जियोमेट्रिक प्रोग्रामिंग उत्तल प्रोग्रामिंग से कैसे अलग है?

Question

सामान्य उत्तल प्रोग्रामिंग से अलग (सामान्यीकृत) ज्यामितीय प्रोग्रामिंग कैसे होती है?

एक ज्यामितीय कार्यक्रम को उत्तल कार्यक्रम में बदला जा सकता है, और आमतौर पर एक आंतरिक बिंदु विधि द्वारा हल किया जाता है। लेकिन समस्या को सीधे उत्तल कार्यक्रम के रूप में प्रस्तुत करने और आंतरिक बिंदु विधि द्वारा हल करने से क्या फायदा है?

क्या ज्यामितीय कार्यक्रमों का वर्ग केवल उत्तल कार्यक्रमों के वर्ग का एक सबसेट है जो विशेष रूप से आंतरिक बिंदु विधियों द्वारा हल किया जा सकता है? या बस यह फायदा है कि एक सामान्य ज्यामितीय कार्यक्रम आसानी से कंप्यूटर के पठनीय रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है।

दूसरी ओर, क्या उत्तल कार्यक्रम हैं जिन्हें ज्यामितीय कार्यक्रमों द्वारा यथोचित रूप से अनुमानित नहीं किया जा सकता है?

Answer 1

मैं वास्तव में इस सवाल तक ज्यामितीय प्रोग्रामिंग के बारे में कभी नहीं सुना था। यहाँ स्टीफन बोयड द्वारा एक समीक्षा पत्र, एट अल (वैंडेनबर्ग एक सह-लेखक भी है) जो कि ज्यामितीय प्रोग्रामिंग पर एक ट्यूटोरियल है।

मूल रूप से व्यक्त किए गए ज्यामितीय कार्यक्रम उत्तल नहीं हैं । उदाहरण के लिए, एक बहुपद है, और यह उत्तल नहीं है, इसलिए ज्यामितीय कार्यक्रम उत्तल प्रोग्रामिंग के सख्त उपसमूह नहीं हैं।$x^{1/2}$

एक ज्यामितीय कार्यक्रम को उत्तल कार्यक्रम में बदलने का लाभ यह है कि मूल ज्यामितीय कार्यक्रम आवश्यक रूप से उत्तल नहीं होता है। यदि आपने ज्यामितीय कार्यक्रम को एक नेलिनियर प्रोग्राम (एनएलपी) के रूप में हल किया है, तो आपको वैश्विक इष्टतम समाधान की गारंटी देने के लिए गैर-उत्तल अनुकूलन से तरीकों का उपयोग करने की आवश्यकता होगी। ये विधियां उत्तल अनुकूलन विधियों की तुलना में अधिक महंगी हैं, अधिक एल्गोरिथम ट्यूनिंग की आवश्यकता होती है, और प्रारंभिक अनुमानों की आवश्यकता होती है।

इसके अलावा, यदि आप गैर-उत्तल एनएलपी से एक एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हैं, तो आपको अपने व्यवहार्य सेट को में एक कॉम्पैक्ट सेट के रूप में निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होगी ; ज्यामितीय कार्यक्रमों में, एक वैध बाधा है।$\mathbb{R}^{n}$$x > 0$

यह स्पष्ट नहीं है कि अगर ज्यामितीय कार्यक्रमों का नक्शा (लॉग-एक्सपोनेंशियल ट्रांसफ़ॉर्मेशन के माध्यम से) उत्तल कार्यक्रमों के एक सेट पर होता है जो विशेष रूप से कुशलतापूर्वक हल करता है। मैं उत्तल कार्यक्रमों से परे ज्यामितीय प्रोग्रामिंग के लिए कोई लाभ नहीं देखता।

आपके अंतिम प्रश्न के रूप में, मुझे नहीं लगता कि ज्यामितीय कार्यक्रमों का सेट उत्तल कार्यक्रमों के सेट के लिए समसामयिक है, इसलिए मुझे संदेह है कि उत्तल कार्यक्रम हैं जिन्हें ज्यामितीय कार्यक्रमों के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, और इन कार्यक्रमों में, मुझे इसमें संदेह है कुछ ऐसे हैं जिन्हें ज्यामितीय कार्यक्रमों द्वारा यथोचित रूप से अनुमानित नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, मेरे पास कोई प्रमाण या प्रतिधारण नहीं है।

