आकार समारोह की बुनियादी व्याख्या

Question

मैंने अपने स्नातक पाठ्यक्रमों के दौरान जो कुछ भी किया था, उसकी तुलना में मैंने अभी और अधिक संरचित आधार पर FEM का अध्ययन शुरू किया। मैं ऐसा इसलिए कर रहा हूं, क्योंकि इस तथ्य के बावजूद कि मैं वाणिज्यिक (और अन्य गैर-वाणिज्यिक) सॉफ्टवेयर में "एफईएम" का उपयोग कर सकता हूं, मैं वास्तव में भूमिगत तकनीकों को समझना चाहूंगा जो विधि का समर्थन करते हैं। इसलिए मैं इस तरह के कम से कम तकनीक के अनुभवी उपयोगकर्ता के लिए, बुनियादी सवाल के साथ यहां आ रहा हूं।

अब मैं एक काफी लोकप्रिय (मुझे लगता है) और "इंजीनियर-फ्रेंडली" किताब पढ़ रहा है जिसे "फिनिट एलिमेंट मेथड- द बेसिक्स" कहा जाता है। मैं इस पुस्तक को पहले पृष्ठ से पढ़ रहा हूं, लेकिन मैं अभी तक आकार समारोह की अवधारणा को नहीं समझ सकता हूं जिस तरह से Zienkwicz इसे समझाता है।

मैं उन चीजों के बारे में जानता हूं जो मैंने पढ़ा है कि "स्टिफनेस" मैट्रिक्स है, जो कि परिणाम के साथ अज्ञात से संबंधित है ( : ), "नोड्स के बीच संबंधों" से इसके घटक हैं, और यदि वह "संबंध" बदल जाता है, (अर्थात यदि हम इसे उच्च क्रम वाले प्रक्षेप में बदलते हैं), तो कठोरता मैट्रिक्स बदल जाती है, क्योंकि नोड्स के बीच संबंध होता है।एक कश्मीर = $A$$Ak=b$

लेकिन इस पुस्तक में, परिभाषा मेरे लिए काफी अस्पष्ट है, क्योंकि कुछ बिंदु में यह कहता है कि आप मनमाने ढंग से फ़ंक्शन को चुन सकते हैं, अर्थात, पहचान मैट्रिक्स:

मुझे जो एकमात्र स्पष्टीकरण मिला वह इस ब्लॉग में है , लेकिन यह अभी भी मेरे लिए इतना स्पष्ट नहीं है। तो, कोई मुझे एक साधारण सा विवरण दे सकता है कि शेप फंक्शनलन क्या है और इसे स्टिफ़ मैट्रिक्स में "इसे" डालने के लिए कैसे किया जाता है?

Comments

यह मूल रूप से कुछ सन्निकटन है कि समाधान तत्व के भीतर कैसे भिन्न होता है। उदाहरण के लिए, एक एकल, छोटे 1 डी रैखिक तत्व (एक बार / रॉड के बारे में सोच) में यह मान लेना उचित है कि जैसे ही आप एक छोर से दूसरे छोर पर जाते हैं, समाधान (जैसे, विस्थापन या तापमान) रैखिक रूप से भिन्न होंगे। निश्चित रूप से आप उच्च क्रम के बहुपद (रैखिक के बजाय) भी चुनते हैं। उम्मीद है की वो मदद करदे।

— stali

Im सीधे इसका जवाब देने की कोशिश नहीं करने जा रहा, लेकिन मैंने FEM के बारे में जो सबसे अच्छी व्याख्या की है, वह (विडंबना) जाल-मुक्त तरीकों पर एक किताब में है, अगर आप इसका कोई लाभ उठा सकते हैं। मेशफ्री विधि: परिमित तत्व विधि / GR लियू से आगे बढ़ना।

