परिमित तत्व विधि बनाम विस्तारित परिमित तत्व विधि (FEM बनाम XFEM)

FEM और XFEM के बीच मुख्य अंतर क्या हैं? जब हम (नहीं) XFEM का उपयोग करना चाहिए FEM और इसके विपरीत? दूसरे शब्दों में, जब मैं एक नई समस्या से मिलता हूं, तो मैं कैसे जान सकता हूं कि उनमें से किसका उपयोग करना है?

— अनह-थि दिन्ह
स्रोत

ज्यादातर बार मैंने XFEM का सामना किया है, यह ठोस यांत्रिकी में दरार के प्रसार और फ्रैक्चरिंग से संबंधित विसंगतियों से निपटने के लिए था। मैं वास्तव में इसे इस एक आवेदन के बाहर इस्तेमाल नहीं देखा है, हालांकि।

— पॉल

दरअसल, अभी भी कई अन्य क्षेत्र भी हल करने के लिए XFEM का उपयोग कर रहे हैं। यही कारण है कि जब भी मैं किसी समस्या को हल करने के लिए शुरू करता हूं, तो मुझे इस पद्धति को पहचानने का तरीका जानने की आवश्यकता है।

— आन-थि दीन्ह

जवाबों:

परिमित तत्व विधि (FEM) मूल विधि है जिसने कई, कई अन्य विधियों और विधियों को प्रेरित किया है जो वास्तव में FEM हैं लेकिन होने का ढोंग नहीं करते हैं।

परिमित तत्व विधि में, "आकार फ़ंक्शन" का उपयोग एक सन्निकटन स्थान प्रदान करने के लिए किया जाता है ताकि समाधान को एक वेक्टर द्वारा दर्शाया जा सके। शास्त्रीय FEM में, ये आकृति कार्य बहुपद हैं।

विस्तारित परिमित तत्व विधि (XFEM) में, बहुपद आकार के कार्यों के अतिरिक्त समाधान के लिए अतिरिक्त "संवर्धन" कार्यों का उपयोग किया जाता है। इन संवर्धन कार्यों को उन गुणों के लिए चुना जाता है जिन्हें समाधान का पालन करने के लिए जाना जाता है।

सबसे स्पष्ट XFEM संवर्धन कार्य समाधान ढाल में विलक्षणताओं (यानी, ठोस यांत्रिकी समस्याओं के लिए तनाव में विलक्षणता) का प्रतिनिधित्व करने के लिए दरारें तेज कोनों पर पेश किए जाने वाले शक्ति कार्य हैं। एक्सएफईएम का उपयोग अन्य संवर्धन कार्यों और अन्य समाधान डोमेन (विशेष रूप से गर्मी हस्तांतरण) के लिए किया जा सकता है, लेकिन नाम फ्रैक्चर विश्लेषण का पर्याय है।

विभिन्न तरीकों के बीच का अंतर - क्या यह एक्सएफईएम है या नहीं ?, आदि - मुश्किल और सूक्ष्म और महत्वहीन है।

जिसके लिए उपयोग करने के लिए, XFEM बहुत कम व्यावहारिक उपयोग देखता है। वास्तविक परिमित तत्व कोड में कुछ मुट्ठी भर अनुप्रयोग हैं, विशेष रूप से अबैकस, लेकिन उन्होंने व्यापक स्वीकृति नहीं देखी है।

लगभग सभी व्यावहारिक समस्याओं के लिए, शास्त्रीय FEM का उपयोग किया जाएगा। अधिकांश फ्रैक्चर विश्लेषण समस्याओं के लिए, शास्त्रीय एफईएम का उपयोग अभी भी दरार की नोक के क्षेत्र में उपयुक्त जाल शोधन और / या पी-शोधन के साथ किया जा सकता है। अन्य, कम कठोर, फ्रैक्चर मॉडल भी इस्तेमाल किए जा सकते हैं।

— माइक
स्रोत

इस (उत्कृष्ट) उत्तर से दूर जाने के लिए, बिना विलक्षण कोनों के प्रतिनिधित्व वाले घटक घटक, वास्तव में प्रकार के होते हैं

r^{α}

$r^{\alpha}$ कहाँ पे

r

$r$ कोने की दूरी है,

0 < α < 1

$0<\alpha<1$ विस्थापन (समाधान) के लिए और

- 1 < α < 0

$-1<\alpha<0$ तनाव के लिए (इसके व्युत्पन्न)।

— वोल्फगैंग बैंगर्थ

@WolfgangBangerth, धन्यवाद! मैंने अपने जवाब को 'पावर फ़ंक्शंस' कहने के लिए संपादित किया, जो कि मुझे पहले स्थान पर रखने के लिए था, हालांकि यह असंभव है। मैंने लगभग एक साफ तस्वीर चित्रित करने के लिए sqrt (r) (एक बंद दरार के लिए) डाला, लेकिन मुझे यकीन नहीं था कि यह विचलित करने वाला होगा। एक टन अधिक विवरण है, मुझे पता है, गंभीर एक्सएफईएम कार्यान्वयन के लिए (कुछ मैंने अध्ययन किया है और अन्य नहीं)।

— माइक

@ माइक: एक और कम-संबंधित सवाल यह है कि पी 1-बुलबुला एफईएम और एक्सएफईएम के बीच अंतर क्या है? क्या आप मुझे दिखा सकते है?

