एक त्रिकोण पर कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित फ़ंक्शन का संख्यात्मक एकीकरण

Question

जैसा कि शीर्षक से पता चलता है कि मैं एक त्रिकोण पर एक कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित फ़ंक्शन (वेंडलैंड की क्विंटिक बहुपद) के अभिन्न की गणना करने की कोशिश कर रहा हूं। ध्यान दें, कि फंक्शन का केंद्र 3-डी स्पेस में है। मैं इस फ़ंक्शन को एक मनमाना, लेकिन छोटे त्रिकोण ( ) पर एकीकृत करता हूं । मैं वर्तमान में Dunavant, 1985 (p = 19) द्वारा वर्णित एकीकरण का उपयोग कर रहा हूं।$area < \frac{(radius/4)^2}{2}$

हालाँकि ऐसा लगता है, कि ये चतुर्भुज नियम कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित समस्याओं के अनुकूल नहीं हैं। यह इस तथ्य से समर्थित है कि जब मैं (इसलिए एक फ़ंक्शन जो त्रिज्या के सर्कल के अंदर 1 है) एक विमान पर जो त्रिकोण के उपयोग से विवेकाधीन है, तो मेरा (सामान्यीकृत) परिणाम बीच में है 1.001 और 0.897।$f(r) = [r\leq1]$

तो मेरा सवाल यह है कि क्या इस तरह की समस्या के लिए एक विशेष चतुर्भुज नियम मौजूद है? एक कम क्रम समग्र एकीकरण नियम बेहतर काम करेगा?

दुर्भाग्य से यह दिनचर्या मेरे कोड में वास्तव में महत्वपूर्ण है इसलिए सटीक महत्वपूर्ण है। दूसरी ओर मुझे एक समय-चरण के लिए इस एकीकरण को "एक दो बार" करने की आवश्यकता है ताकि कम्प्यूटेशनल व्यय बहुत अधिक न हो। समानांतरकरण एक मुद्दा नहीं है क्योंकि मैं धारावाहिक में एकीकरण को निष्पादित करूंगा।

आपके जवाब के लिए पहले से ही धन्यवाद।

EDIT: Wendland के क्विंटिक बहुपद को साथ जाता है। और साथ r_0 एक मनमाना वेक्टर है in \ mathbb {R} ^ 3$W(q) = [q\leq2]\frac{\alpha}{h^3}(1-\frac{q}{2})^4(2q+1)$$\alpha = \frac{21}{16\pi}$$q=\frac{\|r-r_0\|}{h}$$r_0$$\mathbb{R}^3$

EDIT2: अगर $\Delta$ दो-आयामी त्रिभुज है, तो मैं \ int_ \ Delta \ omega (r) की गणना करना चाहता हूं, $\int_\Delta \omega(r) dr$जिसमें $\omega(r) = W(\frac{\|r-r_0\|}{h})$ । तो $q$ में $W$ कभी नहीं होगा छोटे से 0. ध्यान दें कि अभिन्न में 2-डी सतह पर एक सतह अभिन्न अंग है $\mathbb{R}^3$

EDIT3: मेरे पास 1-डी (लाइन) समस्या के लिए एक विश्लेषणात्मक समाधान है। 2-डी (त्रिकोण) के लिए एक की गणना करना संभव हो सकता है।

Comments

क्या आप हमें उस फ़ंक्शन का कुछ और विवरण दे सकते हैं जिसे आप एकीकृत करने की कोशिश कर रहे हैं? क्या यह सिर्फ एक बहुपद है? या एक टुकड़े-टुकड़े बहुपद?

— पेड्रो

अनुरोध के अनुसार संपादित किया गया।

— अजरेल ३०००

Answer 1

चूंकि फ़ंक्शन भीतर सुचारू है , लेकिन निश्चित डिग्री का नहीं (विमान में, वह है), इसलिए मैं दोनों आयामों में एक सरल अनुकूली योजना का उपयोग करने का सुझाव दूंगा , जैसे कि रोमबर्ग की विधि के साथ ट्रैपोज़ाइडल नियम ।$q \leq 2$

यही है, यदि आपका त्रिकोण वर्टिकल , और से परिभाषित होता है , और आपकी एक दिनचर्या है, जो लाइन से साथ एकीकृत करती है , तो आप निम्नलिखित (Matlab संकेतन में) कर सकते हैं:$x$$y$$z \in \mathbb R^3$romb(f,a,b)fab

int = romb( @(xi) romb( W , xi , y+(z-y)*(xi-x)./(z-x) ) , x , z );