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लगता है कि आपके लिंक किए गए समीक्षा पत्र के अध्याय 8 में मेरे प्रश्न को संबोधित करने की कोशिश की गई है। हालाँकि, इस पर पहले सरसरी नज़र डालने के बाद, मुझे यह आभास मिलता है कि वास्तव में किसी भी उत्तल कार्यक्रम को ज्यामितीय कार्यक्रम (लघु रूप से रूपांतरित, निश्चित रूप से ...) द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। हालाँकि, जैसा कि कोई रेखीय कार्यक्रम "स्पष्ट रूप से" भी एक ज्यामितीय कार्यक्रम है, यह भी केवल कथन का एक प्रकार हो सकता है कि किसी भी उत्तल कार्यक्रम को एक रेखीय कार्यक्रम द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, लेकिन यह वही नहीं होगा जिसका मैं यथोचित रूप से अनुमान लगा सकता हूं। कुंआ"।

— थॉमस क्लिंपेल

जब ज्यामितीय प्रोग्रामिंग शब्द उत्पन्न हुआ, तो सामान्य उत्तल कार्यक्रमों को हल करना आसान नहीं था, और विशेष संरचना का फायदा उठाया जा सकता था। अब, निश्चित रूप से, एक बार जब कोई पहचान लेता है कि एक कार्यक्रम ज्यामितीय है, तो एक इसे उत्तल कार्यक्रम में बदल देता है और आंतरिक बिंदु विधियों द्वारा उत्तरार्द्ध को हल करता है।

— अर्नोल्ड न्यूमैयर

Answer 2

ज्यामितीय प्रोग्रामिंग को उत्तल कार्यक्रमों के एक वर्ग में बदला जा सकता है जो सभी उत्तल कार्यक्रमों के समुच्चय का एक सख्त उपसमुच्चय है। हालाँकि मनमाने ढंग से उत्तल कार्यक्रमों को ज्यामितीय कार्यक्रमों के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। जियोमेट्रिक प्रोग्रामिंग में बाधाएं प्रपत्र लिए प्रतिबंधित हैं जहां एक पॉसिओनोमियल (यानी सकारात्मक गुणांक वाले एक बहुपद) है। पॉसिनोमिअल्स जोड़, गुणा और सकारात्मक स्केलिंग के तहत बंद हैं । अब अगर आप बाधा- पर विचार करते हैं , तो$f(x) \leq 1$$f(x)$$-x-y \leq 1$$-x-y$खुद एक बहुपद नहीं है। इसे पॉसिओनोमियल के जोड़ / गुणा के रूप में नहीं दर्शाया जा सकता है और यह किसी अन्य पॉज़िनोमियल का सकारात्मक स्केलिंग नहीं हो सकता है। इस प्रकार यह एक ज्यामितीय कार्यक्रम का हिस्सा नहीं हो सकता। लेकिन उपरोक्त बाधा रैखिक है और इस प्रकार यह कार्यक्रम उत्तल है। इसमें मिश्रित रैखिक ज्यामितीय प्रोग्रामिंग मौजूद है, जिसमें कोई भी व्यक्ति मनमाने ढंग से रैखिक बाधाओं में जोड़ सकता है, जिसे एक उत्तल कार्यक्रम में भी बदला जा सकता है और कुशलता से हल किया जा सकता है। फिर से और अधिक जटिल बाधाओं जैसे को मिश्रित रैखिक ज्यामितीय प्रोग्रामिंग द्वारा भी नियंत्रित नहीं किया जा सकता है जैसा कि ऊपर दिया गया है।$-x^2-y^2\leq 1$

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ज्यामितीय प्रोग्रामिंग उत्तल प्रोग्रामिंग का सख्त उपसमूह नहीं है; हालाँकि, लॉग-एक्सपोनेंशियल ट्रांसफॉर्मेशन के तहत, तब्दील ज्यामितीय कार्यक्रम उत्तल कार्यक्रम हैं।

— 21:39 पर ज्योफ ऑक्सबेरी

हाँ, मेरा कहने का मतलब यही है। स्पष्टता के लिए संपादित उत्तर।

— ऑप्ट