घन eigenvalue समस्या के लिए जैकोबी-डेविडसन विधि का कार्यान्वयन

Question

मुझे एक बड़ी क्यूबिक स्वदेशी समस्या है:

$$\left(\mathbf{A}_0 + \lambda\mathbf{A}_1 + \lambda^2\mathbf{A}_2 + \lambda^3\mathbf{A}_3\right)\mathbf{x} = 0.$$

मैं एक रेखीय eigenvalue समस्या में परिवर्तित करके इसे हल कर सकता था, लेकिन इसका परिणाम रूप में एक प्रणाली के रूप में होगा:$3^2$

$$\begin{bmatrix} -\mathbf{A}_0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} \mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_2 & \mathbf{A}_3 \\ \mathbf{I} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix},$$

जहाँ और । क्यूबिक आइजनवेल्यू समस्या को हल करने के लिए कौन सी अन्य तकनीकें उपलब्ध हैं? मैंने सुना है कि जैकोबी-डेविडसन का एक संस्करण है जो इसे हल करेगा लेकिन इसे कार्यान्वयन नहीं मिला है।$\mathbf{y} = \lambda\mathbf{x}$$\mathbf{z} = \lambda\mathbf{y}$

इसके अलावा, मुझे ARPACK की शिफ्ट-एंड-इनवर्ट पद्धति के समान विशिष्ट eigenvalues ​​को लक्षित करने और संबंधित eigenvectors को खोजने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

Comments

मैट्रिस के आयाम क्या हैं?

— बिल बर्थ

$\mathbf{A}_i$ आदेश । मेरे पास इस समस्या के दो अलग-अलग सूत्र हैं, जिनमें से एक सघन है और दूसरे में यह विरल है। $10000\times 10000$$\mathbf{A}_i$

— OSE

SLEPc में द्विघात ईजेनवल्यू समस्याओं और नॉनलाइनियर ईजेनवेल्यू समस्याओं के लिए रूटीन हैं, इसलिए आप वहां जो कुछ भी चाहते हैं उसे ढूंढने में सक्षम हो सकते हैं। इसमें शिफ्ट-एंड-इनवर्ट सुविधाएं भी हैं, और ARPACK के लिए एक इंटरफ़ेस है।

— 19off में ज्योफ ऑक्सीबेरी

Answer 1

ARPACK के रिवर्स संचार प्रोटोकॉल के साथ, आपको स्टोर करने की आवश्यकता नहीं है $3n \times 3n$ स्पष्ट रूप से मैट्रिक्स: आपको केवल दो कार्यों को प्रदान करने की आवश्यकता है जो गणना करते हैं:

$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} -A_0 x \\ y \\ z \end{array}\right]$ तथा $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} A_1 x + A_2 y + A_3 z \\ y \\ z \end{array}\right]$

(आप अभी भी भंडारण के मूल्य का भुगतान करते हैं $3\times n$-डिमेटिक वैक्टर लेकिन आप मैट्रिस के लिए कुछ भी भुगतान नहीं करते हैं)।

इनवर्ट ट्रांसफ़ॉर्म के बारे में, आप वही कर सकते हैं, यानी गणना करने वाले कॉलबैक का उपयोग करके इसे स्वयं लागू करें $x \mapsto M^{-1} x$ के बजाय $x \mapsto M x$ और गणना की जगह $\lambda's$ साथ में $\lambda^{-1}$। गणना करना$M^{-1}x$, आप अपने मैट्रिक्स को प्री-फैक्टर कर सकते हैं $M$, जिसका मतलब केवल पूर्व-फैक्टरिंग है $A_0$(मैट्रिक्स की संरचना के आधार पर एलयू, चोल्स्की या उनमें से विरल संस्करणों का उपयोग करके)। पूर्ण पारी में बदलाव के लिए, मुझे लगता है कि ऐसा ही कुछ किया जा सकता है।