— निक

Answer 1

मुझे हमेशा परिमित तत्व विधियों का वर्णन करने के लिए दृष्टिकोण मिला है जो असतत रैखिक प्रणाली पर ध्यान केंद्रित करता है और अनावश्यक रूप से भ्रमित करने वाले पिछड़े काम करता है। यह दूसरे रास्ते पर जाने के लिए बहुत स्पष्ट है, भले ही इसमें शुरुआत में थोड़ा गणितीय अंकन शामिल हो (जो मैं कम से कम रखने की कोशिश करूंगा)।

मान लें कि आप दिए गए और अज्ञात लिए एक समीकरण को हल करने का प्रयास कर रहे हैं , जहां एक रेखीय ऑपरेटर है जो मानचित्रों को कार्य करता है (उदाहरण के लिए, प्रत्येक बिंदु पर विस्थापन का वर्णन एक डोमेन में) दूसरे स्थान पर कार्य करता है (जैसे, लागू बलों का वर्णन करना)। चूंकि फ़ंक्शन स्पेस आमतौर पर अनंत-आयामी है, इसलिए इस प्रणाली को संख्यात्मक रूप से हल नहीं किया जा सकता है। मानक दृष्टिकोण इसलिए को परिमित-आयामी उप - स्थान और संतुष्ट करने के लिए$A u = f$$f$$u$$A$$(x,y)$$V$$V$$V$$V_h$$u_h \in V_h$$Au_h = f$। रेंज स्पेस के कारण यह अभी भी अनंत-आयामी है (जिसे हम सरलता के लिए रूप में अच्छी तरह से मान लेंगे ), इसलिए हम बस अवशिष्ट लिए ऑर्थोगोनल होने के लिए - या समकक्ष रूप से लिए प्रत्येक आधार वेक्टर में । यदि हम अब इन बेस वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में लिखते हैं , तो हम इस संयोजन में अज्ञात गुणांक के लिए एक रैखिक प्रणाली के साथ बचे हैं। (पद कठोरता मैट्रिक्स की प्रविष्टियाँ हैं , और लोड वेक्टर की प्रविष्टियाँ हैं। यदि$V$$Au_h-f\in V$$V_h$$v_h^T(Au_h-f) = 0$$v_h$$V_h$$u_h$$v_i^TAu_j$ वी टी जे एफ $K_{ij}$$v_j^Tf$$A$ एक अंतर ऑपरेटर है, एक आमतौर पर कुछ बिंदुओं पर भागों द्वारा एकीकरण करता है, लेकिन यह यहां महत्वपूर्ण नहीं है।)

इसमें से कोई भी अब तक परिमित तत्व विधियों के लिए विशिष्ट नहीं है, लेकिन किसी भी तथाकथित गैलेरिन विधि या भारित अवशिष्ट की विधि पर लागू होता है। परिमित तत्व विधि का एक विशेष पसंद की विशेषता है : कम्प्यूटेशनल डोमेन की एक संख्या में विघटित है तत्व एक ही मूल आकार के (जैसे, त्रिकोण, प्रक्रिया अक्सर कहा जाता है ट्राईऐन्ग्युलेशंस ), और अंतरिक्ष इस तरह चुना जाता है कि प्रतिबंधित प्रत्येक तत्व के लिए, में कार्य बहुपद हैं (जैसे, और में रैखिकवी एच वी एच एक्स वाई वी एच { ψ j } ( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 1 , 0 ) ψ j 1 $V_h$$V_h$$V_h$$x$$y$)। इसके अलावा, आधार कार्यों को ऐसे चुना जाता है कि वे तत्वों में से केवल (पड़ोस में) गैर-शून्य हों। इस चुनाव का मुद्दा यह है कि आप में से इस तरह के एक आधार का निर्माण कर सकते है एक आधार का पता लगाकर काफी आसानी से एक भी पर बहुपद अंतरिक्ष के संदर्भ तत्व इस तरह के त्रिकोण कोने के साथ के रूप में ( , और ) और फिर त्रिकोण में प्रत्येक तत्व पर कार्यों के आधार पर इन आधार कार्यों को मैप करने के लिए एक affine परिवर्तन का उपयोग करना। ये आकृति कार्य हैं। आमतौर पर, एक की आवश्यकता होती है कि स्थानीय आधार फ़ंक्शन मान लेते हैं$V_h$$\{\psi_j\}$$(0,0)$$(0,1)$$(1,0)$$\psi_j$$1$केवल एक कोने पर और अन्य पर (जिसे नोडल आधार कहा जाता है ), जो कि आपके द्वारा लिंक किए गए पृष्ठ के बारे में बात कर रहा है।$0$