— एएच-थी डीआईएचएच

@PoBo, थोड़ी समानता है। दोनों विधियों में मेष को बदले बिना आकार के कार्यों को शामिल करना है और दोनों पूरे एफईएम परिवार के लिए एक ही मूल गणित पर आधारित हैं, लेकिन यह वह जगह है जहां समानता समाप्त होती है।

— माइक

यदि आपके पास पी-वर्जन या पी 1-बबल शेप फंक्शन अप्रोच की अच्छी समझ नहीं है, तो आप एक अन्य टॉप-लेवल प्रश्न या उस पर पुस्तकों में से किसी एक को लेने की कोशिश कर सकते हैं (स्जाबो और बाबस्का की समग्र रूप से कठोर, लेकिन पी-संस्करण को कवर करने वाले अन्य लोगों की तुलना में बहुत कम।)

— माइक

माइक के जवाब और जेड के दोनों एक अच्छी तरह से एक्सएफईएम / एफईएम डाइकोटोटॉमी का वर्णन करते हैं और सही ढंग से बताते हैं कि आवेदन का सबसे महत्वपूर्ण क्षेत्र 3 डी फ्रैक्चर मैकेनिक्स है, जहां आपके पास एक दरार है, अर्थात आपके डोमेन के अंदर एक सतह पर विस्थापन असंतोष है।

दरारें शास्त्रीय FEM में दो कारणों से बनना मुश्किल हैं:

मेष को दरार के पार जाना पड़ता है: अधिक सटीक रूप से दरार को FE-a के उपडोमेन की सीमा पर होना चाहिए। दरार अंदर नहीं रख सकता (हालांकि पास) एक परिमित तत्व।
दरार की नोक पर एकवचन तनाव क्षेत्र में विशेष तत्वों और / या जाल तकनीक (क्वार्टर पॉइंट एलिमेंट, फोकस्ड मेश) को अच्छी सटीकता के साथ मॉडलिंग करने की आवश्यकता होती है।

फ्रैक्चर यांत्रिकी में इंजीनियरिंग की दृष्टि से आपको दो मुख्य प्रकार की समस्याएं हैं:

तनाव तीव्रता कारक संगणना,
दरार प्रसार विश्लेषण, जैसे थकान या क्षति सहिष्णुता विश्लेषण।

पहली प्रकार की समस्या के लिए शास्त्रीय एफईएम पर्याप्त से अधिक है और मानक इंजीनियरिंग उपकरण है। (यह इसलिए है, क्योंकि सौभाग्य से, तनाव तीव्रता कारकों का मूल्यांकन करने के लिए ऊर्जा विधियां हैं जो दरार टिप के पास संख्यात्मक त्रुटियों के प्रति संवेदनशील नहीं हैं।)

क्रैक प्रचार विश्लेषण एक पूरी तरह से अलग कहानी है: ज्यादातर मामलों में आप दरार पथ के बारे में पहले से नहीं जानते हैं, और इसलिए लगातार रीमिशिंग आवश्यक है। XFEM का प्रमुख वादा एक निश्चित FEM जाल के अंदर दरार के प्रसार के लिए अनुमति देता है, दरार न केवल उप-क्षेत्रों के बीच की सीमा पर, बल्कि FE के स्वयं के अंदर की सीमा को काटती है ।

XFEM एक अपेक्षाकृत नई तकनीक है, जो अभी भी एक मानक इंजीनियरिंग उपकरण होने से दूर है। ओपी सवाल का मेरा जवाब, कम से कम ठोस यांत्रिकी और इंजीनियरिंग विश्लेषण में, यह है कि XFEM में दरार और क्षति प्रसार विश्लेषण में एक बहुत ही संकीर्ण और विशेष अनुप्रयोग क्षेत्र है, जटिल 3 डी ज्यामितीयता के लिए, जब दरार पथ को प्राथमिकता नहीं माना जा सकता है ।

