कई स्वतंत्र अवधियों और कोई बंद रूपों के साथ दोलन अभिन्न अंग का मूल्यांकन

Question

ऑसिलेटरी इंटीग्रल के लिए अधिकांश तरीके मैं फॉर्म इंटीग्रल्स से निपटने के बारे में जानता हूं जहां बड़ा है।

$$\int f(x)e^{i\omega x}\,dx$$ $\omega$

अगर मेरे पास फॉर्म का एक अभिन्न अंग है जहां दोलन संबंधी कार्य हैं, जिनकी जड़ें केवल लगभग ज्ञात हैं, लेकिन कुछ प्रकार के रूप ज्ञात है, आवृत्तियों के साथ सभी अलग (और -linearly स्वतंत्र), तो मैं इस अभिन्न का मूल्यांकन कैसे कर सकता हूं?

$$\int f(x)g_1(x)\cdots g_n(x)\,dx,$$ $g_k$ $$g_k(x) \sim e^{i\omega_k x}$$ $\omega_k$$\mathbb{Q}$

के मामले के विपरीत , बहुपद अभिन्न ज्ञात नहीं हैं, इसलिए मैं लिए बहुपद इंटरपोलेंट का एक सेट नहीं बना सकता और एकीकृत कर सकता हूं इंटरपोलेंट बिल्कुल।$e^{i\omega x}$$\int x^a \prod g_k(x)$$f(x)$

मेरी सटीक समस्या में, के Bessel फ़ंक्शन और , और एकीकरण का क्षेत्र । अब मैं जिस विधि का उपयोग कर रहा हूं कुछ कटऑफ तक की जड़ों के बीच के अंतराल पर अभिन्न योगदान का योग है , फिर बड़े लिए लिए विस्तार का उपयोग करें । इस एल्गोरिथ्म की समय जटिलता में घातीय है क्योंकि इसमें उत्पाद विस्तार करना शामिल है , जिनमें से प्रत्येक में , asymptotic शब्दों की संख्या ।$g_k$$J_0(\omega_k x)$$f(x)=x^\alpha$$[0,\infty)$$[x_{k-1},x_k]$$M$$g_k(x)$$x$$n$$g_1\ldots g_n$$r$$r^n$कुल शर्तें; प्रूनिंग शब्द जो बहुत छोटे हैं, बड़े लिए इस संभव को बनाने के लिए रन टाइम को कम नहीं करते हैं ।$n$

ह्यूरिस्टिक गैर-कठोर उत्तर, सुझाव और संदर्भ सभी का स्वागत करते हैं।

Answer 1

मैंने सरल इंटीग्रल्स पर काम किया है जहाँ स्थिर चरण के बिंदु हैं। मुझे दो विधियाँ मिलीं जो काफी अच्छी तरह से काम करती हैं।

एक घातीय भिगोना कारक को पेश करना है जो चरण फ़ंक्शन पर निर्भर करता है, यदि आप चाहें तो एक प्रकार की कृत्रिम चिपचिपाहट।

एक अन्य तकनीक (जहां स्टेट के कई बिंदु हैं) चरण में वर्णित किया गया था:

टक, ईओ, कोलिन्स, जेएल और वेल्स, डब्ल्यूएच, "जहाज की लहरों और उनके स्पेक्ट्रा पर", जर्नल ऑफ शिप रिसर्च, पीपी। 11–21, 1971।

यह विधि अभिन्न क्षय कारकों को अभिन्न पर लागू करती है जहां यह तेजी से-दोलन से दूर हो जाता है। चरण अंक, लेकिन यह नहीं है, जहां अखंड बरकरार छोड़ देता है।

यह मेरे विचारों से बाहर है!

Comments

धन्यवाद, लेकिन मैं यह नहीं देखता कि इस मामले में यह कैसे काम करेगा। एक बात के लिए, वास्तविक रेखा पर स्थिर चरण के कोई बिंदु नहीं हैं, और दोलनों से योगदान अंतिम मूल्य के लिए महत्वपूर्ण है, इसलिए इसे नम नहीं किया जाना चाहिए।

— किरिल

Answer 2

जब तक आपके पास अपने इंटीग्रांड के ऑसिलेटरी हिस्से की जड़ों (या एक्स्ट्रेमा) के लिए सटीक मान हैं, तब तक लॉन्गमैन की विधि (जैसा कि मैंने इस उत्तर में वर्णित है ) लागू रहती है। आपको बस इतना करना है कि अपने पसंदीदा चतुर्भुज विधि का उपयोग करके जड़ों के बीच के अंतराल के साथ इंटीग्रल के एक समूह का मूल्यांकन करें, और इन इंटीग्रल्स को कुछ वैकल्पिक श्रृंखला की शर्तों के रूप में मानें। फिर आप इस प्रत्यावर्ती श्रृंखला को "योग" करने के लिए किसी भी संख्या में अभिसरण त्वरण विधियों (यूलर, लेविन, वेनिगर, आदि) का उपयोग कर सकते हैं।

एक उदाहरण के रूप में, इस गणित में। जवाब में , मैंने एक अनंत अभिन्न अंग का मूल्यांकन किया, जिसका दोलन भाग दो बसेल कार्यों का एक उत्पाद है।

Comments

क्या यह मायने नहीं रखेगा कि जड़ें अनियमित रूप से फैली हुई हैं (सभी अवधियों के तर्कहीन और स्वतंत्र हैं) आप इस तरह के अनियमित अनुक्रम के लिए अभिसरण त्वरण पर भरोसा क्यों करेंगे?

— किरिल

यह कुछ समय पहले था, मैं एक हजार अंकों के अभिन्न का मूल्यांकन करना चाहता था और अगर मुझे सही ढंग से याद है कि द्विध्रुवीय द्विघात वास्तव में पहली चीज थी जो मैंने कोशिश की थी। मुझे परिणाम याद नहीं हैं, लेकिन मुझे नहीं लगता कि यह उस समय अच्छी तरह से काम किया था।

— किरिल

"आप इस तरह के अनियमित अनुक्रम के लिए अभिसरण त्वरण पर भरोसा क्यों करेंगे?" - मैं सिर्फ एक त्वरक पर विश्वास नहीं करेंगे , यद्यपि। लेकिन, अगर कम से कम तीन अलग-अलग त्वरक मुझे लगातार परिणाम दे रहे हैं, तो मुझे लगता है कि मुझे जो अंक मिले हैं, वे कम से कम प्रशंसनीय हैं। एफडब्ल्यूआईडब्ल्यू, मैंने बेस्सेल फ़ंक्शंस के उत्पादों के अनंत अभिन्न अंग के लिए लॉन्गमैन का उपयोग किया है, और मैं कभी निराश नहीं हुआ, खासकर जब वेनिगर के त्वरक के रूप में परिवर्तन का उपयोग कर रहा हूं।

— JM

प्रश्न में मैं जिस विधि का वर्णन करता हूं, वह भी एक दोलन संबंधी विधि है: प्रपत्र की एक श्रृंखला में इंटीग्रैंड का विस्तार करें$x^a e^{b x}$, अनंत अभिन्न जिनके लिए एक बंद रूप है। मैं अभिसरण त्वरण से अधिक इस तरह की विधि पर भरोसा करूंगा। मेरी समझ यह है कि उन्हें मजबूत नीरसता या त्रुटि की अच्छी समझ जैसी कुछ चीजों की आवश्यकता होती है ताकि वे अच्छी तरह से काम कर सकें।

— किरिल

यदि आप एक (सामान्यीकृत) फूरियर विस्तार कर सकते हैं, तो सुनिश्चित करें।

— JM