मैं एक मैट्रिक्स के लिए एक आधार की गणना कैसे कर सकता हूँ एलिजिबल ने जनरेटर का एक सीमित सेट दिया है?

Question

(संख्यात्मक) वर्ग जटिल मैट्रिक्स की एक मनमाना सेट को देखते हुए , मैं कंप्यूटिंग असली मैट्रिक्स झूठ द्वारा उत्पन्न बीजगणित में दिलचस्पी है , इसे कहते । यही है, मैं जहां को पुन: रूप से परिभाषित किया जाता है \ _ mathcal {C_1} = \ mathcal {A} , और \ mathcal {C_ {k + 1}} = \ {[X, Y]: X, Y \ _ \ cup_ {j = 1} ^ कश्मीर \ mathcal {C_j} \} के लिए कश्मीर \ geq 1 ।$\mathcal{A}=\{A_1,A_2,\cdots,A_m\}$$\mathcal{A}$$\mathcal{L_\mathcal{A}}$

$$\mathcal{L_\mathcal{A}} = \mathbb{span_R}\{B:B\in\cup_{k=1}^{\infty}\mathcal{C}_k\}$$ $\mathcal{C}_k$$\mathcal{C_1}=\mathcal{A}$$\mathcal{C_{k+1}}=\{[X,Y]:X,Y\in\cup_{j=1}^k\mathcal{C_j}\}$$k\geq 1$

यह गणना (क्वांटम) नियंत्रण सिद्धांत में आती है।

वर्तमान में मैं यहां पाई गई एक विधि का उपयोग कर रहा हूं, जो केवल बार-बार झूठ बोलने वाले ब्रैकेट के माध्यम से खोजती है (जैसे कि $[A_{j_1},[A_{j_2},[A_{j_3},\cdots[A_{j_{n-1}},A_{j_n}]\cdots]]]$ ), और समाप्त करने की गारंटी है। हालांकि मुझे यह जानने में दिलचस्पी है कि क्या कोई अन्य (तेज) विधियां हैं। शायद पी। हॉल ठिकानों का उपयोग कर रहे हैं? शायद एक पुनरावर्ती एल्गोरिथ्म? फिलहाल मेरी डिफ़ॉल्ट भाषा मतलाब है।

Comments

मैं अनुमान लगा रहा हूं कि आपके मूल जनरेटर हर्मिटियन हैं। क्या ये सच है? यदि ऐसा है, तो मुझे लगता है कि पहला कदम जनरेटर के ईगेंसपेस की तुलना करना होगा, क्योंकि कॉम्पेक्टर्स नॉनजेरो तभी होते हैं जब ईगेंसस्पेस अलग होते हैं।

— जैक पॉल्सन

@JackPoulson हां, ए हैमिल्टनियंस से आया है, और इसलिए तिरछा-हर्मिटियन हैं (हर्मिटियन नहीं क्योंकि वे श्रोडिंगर के समीकरण में i द्वारा गुणा किए जाते हैं)। मुझे यकीन नहीं है कि मैं समझता हूं कि यह एक अच्छा पहला कदम क्यों होगा। कम्यूटेटर की गणना नहीं करेगा और यह देखने के लिए जांच करेगा कि क्या वे गैर-शून्य हैं जो कि ईगेंसस्पेस के साथ फ़िडलिंग से तेज़ हैं?

— इयान हिंक्स

कम्यूटेटर के एक स्तर के लिए, शायद हाँ। लेकिन जब आप कम्यूटेटर के कई स्तरों पर विचार करना शुरू करते हैं तो एक दहनशील विस्फोट होता है। मुझे एक एल्गोरिथ्म का पता नहीं है, लेकिन आमतौर पर जितना संभव हो उतना संरचना का शोषण करना एक अच्छा विचार है। मैं ध्यान से इस बारे में सोचूंगा कि क्या आप किसी अन्य गुण को जानते हैं जो आपके जनरेटर के साथ भी संबंधित है।

— जैक पॉल्सन

Answer 1

यह लिंक बताता है कि पी। हॉल ठिकानों का उपयोग करके यह कैसे करना है।

केवल कुछ हद तक संबंधित नोट पर, अगर मैं इसे लागू कर रहा था तो मैं रैखिक निर्भरता के परीक्षण की संख्यात्मक अस्थिरता के बारे में चिंता करूंगा। न्यू मैट्रिक की स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए एक विधि का उपयोग करना सुनिश्चित करें जो संख्यात्मक अशुद्धि के लिए अनुमति देता है - शायद आदर्श की तुलनाए $A - p(A)$ के मानक की तुलना के मानदंड से करता है , जहां पहले से पाए गए मेट्रिसेस के स्थान पर प्रक्षेपण है। ।$A$$p$

Comments

@ EricP लिंक के लिए धन्यवाद, बहुत उपयोगी है। मैंने केवल पी। हॉल के ठिकानों को फ्री लाइ अल्जेब्रा के संदर्भ में देखा था, जिसका मेरे पास कोई पक्का विश्वास नहीं है, और मुझे यह जानकर खुशी हुई कि रैखिक रूप से निर्भर कम्यूटेशन से छुटकारा पाने के बारे में मेरा अंतर्ज्ञान सही था। संख्यात्मक सटीकता एक ऐसी चीज है जिसके बारे में मैं बहुत चिंतित हूं। क्या आपका मतलब है कि मुझे p (A) के मान की तुलना A के मानदंड से करनी चाहिए? और यह कि एप (ए) के मान की तुलना 0 से अधिक स्थिर होगी?

— इयान हिंक्स

@IanHincks: मैं क्या मतलब तुलना करने के लिए था को , लेकिन है कि किसी भी विशेष रूप से गहरे विचार पर आधारित नहीं था। आपको प्रयोग करने की आवश्यकता होगी। संख्यात्मक रूप से सर्वोत्तम मानदंड सभी मैट्रिसेस को -वेक्टर के रूप में देखने और आयताकार मैट्रिक्स के विरल एसवीडी को एक दूसरे के बगल में रखकर प्राप्त करने के लिए हो सकता है। यदि सबसे छोटी एकवचन मान बहुत छोटा है, तो "वेक्टर" अंतिम जोड़ा गया। लेकिन यह कम्प्यूटेशनल रूप से बहुत महंगा होगा। पहले देखें कि क्या आपको वास्तव में इसकी आवश्यकता है - और यदि हां, तो शायद पहले एक सस्ता परीक्षण करें। $\Vert A - p(A) \Vert$$\Vert A \Vert$$\mathbb{R}^{n^2}$$n^2 \times k$

— एरिक पी।