फिर भी मुझे इस बात पर जोर देना चाहिए कि फ्रैक्चर यांत्रिकी इंजीनियरिंग में एक बहुत महत्वपूर्ण क्षेत्र है: उदाहरण के लिए आज के विमान भी सुरक्षित हैं, क्योंकि रखरखाव अंतराल के बीच क्षति और दरार प्रसार की संख्यात्मक भविष्यवाणी करना संभव है। निकट भविष्य में XFEM, या इसी तरह की नई तकनीकें महत्वपूर्ण उपकरण बन गई हैं।

— स्टेफानो एम
स्रोत

फ्रैक्चर यांत्रिकी में XFEM का महत्व आप सभी ने दिखाया है लेकिन क्या अभी भी अन्य क्षेत्रों को शास्त्रीय पीईएम के बजाय XFEM का उपयोग करने की आवश्यकता है? उदाहरण के लिए, बायोफिल्म ग्रोथ में, समय के साथ सब्सट्रेट में बायोफिल्म का इंटरफ़ेस बदल जाता है। सीमा परिवर्तनशील (चलती हुई सीमा) है। यदि हम शास्त्रीय FEM का उपयोग करते हैं, तो प्रत्येक समय कदम पर मेष उत्पन्न होना चाहिए, क्या यह सही है? यह वास्तव में अच्छा नहीं है, खासकर 3 डी मामले में। या अगर हम अलग-अलग एकाग्रता ग्रेडिएंट्स के साथ 2 चरणों के तरल पदार्थ पर विचार करते हैं, तो यह XFEM का भी उपयोग करने की आवश्यकता है?

— आन-थि दीन्ह

ऐसी बहुत सी समस्याएं हैं जिनमें आपके पास मुक्त सतह या चलती सीमाएं हैं, जो कि शुद्ध लैग्रैन्जियम दृष्टिकोण (अक्सर याद दिलाने के कारण) के साथ कठिन हैं। XFEM डोमेन के अंदर मॉडलिंग की छूट के बारे में अधिक है। मैं युग्मन प्रक्रियाओं के बारे में जानता हूं जो एक चलती सीमा का प्रतिनिधित्व करने के लिए असंतोष का उपयोग करते हैं ... लेकिन मैं इन क्षेत्रों में विशेषज्ञ नहीं हूं।

— स्टेफानो एम

एक और कम-संबंधित सवाल यह है कि P1-बुलबुला FEM और XFEM के बीच अंतर क्या है? क्या आप मुझे दिखा सकते है?

— आन-थि दीन्ह

मैं एक नया प्रश्न खोलने का सुझाव दूंगा। संक्षेप में पी 1-बबल / पी 1 एक विशेष परिमित तत्व (स्टोक्स समीकरण के समाधान के लिए) है, जबकि एक्सएफईएम एक अधिक सामान्य अवधारणा है, जो असंयम के मॉडलिंग के लिए संवर्धन कार्यों के उपयोग से संबंधित है, एकता दृष्टिकोण के विभाजन का शोषण करता है।

— स्टेफानो एम

FEM XFEM का सबसेट है। एक्सएफईएम, परिमित तत्वों (जैसे फ्रैक्चर) के साथ समस्याओं को संभालने के लिए परिमित-तत्व रिक्त स्थान को समृद्ध करने के लिए एक पद्धति है। शास्त्रीय एफईएम के साथ, समान सटीकता प्राप्त करने के लिए आमतौर पर जटिल अनुरूप जाल और अनुकूली शोधन की आवश्यकता होती है, जहां एक्सएफईएम एकल जाल के साथ करता है, उस ज्यामितीय जटिलता को तत्वों में स्थानांतरित करना (एक्सएफईएम लागू करने के लिए बहुत जटिल है, विशेष रूप से 3 डी में)। इस बीच, XFEM का परिणाम बहुत ही बीमार-हालत वाले मेट्रिक्स हैं जिनके लिए प्रत्यक्ष सॉल्वर या बहुत विशिष्ट मल्टीग्रिड विधियों (जैसे, जेरस्टेनबर्गर और टुमिरो (2012) ) की आवश्यकता होती है।

— जेड ब्राउन
स्रोत

क्या वास्तव में अंत में मेष से आकृति कार्यों तक जटिलता को स्थानांतरित करने का प्रयास करता है? दोनों एक ही तरह से जटिल लग रहे हैं।

— शुहलो

जैसा कि अक्सर कम्प्यूटेशनल विज्ञान में होता है, यह निर्भर करता है कि आप किससे पूछते हैं और आप किस समस्या का समाधान कर रहे हैं। कई एक्सएफईएम व्यवसायी इंट्रा-एलिमेंट डिसकंट्यूएटी के अनुकूल एक के बजाय एक क्रूड क्वाड्रैचर का उपयोग करके पंट करते हैं।

— जेड ब्राउन