो हम ऑर्थोनॉर्जेनाइज्ड लिगेनवेक्टरों के एक पूर्ण सेट के लिए हल कर सकते हैं और आधार मैट्रिक्स के संगत परिवर्तन को एक सहानुभूति के रूप में बदल सकते हैं। बहुपद समय में हाउसहोल्डर परिवर्तनों का उत्पाद।

तो आइए विक्टर की अभिभाषण टिप्पणी "हाबिल के प्रमेय के अलावा" की ओर मुड़ें क्योंकि हम प्रभावी रूप से पूछ रहे हैं कि क्यों पुनरावृत्ति विधियों का उपयोग एक प्रत्यक्ष विधि के बजाय एक बहुपद की जड़ों को खोजने के लिए किया जाना चाहिए । बेशक एक वास्तविक सममित मैट्रिक्स के आइगेनवेल्यूज़ इसकी विशेषता बहुपद की जड़ें हैं, और दूसरी दिशा में भी जाना संभव है। केवल वास्तविक जड़ों के साथ एक वास्तविक बहुपद को देखते हुए , बहुपद के लिए एक Sturm अनुक्रम से त्रिदोषजन्य सममित साथी मैट्रिक्स का निर्माण करना संभव है । इस सेट में उस पोस्टर डेनिस सेरे की एक्सरसाइज 92 भी देखें। यह उन समस्याओं के समतुल्य को दिखाने के लिए अच्छा है क्योंकि हमने (@AndrewWinters) हाउसहोल्डर मेट्रिसेस के प्रत्यक्ष आवेदन को एक वास्तविक सममित मैट्रिक्स को त्रिदिगोनाइज़लाइज़ किया जाएगा।

$O(n \log^3 n)$$O(n^2)$

हाबिल-गाल्वा-Ruffini प्रमेय का कहना है कि चार डिग्री ऊपर बहुआयामी पद की जड़ों के लिए कोई सामान्य सूत्र कण (और हमेशा की तरह गणित) के संदर्भ में दिया जा सकता है। हालाँकि अधिक विदेशी परिचालनों के संदर्भ में जड़ों के लिए बंद रूप हैं । सिद्धांत रूप में , इस तरह के दृष्टिकोणों पर एक व्यक्ति स्वदेशी / विकर्ण विधि का आधार हो सकता है , लेकिन कुछ व्यावहारिक कठिनाइयों का सामना करता है:

1. $t^5 + t - a = 0$$t(a)$

2. यह डिग्री छह बहुपद और ऊपर के साथ टूट जाता है , हालांकि विभिन्न तरीकों से उन्हें केवल दो चर के कार्यों का उपयोग करके हल करने के लिए पाया जा सकता है। हिल्बर्ट की 13 वीं समस्या यह अनुमान थी कि सामान्य डिग्री सात बहुपदों को केवल दो चर के केवल कार्यों का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता है, लेकिन 1957 में VI अर्नोल्ड ने दिखाया कि वे कर सकते हैं। बहुक्रियाशील परिवारों के बीच जिनका उपयोग डिग्रीधारी बहुपदों के समाधान प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, वे हैं मेलिन इंटीग्रल, हाइपरजोमेट्रिक और सीगल थीटा फ़ंक्शंस।

3. $n$$C_f: Y^2 = f(x)$$f(x)$$O(n^3)$

इसलिए वास्तविक जड़ों को अलग करने के लिए अप्रत्यक्ष / पुनरावृत्ति विधियां (सममित मैट्रिक्स की समानताएं), यहां तक ​​कि उच्च परिशुद्धता के लिए, वर्तमान में इन समस्याओं के लिए ज्ञात प्रत्यक्ष / सटीक तरीकों पर व्यावहारिक लाभ हैं।

Comments

कुछ नोट: 1. स्टर्म अनुक्रमों से त्रिदोषन साथी मैट्रिक्स के निर्माण के लिए एक व्यावहारिक विधि फिडलर और शमीसर द्वारा पत्रों में उल्लिखित की गई थी ; मैंने यहां एक गणितज्ञ को लागू किया , और अधिक पारंपरिक भाषा में इसे लागू करना बहुत कठिन नहीं होना चाहिए।

— जेएम

2. बहुपद जड़ों के लिए "थीटा फंक्शन" दृष्टिकोण के संबंध में (जो मैं सहमत हूं कि व्यावहारिक उपयोग के लिए थोड़ा बहुत अनिच्छुक है ), उइमुरा रीमैन थीटा कार्यों का उपयोग करके एक दृष्टिकोण की रूपरेखा तैयार करता है ।

— जेएम

Answer 3

किस कारण से आप मानते हैं कि यह असंभव है?

$S$$S = G D G^t$$G$$D$

किसी भी ओर्थोगोनल मैट्रिक्स का आकार n × n का निर्माण अधिकांश n ऐसे प्रतिबिंबों के उत्पाद के रूप में किया जा सकता है। विकिपीडिया । इसलिए आपके पास यह अपघटन है।

मैं आखिरी कथन के बारे में निश्चित नहीं हूं, मैं इसे उद्धृत करता हूं (और मुझे लगता है कि यह सही है)। जहां तक ​​मैं आपके प्रश्न को समझता हूं, यह इस बात पर उबलता है कि क्या किसी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स को हाउसहोल्ड ट्रांसफॉर्मेशन के अनुक्रम में विघटित किया जा सकता है।

Comments

मुझे और अधिक विशिष्ट होना चाहिए। एक सममित मैट्रिक्स को विकर्ण करने के लिए पहला कदम हाउसहोल्डर को लागू कर रहा है जब तक कि यह ट्राइडियोगनल नहीं है। इसके बाद, क्यूआर पुनरावृत्तियों का प्रदर्शन किया जाता है। यह प्रक्रिया केवल बंद-फॉर्म हाउसहोल्डर परिवर्तनों का उपयोग करके पूरी नहीं की जा सकती। क्यों? (हाबिल की प्रमेय के अलावा)

— विक्टर लियू

आप इसे जैकोबी रोटेशन के साथ कर सकते हैं। गोलूब और वैन लोन लिखते हैं कि जैकोबी गिवेंस की तरह ही है। हाउसहोल्डर Givens करने का सिर्फ एक और तरीका है। व्यवहार में, "सही" तरीका क्यूआर के साथ हो सकता है अगर यह तेज हो।

— शक्ति

Answer 4

$n-1$$k$$k$

यह वास्तव में उन तरीकों के लिए उपयोगी है जहां एक बार-बार संख्यात्मक रूप से स्थिर तथ्यात्मक रूप में ऑर्थोगिनल मैट्रिक्स की आवश्यकता होती है।