अभिन्न परिवर्तन को बदलने के लिए संख्यात्मक तरीके?

मैं निम्नलिखित अभिन्न परिवर्तन को संख्यात्मक रूप से उलटने की कोशिश कर रहा हूं:

F (y) = \int_{0}^{\infty} y \exp [- \frac{1}{2} (y^{2} + x^{2})] I_{0} (x y) f (x) d x

$F(y) = \int_{0}^{\infty} y\exp{\left[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\right]} I_0\left(xy\right)f(x)\;\mathrm{d}x$

तो एक दिया के लिए मैं लगभग करने की आवश्यकता जहां: $F(y)$ $f(x)$

और वास्तविक और सकारात्मक हैं $f(x)$ $F(y)$ (वे निरंतर संभाव्यता वितरण हैं)
वास्तविक और सकारात्मक हैं $x,y$ (वे परिमाण हैं)

मेरे पास मिनट में ऐसा करने के लिए एक बहुत ही गन्दा और क्रूर बल तरीका है:

मैं को परिभाषित करता हूं और अंकों की एक श्रृंखला पर फैलता है, यादृच्छिक अंकन द्वारा विभाजित बिंदुओं के मानों का अनुमान लगाया जाता है, जो एक अनुमानित की उपज देता है । एक बुनियादी आनुवंशिक एल्गोरिथ्म मैंने लिखा था कि अनुमानित और मापा सरणी के बीच अंतर को कम करता है । मैं तब लेता हूं जिसे एल्गोरिथ्म उलटा के लिए मेरे उत्तर के रूप में परिवर्तित करता है। $f(x)$ $F(y)$ $F(y)$ $f(x)$

यह दृष्टिकोण कुछ सरल मामलों के लिए काफी अच्छी तरह से काम करता है, लेकिन यह मुझे गन्दा लगता है और विशेष रूप से मजबूत नहीं है।

क्या कोई मुझे इस समस्या को हल करने के बेहतर तरीकों पर मार्गदर्शन दे सकता है?

अपने समय और मदद के लिए धन्यवाद!

[कंप्यूटर-विज्ञान में x- पोस्ट किया गया]

— CBowman
स्रोत

फ़ंक्शन स्पेस में एक आधार चुनने और मैट्रिक्स के अभिन्न परिवर्तन को बदलने के लिए एक काफी सरल विधि होगी। तब आप मैट्रिक्स को उल्टा कर सकते हैं।

गणितीय रूप से, यहां बताया गया है कि यह कैसे काम करता है: आपको ऑर्थोनॉमिक आधार फ़ंक्शंस कुछ सेट की आवश्यकता है । (आप बिना उन्हें भी सामान्यीकृत किया जा रहा प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन यह इस तरह से समझाने के लिए आसान है।) Orthonormal का मतलब है कि आंतरिक उत्पाद , जहां $T_i(x)$ $\langle T_i,T_j\rangle = \delta_{ij}$

\begin{matrix} (1) & ⟨ T_{i}, T_{j} ⟩ \equiv \int_{a}^{b} W (x) T_{i} (x) T_{j} (x) d x = δ_{i j} \end{matrix}

$\langle T_i,T_j\rangle \equiv \int_a^b W(x) T_i(x)T_j(x)\,\mathrm{d}x = \delta_{ij}\tag{1}$

यहां कुछ वजन फ़ंक्शन है। वह और सीमा और की आपकी पसंद से जुड़ी हैं । एक बार जब आप उपयोग करने के लिए आधार कार्यों में से कौन सा सेट चुनते हैं, तो आप अपने प्रोग्राम में सीमा और वजन फ़ंक्शन को हार्ड कोड कर सकते हैं। $W(x)$ $a$ $b$ $T_i$

रूढ़िवादिता का उपयोग करके, आप किसी भी कार्य को व्यक्त कर सकते हैं, जैसे कि और , इन आधार कार्यों के रैखिक संयोजनों के रूप में: $f(x)$ $F(y)$

\begin{aligned} (2) & f (x) & = \sum_{i} c_{i} T_{i} (x) & F (y) & = \sum_{j} C_{j} T_{j} (y) \end{aligned}

$\begin{align} f(x) &= \sum_{i} c_i T_i(x) & F(y) &= \sum_{j} C_j T_j(y) \tag{2} \end{align}$

जहां गुणांक की गणना की जाती है

\begin{aligned} (3) & c_{i} & = ⟨ f, T_{i} ⟩ = \int_{a}^{b} W (x) f (x) T_{i} (x) d x \\ (4) & C_{j} & = ⟨ F, T_{j} ⟩ = \int_{a}^{b} W (y) F (y) T_{j} (y) d y \end{aligned}

$\begin{align} c_i &= \langle f,T_i\rangle = \int_a^b W(x) f(x)T_i(x)\,\mathrm{d}x \tag{3}\\ C_j &= \langle F,T_j\rangle = \int_a^b W(y) F(y)T_j(y)\,\mathrm{d}y \tag{4} \end{align}$

आप सत्यापित कर सकते हैं कि ये अभिव्यक्तियाँ गुणांक की परिभाषाओं के अनुरूप हैं, eq। (2), और ऑर्थोनॉर्मलिटी, eq। (1)।

अब, प्रत्येक आधार फ़ंक्शन के रूपांतरण की गणना करें; यह कॉल । $\tilde{T}_i(y)$

{\tilde{T}}_{i} (y) \equiv \int_{0}^{\infty} y \exp [- \frac{1}{2} (y^{2} + x^{2})] I_{0} (x y) T_{i} (x) d x

