एक छोटे निर्धारक मैट्रिक्स के अशुभ कंडीशनिंग करता है?

$\det(A) \approx 0$

क्या काफिला भी सच है? क्या एक अशिक्षित मैट्रिक्स में लगभग शून्य निर्धारक होता है?

यहाँ मैं ओक्टेव में कोशिश की गई कुछ है:

a = rand(4,4);
det(a) %0.008
cond(a)%125
a(:,4) = 1*a(:,1) + 2*a(:,2) = 0.000000001*ones(4,1);
det(a)%1.8E-11
cond(a)%3.46E10

linear-algebra condition-number

— कानूनी जांच
स्रोत

यह निर्धारित करता है कि मैट्रिक्स नियमित है या विलक्षण है। यह नहीं दिखाता है कि यह अच्छी तरह से है या बीमार हालत में है।

— एलन पी। इंग्सिग-करुप

निर्धारक का परिमाण बीमार कंडीशनिंग को प्रतिबिंबित नहीं कर सकता है: लेकिन ।

κ (A) = κ (A^{- 1})

$\kappa(A)=\kappa(A^{-1})$

det (A^{- 1}) = (det A)^{- 1}

$\det (A^{-1})=(\det A)^{-1}$

— फालिक

कहीं एक या होना चाहिए ?

\approx

$\approx$

\neq

$\ne$

— inquest

यदि आप मैट्रिक्स स्पेक्ट्रा पर फ़्लोटिंग-पॉइंट गणित के प्रभावों के बारे में अधिक जानने में रुचि रखते हैं, तो आपको निक ट्रेफेथेन की पुस्तक: स्पेक्ट्रा और स्यूडोस्पेक्ट्रा: द बिहेवियर ऑफ नॉनॉर्मल मैट्रिसेस एंड ऑपरेटर्स और स्यूडोस्पेक्ट्रा गेटवे की जांच करनी चाहिए ।

— एरन अहमदिया

जवाबों:

यह स्थिति संख्या सबसे बड़ा हिस्सा है जो विलक्षणता के लिए महँगाई को मापता है, न कि निर्धारक की टिनिनेस को। $\kappa(\mathbf A)$

उदाहरण के लिए, विकर्ण मैट्रिक्स पास छोटे निर्धारक हैं, लेकिन अच्छी तरह से वातानुकूलित है। $10^{-50} \mathbf I$

फ्लिप की तरफ, सिकंदर ओस्ट्रोव्स्की (और जिम विल्किंसन द्वारा भी अध्ययन किया गया) के कारण वर्ग ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिस के निम्न परिवार पर विचार करें :

U = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & 2 \\ 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & 2 \\ 1 \end{matrix})

$\mathbf U=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&2\\&1&\ddots&\vdots\\&&\ddots&2\\&&&1\end{pmatrix}$

के निर्धारक मैट्रिक्स हमेशा होता है , लेकिन छोटी से छोटी विलक्षण मूल्य के लिए सबसे बड़ा के अनुपात (यानी 2-आदर्श हालत संख्या ) को ओस्ट्रोवस्की द्वारा बराबर होने के लिए दिखाया गया था , जिसे बढ़ते लिए देखा जा सकता है । $n\times n$ $\mathbf U$ $1$ $\kappa_2(\mathbf U)=\dfrac{\sigma_1}{\sigma_n}$ $\cot^2\dfrac{\pi}{4n}$ $n$

— जेएम
स्रोत

@ विषैला: सबसे निश्चित रूप से नहीं; इससे पहले कि मैं विवरण में लॉन्च करूं, क्या आप पहले से ही एकवचन मूल्य अपघटन से परिचित हैं?

— JM

बहुत अच्छा। बस आपको इतना जानना चाहिए। विचार यह है कि कंडीशनिंग पर बहुत ही महत्वपूर्ण जानकारी में केंद्रित है है

। विशेष रूप से, आप उस मैट्रिक्स के विकर्ण में सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों को याद रखना चाहेंगे (याद रखें कि अपघटन को इस तरह परिभाषित किया गया है कि

के विकर्ण प्रविष्टियाँ गैर-

हैं)। छोटी से छोटी विकर्ण प्रविष्टि के लिए सबसे बड़ा के अनुपात हालत संख्या है

। आपके द्वारा काम करने वाली मशीन पर किस आकार की संख्या होनी चाहिए यह निर्भर करता है ...

Σ

$\mathbf \Sigma$

Σ

$\mathbf \Sigma$

κ

$\kappa$

— JM

... लेकिन सामान्य तौर पर, जब कि मैट्रिक्स के साथ रेखीय समीकरण को हल करने के लिए, आप खोने के लिए खड़े

base-

अपने समाधान में अंकों। यह शर्त संख्या के लिए अंगूठे का एक मोटा नियम है; इसलिए यदि आप केवल 16 अंक, एक साथ काम कर रहे

की

चिंता का कारण होना चाहिए।

\approx \log_{b} κ

$\approx \log_b \kappa$

b

$b$

κ

$\kappa$

10^{1} 3

$10^13$

— जेएम

हां, लेकिन यह शर्त संख्या निर्धारित करने के लिए अनुशंसित विधि नहीं है (एक स्पष्टीकरण जो किसी अन्य प्रश्न के लिए है)। मुझे लगता है कि आप जानते हैं कि एक विकर्ण मैट्रिक्स को कैसे पलटना है, नहीं?

— जेएम

"Regd। अंकों का नुकसान, क्या आप मुझे इसके लिए एक संदर्भ दे सकते हैं?" - मैं कर सकता था, लेकिन यह वास्तव में उन चीजों में से एक है जिन्हें आपको सुदृढीकरण के लिए कंप्यूटिंग वातावरण में अपने दम पर प्रयोग करना चाहिए।

— JM

के रूप में , निर्धारक मनमाने ढंग से बड़े या सरल rescaling (जो हालत संख्या परिवर्तन नहीं करता है) द्वारा छोटे बनाया जा सकता है। विशेष रूप से उच्च आयामों में, यहां तक कि 2 के एक निर्दोष कारक द्वारा स्केलिंग एक बड़ी राशि द्वारा निर्धारक को बदल देती है। $\det(kA)=k^n\det A$

इस प्रकार विलक्षणता की स्थिति या निकटता का आकलन करने के लिए निर्धारक का उपयोग कभी नहीं करें।

दूसरी ओर, लगभग सभी अच्छी तरह से पेश की जाने वाली संख्यात्मक समस्याओं के लिए, इस स्थिति को निकटता से दूरी के साथ निकटता से संबंधित है, इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक सबसे छोटे रिश्तेदार गड़बड़ी के अर्थ में। विशेष रूप से, यह रैखिक प्रणालियों के लिए है।

— अर्नोल्ड न्यूमैयर
स्रोत