ब्रा-केट नोटेशन कैसे काम करता है?

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क्वांटम एल्गोरिदम अक्सर अपने विवरण में ब्रा-केट नोटेशन का उपयोग करते हैं। इन सभी कोष्ठक और ऊर्ध्वाधर रेखाओं का क्या अर्थ है? उदाहरण के लिए: $|ψ⟩=α|0⟩+β|1⟩$

जबकि यह गणित के बारे में एक प्रश्न है, विशेष रूप से क्वांटम गणना से निपटने के दौरान इस प्रकार के अंकन का अक्सर उपयोग किया जाता है। मुझे यकीन नहीं है कि मैंने कभी इसे किसी अन्य संदर्भों में इस्तेमाल किया है।

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पिछले भाग से, मेरा मतलब है कि रैखिक बीजगणित के लिए मानक संकेतन का उपयोग करके वैक्टर और आंतरिक उत्पादों को निरूपित करना संभव है, और कुछ अन्य फ़ील्ड जो इन ऑब्जेक्ट्स और ऑपरेटरों का उपयोग करते हैं, वे ब्रा-केट नोटेशन के उपयोग के बिना ऐसा करते हैं।

यह मुझे यह निष्कर्ष निकालने के लिए प्रेरित करता है कि कुछ अंतर / कारण है कि क्वांटम एल्गोरिदम को दर्शाने के लिए ब्रा-केट विशेष रूप से उपयोगी है। यह तथ्य का दावा नहीं है, मेरा मतलब इसे अवलोकन के रूप में समझना था। "मुझे यकीन नहीं है कि मैंने इसे कहीं और इस्तेमाल किया है" यह वैसा ही कथन नहीं है जैसा कि "किसी अन्य संदर्भ में इसका उपयोग नहीं किया गया है"।

notation

— एला रोज
स्रोत

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संबंधित: मेटा पर कैसे ब्रा-केट संकेतन

T E X

$\TeX$ ।

— नेट

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जैसा कि पहले ही दूसरों द्वारा समझाया गया है, एक केट सिर्फ एक वेक्टर है। एक ब्रावेक्टर का हर्मिटियन संयुग्म है। आप एक वेक्टर को सामान्य तरीके से संख्या के साथ गुणा कर सकते हैं। $\left|\psi\right>$ $\left<\psi\right|$

अब मजेदार हिस्सा आता है: आप दो वैक्टरों के अदिश उत्पाद को लिख सकते हैं और as । $\left|\psi\right>$ $\left|\phi\right>$ $\left<\phi\middle|\psi\right>$

आप एक ऑपरेटर को वेक्टर पर लागू कर सकते हैं (परिमित आयामों में यह केवल एक मैट्रिक्स गुणन है) । $X\left|\psi\right>$

सब सब में, संकेतन बहुत आसान और सहज है। अधिक जानकारी के लिए, क्वांटम यांत्रिकी पर विकिपीडिया लेख या एक पाठ्यपुस्तक देखें।

— jknappen - मोनिका को बहाल करना
स्रोत

"ब्रा एक हर्मिटियन संयुग्म है।" वेक्टर का हर्मिटियन संयुग्म क्या है? और है सिर्फ आंतरिक उत्पाद वैक्टर की और ?

⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle\phi|\psi\rangle$

ϕ^{⊤} ψ

$\phi^\top \psi$

ϕ

$\phi$

ψ

$\psi$

— देवलारिस्ट

वैक्टर, कॉलम वैक्टर और पंक्ति वैक्टर दो प्रकार के होते हैं। एक कॉलम वेक्टर का हर्मिटियन संयुग्म जटिल संयुग्मित तत्वों के साथ एक पंक्ति वेक्टर है, और इसके विपरीत।

— jknappen -

जटिल संयुग्मित तत्व?

— डेवलेरिस्ट

मैट्रिक्स तत्वों के रूप में तत्व। आप "घटक" शब्द का भी उपयोग कर सकते हैं जो वैक्टर के बारे में बात करते समय अधिक सामान्य होता है।

— jknappen -

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हाँ, है आंतरिक उत्पाद , लेकिन वेक्टर अंतरिक्ष जटिल है, इसलिए सूत्र है है ही नहीं, पक्षांतरित, Hermitian संयुग्म के लिए कटार ध्यान दें, यह।

⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle\phi|\psi\rangle$

ϕ^{†} ψ

$\phi^\dagger\psi$

— jknappen -

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आप एक क्वांटम बिट के दो ऑर्थोनॉमिक आधार अवस्थाओं ("केट" एस द्वारा दर्शाए गए) के रूप में और बारे में सोच सकते हैं जो दो आयामी जटिल वेक्टर अंतरिक्ष में रहता है। आपके द्वारा देखी जाने वाली लाइनें और कोष्ठक मूल रूप से ब्रा-केट नोटेशन उर्फ डिराक अंकन है जो आमतौर पर क्वांटम यांत्रिकी में उपयोग किया जाता है। $|0\rangle$ $|1\rangle$

