वास्तविक विरल मैट्रिक्स की विशेषता बहुपद का कम्प्यूटिंग

Question

एक सामान्य विरल मैट्रिक्स को m << n (सुधार: ) गैर-शून्य तत्वों (आमतौर पर )। इस अर्थ में सामान्य है कि इसका कोई विशिष्ट गुण नहीं है (जैसे सकारात्मक निश्चितता), और कोई संरचना (जैसे कि बैंडेडनेस) मान ली गई है।$A \in \mathbb{R}^{n\times n}$$m \ll n^2$$m \in {\cal O}(n)$$A$

विशेषता बहुपद या की न्यूनतम बहुपद या तो गणना करने के लिए कुछ अच्छे संख्यात्मक तरीके क्या हैं ?$A$

Comments

लगता है जैसे आप सभी eigenvalues ​​की गणना करना चाहते हैं। आप बहुपद क्यों चाहते हैं और आप इसे कैसे व्यक्त करना चाहते हैं? मोनोमियल आधार बेहद बीमार है, इसलिए संभवतया गुणांक को परिमित सटीक अंकगणितीय में गणना नहीं की जा सकती है।

— जेड ब्राउन ने

@JedBrown एक चिंतन का अधिक। में इस सवाल का मेरा उत्तर मैं एक दिया बीजीय (विनिमेय छल्लों और खेतों के ऊपर जैसे मैट्रिक्स) एक मैट्रिक्स है, जो कंप्यूटर बीजगणित में अच्छी तरह से जाना जाता है inverting के लिए विधि। मैं जानना चाहता हूं कि क्या मैं इसका उपयोग संख्यात्मक गणित के लिए कर सकता हूं। कृपया ध्यान दें कि, इस प्रश्न के उद्देश्यों के लिए, मैं व्युत्क्रम के बजाय विशेषता / न्यूनतम बहुपद को खोजने के लिए संख्यात्मक विधियों में रुचि रखता हूं।

Answer 1

अगर $O(n^3)$जटिलता एक डाट नहीं है तो आप Danilevskii विधि को देखना चाह सकते हैं। यह संख्यात्मक रेखीय बीजगणित पर रूसी साहित्य में बहुत अच्छी तरह से जाना जाता है, लेकिन अंग्रेजी में बहुत अधिक जानकारी नहीं है। आप इस लिंक से शुरू कर सकते हैं ।

विचार सीधा है: मैट्रिक्स धीरे-धीरे फ्रोबेनियस सामान्य रूप में "गौसियन उन्मूलन-जैसे" समानता परिवर्तनों द्वारा कम हो गया है। यदि आपको जानकारी नहीं मिलती है तो मैं एल्गोरिथ्म को अधिक विस्तृत बना सकता हूं।

Answer 2

आप अपने जेनेरिक मैट्रिक्स के आइगेनवैल्यूज़ की गणना करने के लिए एक संख्यात्मक विधि जैसे QR Factorization या Power Method और इसके Realtives (व्युत्क्रम शक्ति आदि) का उपयोग कर सकते हैं। उसके बाद, आप अपनी विशेषता बहुपद को गुणन द्वारा गणना कर सकते हैं जैसे: (λ-λ1) (λ-λ2) ... (λ-λn) = 0 जहां λi गणना किए गए प्रतिजन हैं। यहां पावर और क्यूआर विधियों के बारे में संक्षिप्त प्रस्तुति दी गई है:

क्यूआर-पावर

Answer 3

वैसे: क्या आप कहना चाहते हैं कि आपके पास है $m \ll O(n^2)$प्रविष्टियों? यदि वास्तव में $m \ll O(n)$ तब पंक्तियों और स्तंभों का अधिकांश हिस्सा पूरी तरह से खाली हो जाएगा और यह संभावना है कि विशेषता बहुपद वास्तव में डिग्री का नहीं है $n$ लेकिन डिग्री के $O(m)$।

Comments

ऑप्स। नहीं, मेरा कहने का मतलब था$m \ll n^2,$ अर्थात $m \in {\cal O}(n)$। उसके लिए माफ़ करना।