( अन्य विकल्प अन्य तरीकों को जन्म देते हैं; वास्तव में, वर्णक्रमीय विधियां हैं जहां आधार कार्यों को चुना जाता है जैसे कि कठोरता मैट्रिक्स की पहचान है। बेशक, कोई मुफ्त भोजन नहीं है, इसलिए प्रक्रिया के अन्य भागों के साथ और अधिक कठिन हो जाता है। यह आधार।)$V_h$

Answer 2

स्ट्रक्चरल मैकेनिक्स में FEM के लिए इंजीनियरिंग दृष्टिकोण में, यह कैसे प्रस्तुत किया जाता है, आप यह महसूस करते हैं कि आप आंशिक अंतर समीकरणों को हल कर रहे हैं ।

वे आपको ये मैट्रीस दिखाते हैं, वे कुछ भौतिक अर्थ देते हैं, और मेरी राय में यह आपको क्षेत्र के लिए एक संदिग्ध शारीरिक अंतर्ज्ञान विकसित करने की ओर ले जाता है।

यह उस विषय के बारे में सोचने में मददगार हो सकता है जो इसे ज्यामिति की शर्तों के बारे में बताता है। पीडीई के लिए एक सीमा मूल्य समस्या का समाधान कुछ आकार है। छठी अर्नोलोल ने एक बार क्षेत्र में न्यूटन की उपलब्धियों की प्रशंसा करते हुए कहा कि - उन्होंने अंतरिक्ष में वक्रता और सतह में ज्यामितीय समस्याओं के लिए प्राकृतिक विज्ञान की समस्याओं के सुधार के लिए हमें अंतर समीकरणों का क्षेत्र बनाकर एक अद्भुत काम किया।

FEM में आप समाधान को अनुमानित करते हैं (FD और FVM में आप गवर्निंग समीकरण को अनुमानित करते हैं)।

बोरिस ग्लोरिविएविच गैलेर्किन दर्ज करें। बीजी गालरकिन ने क्या कहा?

उन्होंने कहा: " मैं चाहता हूं कि आप एक ही आधार कार्यों के साथ अवशिष्ट नहीं बना सकें, आप इसका समाधान तैयार करते थे। "

(पीएस यह कहानी पूरी तरह से सच नहीं है, और मैं अपने पाठकों से आग्रह करता हूं कि वे (बुबनोव-) गैलेर्किन विधि का एक बेहतर स्पष्टीकरण खोजें, अगर यह मौजूद है।)

आधार कार्य, या परीक्षण कार्य वे हैं जिनका उपयोग आप समाधान बनाने के लिए करते हैं। आप उनका उपयोग समाधान के आकार को अनुमानित करने के लिए करते हैं।

गैलेर्किन चाहता है कि आप साधारण यूक्लिडियन स्पेस में वैक्टर के अनुरूप सार तरीके से कार्यों के बारे में सोचें, और समाधान बनाने के लिए आवश्यक मापदंडों को खोजने के लिए पर्याप्त बीजीय स्थिति बनाने के लिए ओर्थोगोनलिटी की धारणा का उपयोग करें। ये बीजगणितीय स्थिति जब सभी एक साथ रखते हैं तो बनाते हैं ।$Ku=f$