में romb, निश्चित अंकों का उपयोग न करें, लेकिन तालिका को तब तक बढ़ाते रहें जब तक कि दो क्रमिक विकारों के बीच का अंतर आपकी आवश्यक सहनशीलता से कम न हो जाए। चूंकि आपका कार्य सुचारू है, इसलिए यह एक अच्छा त्रुटि अनुमान होना चाहिए।

यदि त्रिभुज के भाग के डोमेन के बाहर हैं , तो आप तदनुसार उपरोक्त कोड में एकीकरण की सीमा को समायोजित करने का प्रयास कर सकते हैं।$W(q)$

यह आपकी समस्या को हल करने का सबसे कम्प्यूटेशनल तरीका नहीं हो सकता है, लेकिन अनुकूलन एक निश्चित डिग्री नियम की तुलना में आपको अधिक मजबूती देगा।

Comments

समारोह को छोड़कर हर जगह स्मूथ है । इस बिंदु का पड़ोस परेशानी का कारण बन रहा है। $q=0$

— अर्नोल्ड न्यूमैयर

आह दो 1-डी समस्याओं में नहीं, एक बुरा विचार है। क्योंकि एक बात है जो मैंने आपको नहीं बताई है। मेरे पास 1-डी में एक विश्लेषणात्मक समाधान है इसलिए मैं एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन द्वारा आंतरिक रोम को बदल सकता हूं। मैं पहले से ही एक शॉट +1 देता हूं

— Azrael3000

@AnnoldNeumaier, मुझे क्षमा करें, मैं नहीं देखता कि यह कैसे संभव है। क्या आप समझाएँगे?

— पेड्रो

कार्य के रूप में सुचारू , लेकिन का एक निरर्थक कार्य है , और एकीकरण , जहाँ तक मैंने प्रश्न को समझा है। इस प्रकार मिश्रित कार्य का एक निरर्थक कार्य है । $q$$q$$r$$r$$r$

— अर्नोल्ड न्यूमैयर

@ पेड्रो मैंने इसे लागू किया और यह एक आकर्षण की तरह काम करता है। हमने वास्तव में आज एक विश्लेषणात्मक समाधान भी पाया। लेकिन यह केवल एक विशेष मामले के लिए है जिसका उपयोग सामान्य को फिर से संगठित करने के लिए किया जा सकता है। इसका मतलब है कि हमें कुछ डोमेन अपघटन करने की आवश्यकता है। चूंकि रोमबर्ग लगभग 4 चरणों में परिवर्तित होता है, इसलिए मुझे लगता है कि इस वजह से यह विश्लेषणात्मक सूत्र का उपयोग करने की तुलना में तेज़ होगा। और विकिपीडिया के अनुसार हम तर्कसंगत पॉलीनोमियल का उपयोग करते समय रोमबर्ग से बेहतर कर सकते हैं। आपको मेरा अगला पेपर :) चीयर्स की पावती में आपका नाम मिलेगा।

— अजरेल ३०००

Answer 2

श्लेष नियमों के अच्छे अवलोकन के लिए, "R. Cools, An Encyclopaedia of Cubature Formula J. Complexity, 19: 445-453, 2003" देखें। एक निश्चित नियम का उपयोग करके, आप यह लाभ दे सकते हैं कि कुछ नियम बहुपद को एकीकृत करते हैं (जैसा कि गॉसियन क्वाडरेचर एक आयाम में करता है)।

क्यूब्स के प्रमुख लेखकों में से कूल भी एक संख्यात्मक पैकेज के लिए एक सॉफ्टवेयर पैकेज है।

Comments

मुझे लगता है कि यहाँ समस्या यह है कि फ़ंक्शन बहुपद है , लेकिन स्थानिक निर्देशांक में एक गैर-रैखिक कार्य है। फ़ंक्शन आधार फ़ंक्शन के किनारे तक चिकनी है, लेकिन कुल्हाड़ियों को छोड़कर, बहुपद नहीं है। $q$$q$

