मुझे अंतराल अंकगणित (आईए) के बारे में एक बहुत ही मूल धारणा है, लेकिन यह सैद्धांतिक और व्यावहारिक रूप से कम्प्यूटेशनल विज्ञान की एक बहुत ही दिलचस्प शाखा लगती है। यह स्पष्ट है कि स्पष्ट अनुप्रयोग सत्यापित कंप्यूटिंग और गैर-समक्षित समस्याएं हैं, लेकिन यह बहुत सार है। चूँकि यहाँ पर लागू अभिकलन में बहुत सारे लोग शामिल हैं, मैं वास्तविक विश्व की समस्याओं के बारे में उत्सुक हूँ जो बिना IA के हल करना कठिन या असंभव है ।
जवाबों:
यह उत्तर आंशिक रूप से जैकपॉल्सन की टिप्पणी का जवाब देता है (क्योंकि यह लंबा है), और आंशिक रूप से प्रश्न का उत्तर देता है।
अंतराल अंकगणित गणना की मात्रा पर कठोर सीमा देने के लिए एक कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया है, केवल इस अर्थ में कि एक अंतराल पर एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन का अंतराल विस्तार उसी अंतराल पर उस फ़ंक्शन की छवि को संलग्न करता है। कुछ भी गणना किए बिना, अंतराल अंकगणित आपको गणना में संख्यात्मक त्रुटि को प्रभावित करने वाले कारकों के बारे में कोई जानकारी नहीं दे सकता है, जबकि हिघम की पुस्तक में प्रमेय और अन्य आपको संभावित कमजोर सीमा की कीमत पर संख्यात्मक त्रुटि को प्रभावित करने वाले कारकों की जानकारी देते हैं। दी गई है, तथाकथित निर्भरता की समस्या के कारण, अंतराल अंकगणित का उपयोग करके प्राप्त की गई सीमाएं भी कमजोर हो सकती हैं , लेकिन कभी-कभी वे बहुत मजबूत होती हैं। उदाहरण के लिए, अंतराल पैकेज एकीकरण पैकेज COZY इन्फिनिटी का उपयोग कर प्राप्त कियाडॉलक्विस्ट के परिणामों से संख्यात्मक एकीकरण पर प्राप्त त्रुटि सीमा के प्रकारों की तुलना में बहुत अधिक तंग हैं ( विवरण के लिए हेयरर, वनर, और नॉरसेट देखें); ये परिणाम (मैं विशेष रूप से सिद्धांत 10.2 और भाग I में 10.6 का उल्लेख कर रहा हूं) त्रुटि के स्रोतों में अधिक जानकारी देते हैं, लेकिन सीमाएं कमजोर हैं, जबकि COZY का उपयोग करने वाली सीमा तंग हो सकती है। (वे निर्भरता के मुद्दों को कम करने के लिए कई तरकीबों का उपयोग करते हैं।)
जब अंतराल अंकगणित करता है, तो मैं "प्रमाण" शब्द का उपयोग करने में संकोच करता हूं। अंतराल अंकगणित से जुड़े साक्ष्य हैं, लेकिन जावक गोलाई के साथ अंतराल अंकगणित का उपयोग करके परिणामों की गणना करना वास्तव में एक फ़ंक्शन की सीमा को रूढ़िबद्ध करने के लिए बहीखाता का एक साधन है। अंतराल अंकगणितीय गणना सबूत नहीं हैं; वे अनिश्चितता का प्रचार करने का एक तरीका हैं।
जहां तक आवेदन जाते हैं, केमिकल इंजीनियरिंग में स्टैडथर के काम के अलावा, कण बीम प्रयोगों के लिए सीमा की गणना करने के लिए अंतराल अंकगणितीय का भी उपयोग किया गया है (देखें कोकिला इन्फ्रास्ट्रक्चर साइट से जुड़े Makino और Berz का काम), उनका उपयोग किया गया है बार्टन द्वारा वैश्विक अनुकूलन और रासायनिक इंजीनियरिंग डिजाइन अनुप्रयोगों (दूसरों के बीच) में उपयोग किया जाता है (लिंक प्रकाशनों की एक सूची के लिए है), अंतरिक्ष यान का डिजाइन और वैश्विक अनुकूलन (दूसरों के बीच) नेयूमर द्वारा (फिर, लिंक प्रकाशनों की एक सूची के लिए है) ), Kearfott (प्रकाशनों की एक और सूची), और अनिश्चितता मात्रा का ठहराव (विभिन्न स्रोतों के लिए , वैश्विक अनुकूलन और nonlinear समीकरण सॉल्वर ); बार्टन उनमें से एक है)।