$\tilde{T}_i(y) \equiv \int_0^\infty y \exp\biggl[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\biggr]I_0(xy)T_i(x)\,\mathrm{d}x$

एक फ़ंक्शन है, और इसलिए आप इसे फ़ंक्शंस के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं जैसे हमनेऔर: $\tilde{T}_i(y)$ $f(x)$ $F(y)$

{\tilde{T}}_{i} (y) = \sum_{k} A_{i k} T_{k} (y)

$\tilde{T}_i(y) = \sum_k A_{ik}T_k(y)$

जहां मैट्रिक्स तत्व को उसी तरह से निर्धारित किया जाता है जैसे हमने और ऊपर पाया है: $A_{ik}$ $c_i$ $C_j$

\begin{matrix} (5) & A_{i k} = ⟨ {\tilde{T}}_{i}, T_{k} ⟩ = \int_{a}^{b} W (y) {\tilde{T}}_{i} (y) T_{k} (y) d y \end{matrix}

$A_{ik} = \langle \tilde{T}_i, T_k\rangle = \int_a^b W(y) \tilde{T}_i(y)T_k(y)\,\mathrm{d}y\tag{5}$

$i$ $k$ $T_i(x)$ $W(x)$

$A_{ik}$ $c_i$ $C_j$ $f(x)$ $F(y)$

\begin{aligned} \overset{F (y)}{\overset{⏞}{\sum_{j} C_{j} T_{j} (y)}} & = \int_{0}^{\infty} y \exp [- \frac{1}{2} (y^{2} + x^{2})] I_{0} (x y) \overset{f (x)}{\overset{⏞}{\sum_{i} c_{i} T_{i} (x)}} d x \\ = \sum_{i} c_{i} \int_{0}^{\infty} y \exp [- \frac{1}{2} (y^{2} + x^{2})] I_{0} (x y) T_{i} (x) d x \\ = \sum_{i} c_{i} \sum_{k} A_{i k} T_{k} (y) \end{aligned}

$\begin{align} \overbrace{\sum_{j} C_j T_j(y)}^{F(y)} &= \int_0^\infty y \exp\biggl[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\biggr]I_0(xy)\overbrace{\sum_{i} c_i T_i(x)}^{f(x)}\,\mathrm{d}x\\ &= \sum_{i} c_i \int_0^\infty y \exp\biggl[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\biggr]I_0(xy)T_i(x)\,\mathrm{d}x\\ &= \sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}T_k(y) \end{align}$

$C_{\ell}$ $T_{\ell}$

\begin{aligned} ⟨ (\sum_{j} C_{j} T_{j}), T_{ℓ} ⟩ & = ⟨ (\sum_{i} c_{i} \sum_{k} A_{i k} T_{k}), T_{ℓ} ⟩ \\ \int_{a}^{b} W (y) \sum_{j} C_{j} T_{j} (y) T_{ℓ} (y) d y & = \int_{a}^{b} W (y) \sum_{i} c_{i} \sum_{j} A_{i k} T_{k} (y) T_{ℓ} (y) d y \\ \sum_{j} C_{j} \int_{a}^{b} W (y) T_{j} (y) T_{ℓ} (y) d y & = \sum_{i} c_{i} \sum_{k} A_{i k} \int_{a}^{b} W (y) T_{k} (y) T_{ℓ} (y) d y \\ \sum_{j} C_{j} δ_{j ℓ} & = \sum_{i} c_{i} \sum_{k} A_{i k} δ_{k ℓ} \\ C_{ℓ} & = \sum_{i} c_{i} A_{i ℓ} \end{aligned}

$\begin{align} \left\langle \biggl(\sum_{j} C_j T_j\biggr), T_\ell\right\rangle &= \left\langle \biggl(\sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}T_k\biggr), T_\ell\right\rangle \\ \int_a^b W(y) \sum_{j} C_j T_j(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y &= \int_a^b W(y) \sum_{i} c_i \sum_{j} A_{ik}T_k(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y \\ \sum_{j} C_j \int_a^b W(y) T_j(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y &= \sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}\int_a^b W(y) T_k(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y \\ \sum_{j} C_j \delta_{j\ell} &= \sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}\delta_{k\ell} \\ C_\ell &= \sum_{i} c_i A_{i\ell} \end{align}$

$\ell$ $C_j$

$C_j$ $c_i$ $A_{ij}$ $c_i$ $A_{ij}$ $C_j$ $F(y)$

$F(y)$ $C_j$

C_{j} = \sum_{i} c_{i} A_{i j}

$C_j = \sum_{i} c_i A_{ij}$

$A$

ध्यान दें कि मैंने अब तक जो कुछ भी लिखा है, उसने , , आदि पर अनिर्दिष्ट की सीमा को छोड़ दिया है । व्यवहार में, आपको कुछ सीमाएं चुनने की आवश्यकता होगी, कहते हैं कि एक रैखिक संयोजन द्वारा पर्याप्त रूप से अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है $i$ $j$ $1$ $N$ $N$ $f(x)$ $T_1(x),\ldots,T_N(x)$ $1$ $M$ $F(y)$ $T_1(y),\ldots,T_M(y)$ $M = N$ $M$ $N$ $N$ $c_i$ $A$ $M\times N$ $A_{11}$ $A_{NM}$

$[-1,1]$ $T_i$ और सीमाएंऔर। (ध्यान दें कि जिस फॉर्म में वे अक्सर दिए जाते हैं, सामान्यीकरण ऐसा है कि $W(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ $a = -1$ $b = 1$ $\langle T_i, T_j\rangle = \delta_{ij}\pi/2$ $i = j\neq 0$ $\langle T_0, T_0\rangle = \pi$

— डेविड जेड
स्रोत