— पेड्रो

यह सही है पेड्रो।

— Azrael3000

आह अच्छा। मेरी गलती। माफ़ करना।

— गर्टवेडेई

Answer 3

एकीकरण नियम यह मानते हैं कि फ़ंक्शन स्थानीय रूप से कम डिग्री बहुपद द्वारा अनुमानित है। आपकी समस्या का कॉम्पैक्ट समर्थन से कोई लेना-देना नहीं है। समर्थन सीमा पर कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित रेडियल आधार फ़ंक्शन सुचारू हैं, और बिना किसी समस्या के चिकनाई के क्रम तक के द्विघात नियम का उपयोग किया जा सकता है। (उच्च आदेश नियम मदद नहीं करते हैं; इस प्रकार आपको शायद एक नियम का उपयोग नहीं करना चाहिए जो डिग्री 5 पॉलीओनियल को बिल्कुल एकीकृत करता है।)

आपके मामले में, अशुद्धि इस तथ्य से आती है कि अच्छा बहुपद अनुमानित सन्निकटन की स्थिति पास त्रिकोण के लिए आपके मामले में विफल हो , तब भी जब उनके पास नहीं होता है ।$r_0$$r_0$

$W$ , कार्य के रूप में सुचारू है , लेकिन का एक निरर्थक कार्य है , एक ढाल के साथ जो सीमा में अनंत हो जाती है । एकीकरण , और संयुक्त कार्य का एक निरर्थक कार्य है ।$q$$q$$r$$r\rightarrow r_0$$r$$r$

यदि त्रिकोण में सम्‍मिलित नहीं है , तो फ़ंक्शन लेकिन यह उच्च व्युत्पन्न बढ़ने के रूप में मदद नहीं करता है बहुत करीब है , और एक उच्च क्रम विधि की त्रुटि उच्च आदेश व्युत्पन्न के लिए आनुपातिक है, इसलिए बहुत बड़ी है !$r_0$$C^inf$$r_0$

सरल उपाय यह है कि प्रत्येक त्रिभुज T को उप-संख्याओं के N_T की संख्या में विभाजित किया जाए। आप ले जा सकते हैं से बहुत दूर , और के करीब । आप पता लगा सकते हैं ऑफ़लाइन कितना बड़ा से एक दिया व्यास और दूरी का त्रिकोण के लिए होना चाहिए एक वांछित सटीकता तक पहुँचने के लिए। इसके अलावा, आपको केवल निचले क्रम के सूत्रों का उपयोग करना चाहिए ।$N_T=1$$r_0$$N_T\gg 1$$r_0$$N_T$$r_0$$r_0$

जैसा कि आप एक त्रिभुज पर एकीकृत करते हैं, लेकिन 3-आयामी है, त्रिभुज स्पष्ट रूप से ।$r_0$$R^3$

एक तेजी से उपाय इसलिए के लिए अभिन्न सारणीबद्ध हैं त्रिकोण निर्देशांक के एक समारोह के रूप में (एक 2-आयामी में घूर्णन द्वारा सामान्यीकृत पर विमान ऐसी है कि एक शीर्ष झूठ अक्ष, और यह ऐसा है कि एक दूसरे को दर्शाती है वर्टेक्स इसके ऊपर स्थित है)। यह सारणीकरण एक रैखिक या द्विघात प्रक्षेप को पर्याप्त रूप से सटीक बनाने के लिए पर्याप्त रूप से विस्तृत होना चाहिए। लेकिन आप इस तालिका को बनाने के लिए पहले बताई गई धीमी विधि का उपयोग कर सकते हैं।$r_0=0$$xy$$x$

एक और तरीका है समस्या से छुटकारा पाने के लिए एक दृढ़तापूर्वक समर्थित रेडियल आधार समारोह में एक बहुपद है कि उपयोग करने के लिए है के बजाय । यह हर जगह चिकनी है, और एकीकृत करने में आसान है।$q^2$$q$

Comments

मुझे लगता है कि एक छोटी सी गलतफहमी है। मैंने अपने प्रश्न का विवरण अपडेट किया। तथ्य की बात के रूप में, अभिन्न 0. से छोटा कभी नहीं हो सकता है और आवश्यक रूप से त्रिकोण में निहित नहीं है। $q$$r_0$

— अजरेल ३०००

आपका नया जोड़ मेरे लिए मायने नहीं रखता। यदि तो होना चाहिए । या आप में एक 2 डी त्रिकोण पर एकीकृत करते हैं ? - मुझे नहीं लगा कि त्रिभुज में है। मैंने अपने उत्तर में एक पल और जोड़ दिया। $r_0\in R^3$$r$$R^3$$r_0$

— अर्नोल्ड न्यूमैयर

हां, यह सही है कि मैं में एक 2 डी त्रिकोण पर एकीकृत करता हूं । $R^3$

— अजरेल ३०००