अंत में, एक अस्वीकरण: बार्टन मेरे थीसिस सलाहकारों में से एक है।
अंतराल अंकगणित आपको गणितीय कठोरता के साथ एक प्रमाण देता है।
वास्तविक अनुप्रयोगों के अच्छे उदाहरण मार्क स्टैडथर और उनके अनुसंधान समूह का काम है। विशेष रूप से, चरण संतुलन और स्थिरता गणना सफलतापूर्वक अंतराल विधियों के साथ हल की जाती है।
बेंचमार्क का एक अच्छा संग्रह, उनकी भौतिक पृष्ठभूमि के संदर्भ में, ALIAS वेबसाइट पर है ।
अंतराल अंकगणित और इसके सामान्यीकरण की एक और विशेषता यह है कि यह एक फ़ंक्शन के डोमेन के अनुकूली अन्वेषण की अनुमति देता है। यह इस प्रकार अनुकूली ज्यामितीय मॉडलिंग, प्रसंस्करण और प्रतिपादन के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, बस कंप्यूटर ग्राफिक्स से उदाहरण लेने के लिए।
इंटरवल के तरीकों ने कठिन गणितीय प्रमेयों के कुछ हालिया साक्ष्यों में चित्रित किया है जैसे कि लॉरेंज आकर्षितकर्ता और केपलर अनुमान में अराजकता का अस्तित्व। इन और अन्य अनुप्रयोगों के लिए http://www.cs.utep.edu/interval-comp/kearfottPopular.pdf देखें ।
अंतराल अंकगणित ज्यामितीय एल्गोरिदम के लिए बहुत उपयोगी है। ऐसे ज्यामितीय एल्गोरिदम इनपुट के रूप में ज्यामितीय वस्तुओं (जैसे बिंदुओं का एक सेट) का एक सेट लेते हैं और बिंदुओं के बीच स्थानिक संबंधों के आधार पर एक संयोजन डेटा संरचना (जैसे एक त्रिकोण) का निर्माण करते हैं। ये एल्गोरिदम एक छोटी संख्या में कार्यों पर निर्भर करते हैं, जिन्हें 'प्रिडिक्ट्स' कहा जाता है, जो एक निश्चित संख्या में ज्यामितीय वस्तुओं को लेते हैं और एक असतत मान (आमतौर पर 'ऊपर, गठबंधन, नीचे') में से एक को लौटाते हैं। इस तरह की भविष्यवाणी आमतौर पर बिंदु के निर्देशांक के निर्धारक के संकेत के अनुरूप होती है।
मानक फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबरों का उपयोग करना पर्याप्त नहीं है, क्योंकि यह निर्धारक के संकेत की सही गणना नहीं कर सकता है, और इससे भी बदतर, असंगत परिणाम लौटाता है (अर्थात, कह रहा है कि A, B और B से ऊपर है A के ऊपर है, इस प्रकार एल्गोरिथ्म बना सकता है a एक जाल के बजाय गड़बड़!)। सिस्टमेटिक रूप से मल्टी-प्रिसेंस (जैसे कि ग्नू मल्टी-प्रिसिजन लाइब्रेरी और मल्टी-प्रफेशन फ्लोटिंग पॉइंट नंबरों के लिए इसका MPFR एक्सटेंशन) काम करता है, लेकिन एक महत्वपूर्ण प्रदर्शन पेनल्टी का कारण बनता है। जब ज्यामितीय विधेय किसी चीज़ का संकेत होता है (जैसा कि ज्यादातर मामलों में), अंतराल अंकगणित का उपयोग करके किसी को एक तेज़ संगणना करने की अनुमति मिलती है, और उसके बाद ही अधिक विस्तारक बहु-सटीक गणना शुरू होती है यदि शून्य अंतराल में हो।
इस तरह के दृष्टिकोण का उपयोग कई बड़े कम्प्यूटेशनल ज्यामिति कोड (जैसे CGAL) में किया जाता है।