भारित SVD समस्या?

$A$ $B$ $x$ $y$

min \sum_{i j} (A_{i j} - x_{i} y_{j} B_{i j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - x_i y_j B_{ij})^2.$

A - diag (x) \cdot B \cdot diag (y) = A - B \circ (x y^{⊤})

$A - \mbox{diag}(x) \cdot B \cdot \mbox{diag}(y) = A - B \circ (x y^\top)$

सामान्य तौर पर, मैं एकाधिक इकाई वैक्टर $x$ और $y$ को फॉर्म

min \sum_{i j} (A_{i j} - \sum_{k = 1}^{n} s_{i} x_{i}^{(k)} y_{j}^{(k)} B_{i j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - \sum_{k=1}^n s_i x_i^{(k)} y_j^{(k)} B_{ij})^2.$ जहां

s_{i}

$s_i$ के सकारात्मक गुणांक हैं।

यह होने पर एकवचन मान अपघटन (SVD) के बराबर है $(B)_{ij} = 1$ ।

क्या किसी को पता है कि इस समस्या को क्या कहा जाता है? क्या इस तरह की समस्या के समाधान के लिए एसवीडी जैसा एक प्रसिद्ध एल्गोरिथ्म है?

(math.SE से माइग्रेट किया गया)

linear-algebra matrix reference-request

— Memming
स्रोत

मेरा मानना है कि यह सामान्यीकृत एसवीडी है । विकिपीडिया प्रविष्टि बहुत विस्तृत नहीं है, इसलिए आपको संभवतः लिंक किए गए स्रोतों की जाँच करनी चाहिए। विशेष रूप से, इस Google पुस्तक लिंक का पृष्ठ 466 सहायक हो सकता है।

— ईली

मेरे लिए, यह सामान्यीकृत एसवीडी जैसा कुछ भी नहीं दिखता है। विशेष रूप से बी आवश्यक रूप से विकर्ण या सममित नहीं है, इसलिए प्रत्येक या राशि में कई बार दिखाई दे सकता है।

x

$x$

y

$y$

— विक्टर लियू

बी को सामान्यीकृत एसवीडी में विकर्ण और न ही सममित होने की आवश्यकता होती है। मेरे द्वारा प्रदान किए गए दोनों लिंक दर्शाते हैं कि ए और बी क्रमशः एम-बाय-एन और पी-बाय-एन के सामान्य जटिल-मूल्यवान मैट्रिस हो सकते हैं।

— एली

सुझाव @EMS के लिए धन्यवाद। यदि आप कनेक्शन को विस्तृत कर सकते हैं तो मैं सराहना करूंगा।

— मेमिंग

यह सामान्यीकृत एसवीडी से दूर है।

यदि B एक पॉजिटिव मैट्रिक्स है, तो आप मेरे पैकेज BIRSVD http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/ का उपयोग कर सकते हैं

कागज http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/svd_incomplete_data.pdf विधि का वर्णन करते हुए वहाँ भी संदर्भ देता है जिसे आप एक साहित्य खोज करने के लिए विचार कर सकते हैं।

— अर्नोल्ड न्यूमैयर
स्रोत

आह, समस्या को भारित कम रैंक सन्निकटन में बदलना! आपका बहुत बहुत धन्यवाद!

— मेमिंग

@ अर्नोल्ड के उत्तर में विवरण जोड़ने के लिए, इस समस्या को एक भारित कम रैंक सन्निकटन समस्या में बदला जा सकता है, जहां उद्देश्य फ्रोबेनियस मानदंड के बजाय भारित मानदंड को कम करना है। जहां और शुर उत्पाद को दर्शाता है (उर्फ हडामर उत्पाद)।

| | C - \sum s_{i} x_{i} y_{i}^{⊤} | |_{W}^{2}

$||C - \sum s_i \mathbf{x_i} \mathbf{y_i^\top}||^2_W$

| | C | |_{W} = | | C \circ W | |_{F}

$||C||_W = ||C \circ W||_F$

\circ

$\circ$

— मेमोरियल

हाँ। यह आपकी समस्या को एक अच्छा नाम देता है। इसे कैसे हल किया जाए यह अलग बात है। यह एक मानक समस्या नहीं है और यह एक एल्गोरिथ्म को खोजने के लिए काफी पेचीदा था जो तेज और विश्वसनीय दोनों है।

— अर्नोल्ड न्यूमैयर

@AnnoldNeumaier यह बहुत अच्छा है, धन्यवाद। क्या आपके कोड के साथ लाइसेंस और कॉपीराइट नोटिस प्राप्त करना संभव होगा? जैसा कि अब यह मालिकाना सॉफ्टवेयर है। यदि आप इसे GPLv3 के तहत जारी करते हैं या संगत करते हैं तो यह GNU ऑक्टेव के रैखिक-बीजगणित पैकेज के लिए अपना रास्ता खोज सकता है।

— जुआनपी