एफईएम तब होता है जब आप टुकड़े द्वारा समाधान फ़ंक्शन के आकार का अनुमानित आकार लेते हैं। प्रत्येक टुकड़े में - तत्व - आपके पास कुछ मूल आकार (आकार के कार्य) होते हैं जिनमें कुछ लचीलापन होता है और विभिन्न समाधानों को अनुमानित कर सकते हैं - लेकिन केवल एक ही आपकी समस्या का समाधान है। वहाँ आकार के कार्य हैं जितना नोड्स हैं। I-th आकार फ़ंक्शन i-th नोड में एक के बराबर है, अन्य नोड्स में यह शून्य है। हल करने के लिए हम ऐसे मापदंडों को खोजते हैं जो आकार के कार्यों को परिभाषित करते हैं - नोड्स पर उनके मान, एक तत्व में आकार के कार्यों का मिश्रण उस तत्व पर समाधान देता है, आकार के टुकड़े को उन तत्वों से इकट्ठा करते हुए हम वैश्विक आकार प्राप्त करते हैं-जो कि एक मांग समाधान है हमारे बी.वी.पी.$Ku=f$

Answer 3

"आकृति फ़ंक्शंस" के बारे में जानने के लिए सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि वे वर्णन करते हैं कि आप जिस पर निर्भर चर (ओं) की गणना करना चाहते हैं (जैसे विस्थापन) तत्व के स्थानिक निर्देशांक के कार्य के रूप में भिन्न होते हैं (जैसे x और y) के संदर्भ में कुछ अज्ञात अदिश मापदंडों।

अक्सर आकार फ़ंक्शन सरल बहुपद होते हैं और स्केलर पैरामीटर तत्व नोड्स पर निर्भर चर के मान होते हैं।

इन आकृति फ़ंक्शंस का उपयोग करके परिमित तत्व समीकरण बनाने के लिए कुछ अन्य मूलभूत अवधारणाओं की आवश्यकता होती है जैसे कि आंशिक अंतर समीकरण का "कमजोर रूप" स्थापित करना जिसे आप हल करने का प्रयास कर रहे हैं।

परिमित तत्व विधि के साथ बहुत सारे अनावश्यक "रहस्यवाद" जुड़े हुए हैं इसलिए मैं मूल सिद्धांतों की गहन समझ प्राप्त करने के लिए आपके दृष्टिकोण को प्रोत्साहित करता हूं।

Answer 4

मेरा लेक्चर http://www.math.tamu.edu/~bangerth/videos.html पर व्याख्यान 4 में है । विशेष रूप से, यह आपको एक विचार देता है कि हम आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले टोपी फ़ंक्शंस का चयन क्यों करते हैं जब हम परिमित तत्व विधि का उपयोग करते हैं - अर्थात्, क्योंकि वे स्पार्सिटी की महत्वपूर्ण अवधारणा को जन्म देते हैं, भले ही आधार कार्यों के कई अन्य विकल्प रहे होंगे। समान रूप से मान्य।

Answer 5

प्रत्येक तत्व ने इसे एक विस्थापन मॉडल के साथ जोड़ा है जो सामान्यीकृत गुणांक और स्वतंत्र चर (x, y, z) के संदर्भ में क्षेत्र चर (निर्भर चर) की भिन्नता को व्यक्त करता है जैसे: 1D u (x) = 2 noded रैखिक के लिए a0 + a1x तत्व u (x) = a0 + axx + a3x ^ 2 for 3 noded द्विघात तत्व इत्यादि। यहाँ ai s सामान्यीकृत गुणांक हैं फिर हम ai s को समाप्त करते हैं और फ़ील्ड चर के आकार और नोडल मान के संदर्भ में फ़ील्ड चर की भिन्नता को व्यक्त करते हैं। उदाहरण: u (x) = N1 u1 + N2 u2 क्षेत्र चर के नोडल मान के साथ फ़ील्ड चर की विविधता से संबंधित कार्य को "शेप फंक्शन" कहा जाता है। आकृति कार्यों की संख्या नोड्स की संख्या और नोड प्रति चर की संख्या पर निर्भर करेगी। आकार कार्यों को इसलिए कार्यों के रूप में देखा जा सकता है, जो तत्व के आंतरिक बिंदुओं पर प्रत्येक नोडल मूल्य के योगदान को दर्शाता है। दो noded तत्व के लिए, नोड 1 में N1 का योगदान एकता है और N2 का शून्य है।

नोड 2 में N2 का योगदान एकता है और N1 का योगदान शून्य है।

तत्व के मध्य बिंदु पर दोनों नोड्स में समान भार या प्रभाव होता है। इसलिए आकृति फ़ंक्शंस न केवल यह दर्शाते हैं कि फ़ील्ड चर तत्व पर कैसे भिन्न होता है, बल्कि तत्व के आंतरिक बिंदुओं पर फ़ील्ड चर के प्रत्येक नोडल मूल्य को कितना प्रभावित करता है। हैप्पी लर्निंग :)

Answer 6

मैंने यहाँ और अधिक विवरणों में आकृति कार्यों को भी समझाया: http://stochasticandlagrangian.blogspot.lt/2012/02/rayleigh-ritz-method-explained-for.html

यह एक दृश्य तरीके से कदम से कदम बताता है कि रेले-रिट्ज पद्धति कैसे काम करती है। इस लेख को लिखने से आखिरकार मुझे आकार के कार्यों को समझने में मदद मिली।

Answer 7

मेरी समझ के अनुसार .. आकार के कार्य फ़ील्ड चर और नोडल बिंदुओं के बीच संबंध के अलावा और कुछ नहीं हैं।

मान लें कि हमारी पृथ्वी को बाहरी भार के साथ दबाया जा रहा है और हमारी पृथ्वी टूटने वाली है। विश्लेषणात्मक विधि से, हम कई सूत्रों का उपयोग करते हैं और पता लगाते हैं कि कुछ भाग (जैसे एशिया महाद्वीप) पृथ्वी को दरार करने के लिए है। FEM पद्धति का उपयोग करके, हम पृथ्वी को अलग-अलग देशों, राज्यों और शहरों में विभाजित करते हैं, हम प्रत्येक शहर को जाल करते हैं, और अंत में सभी शहरों को मिलाकर एक दुनिया बनाते हैं जिसे पृथ्वी कहा जाता है। आकृति फ़ंक्शंस वह कुंजी है जो जाली शहरों के बीच एक राज्य और देश और अंत में ग्लोब बनाने के लिए एक पुल प्रदान करती है। यह लिंक है जो मेष को जोड़ता है। एक बार जब यह किया जाता है तो लोड लागू किया जाता है और सटीक स्थान पाया जा सकता है जहां से दरार शुरू होती है और जिसे मजबूत किया जा सकता है।

आशा है कि इसने आपकी मदद की।

Answer 8

जैसा कि मैं आकार कार्यों के बारे में समझता हूं कि यह है, यह ज्यामितीय नोडल निर्देशांक को एक ही आकार फ़ंक्शन के साथ तत्व विस्थापन के साथ जोड़ने के बारे में है।

1D मामले पर विचार करें। इस पर 2 नोड्स के साथ एक बार समाप्त होता है।

जब मैं इस तत्व को इसके नोडल निर्देशांक के साथ जोड़ता हूं, तो मैं इस तत्व में किसी भी बिंदु पर विस्थापन को इंटरपोलेशन फ़ंक्शन की मदद से पता लगा सकता हूं।

इसलिए, मूल रूप से आकार के कार्य ऐसे अनुमान हैं जो हम अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर एक सराहनीय तरीके से विरूपण का पता लगाने के लिए करते हैं।

Comments

SciComp.SE में आपका स्वागत है। मुझे लगता है कि आप अधिक गणितीय कठोरता या कुछ उदाहरणों के साथ अपने उत्तर को बेहतर बना सकते हैं।

— nicoguaro

Answer 9

आकृति कार्य वे कार्य हैं जो तत्व के किसी भी बिंदु पर तत्व के नोड के विस्थापन से संबंधित विस्थापन से संबंधित हैं। तत्व पर आकृति फ़ंक्शन बनाम बिंदुओं का एक ग्राफ तत्व का विकृत "आकार" दिखाता है और इसलिए नाम आकार फ़ंक्शन।