एक उदाहरण के रूप में , जबकि इलेक्ट्रॉन के स्पिन-डाउन स्थिति का प्रतिनिधित्व कर सकता है स्पिन-अप राज्य का प्रतिनिधित्व कर सकता है। लेकिन वास्तव में इलेक्ट्रॉन उन दो राज्यों के एक रैखिक सुपरपोज़िशन में हो सकता है (यह आमतौर पर तरह सामान्यीकृत होता जहां । $|0\rangle$ $|1\rangle$ $|\psi\rangle_{\text{electron}} = a|0\rangle + b|1\rangle$ $\frac{a|0\rangle + b|1\rangle}{\sqrt{|a|^2+|b|^2}}$ $a,b\in \Bbb{C}$

— संचेतन दत्ता
स्रोत

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इन सभी कोष्ठक और ऊर्ध्वाधर रेखाओं का क्या अर्थ है?

नोटेशन अर्थ बिल्कुल वैसा ही है जैसे कि या , अर्थात यह एक वेक्टर को दर्शाता है जिसका नाम "v" है। बस। आगे कोई रहस्य या जादू नहीं है, बिल्कुल नहीं। प्रतीक "साई" नामक एक वेक्टर को दर्शाता है। $\left \lvert v \right \rangle$ $\vec{v}$ $\textbf{v}$ $\left \lvert \psi \right \rangle$

प्रतीक को "केट" कहा जाता है, लेकिन यह बिल्कुल भी हो सकता है (और मेरी राय में) को "वेक्टर" कहा जाना चाहिए, जिसका अर्थ बिल्कुल नहीं है। $\left \lvert \cdot \right \rangle$

जबकि यह गणित के बारे में एक प्रश्न है, विशेष रूप से क्वांटम गणना से निपटने के दौरान इस प्रकार के अंकन का अक्सर उपयोग किया जाता है। मुझे यकीन नहीं है कि मैंने कभी इसे किसी अन्य संदर्भों में इस्तेमाल किया है।

अंकन का आविष्कार एक भौतिक विज्ञानी ( पॉल डिराक ) द्वारा किया गया था और इसे "डीराक संकेतन" या "ब्रा-केट नोटेशन" कहा जाता है । जहां तक मुझे पता है, डायराक ने क्वांटम यांत्रिकी का अध्ययन करते समय संभवतः इसका आविष्कार किया था, और इसलिए ऐतिहासिक रूप से इस धारणा का उपयोग ज्यादातर वैक्टर को दिखाने के लिए किया गया है जो क्वांटम यांत्रिकी, यानी क्वांटम राज्यों में दिखाई देते हैं। ब्रा-केट संकेतन किसी भी क्वांटम यांत्रिकी संदर्भ में मानक है , न कि केवल क्वांटम गणना। उदाहरण के लिए, श्रोडिंगर समीकरण , जिसे क्वांटम सिस्टम में गतिशीलता के साथ करना पड़ता है और दशकों तक क्वांटम गणना की भविष्यवाणी करता है, ब्रा-केट नोटेशन का उपयोग करके लिखा जाता है।

इसके अलावा, अंकन अन्य रैखिक बीजगणित संदर्भों में बहुत सुविधाजनक है और क्वांटम यांत्रिकी के बाहर उपयोग किया जाता है।

— DanielSank
स्रोत

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यह मुझे यह निष्कर्ष निकालने के लिए प्रेरित करता है कि कुछ अंतर / कारण है कि क्वांटम एल्गोरिदम को दर्शाने के लिए ब्रा-केट विशेष रूप से उपयोगी है।

पहले से ही एक स्वीकृत उत्तर और एक उत्तर है जो 'केट', 'ब्रा' और स्केलर उत्पाद संकेतन की व्याख्या करता है।

मैं हाइलाइट की गई प्रविष्टि में थोड़ा और जोड़ने की कोशिश करूंगा। क्या यह एक उपयोगी / आसान संकेतन बनाता है?

पहली बात यह है कि ब्रा-केट संकेतन वास्तव में बहुत अधिक उपयोग किया जाता है, जो कि बहुत ही सरलता से (आमतौर पर हर्मिटियन) ऑपरेटर के आईजेनवेक्टर को एक आइगेनवैल्यू के साथ जोड़ा जाता है। मान लीजिए कि हमारे पास एक eigenvalue समीकरण , इस निरूपित किया जा सकता है के रूप में , और शायद कुछ अतिरिक्त लेबल अगर वहाँ कुछ अध: पतन । $A(v)=\lambda v$ $A\left|\lambda\right\rangle=\lambda \left|\lambda\right\rangle$ $k$ $A\left|\lambda,k\right\rangle=\lambda \left|\lambda,k\right\rangle$

आप इसे सभी क्वांटम यांत्रिकी पर नियोजित देखते हैं, संवेग प्रतिजन को या रूप में लेबल किया जाता है , जो इकाइयों पर या कई कण राज्यों के आधार पर होता है। ; बोस और फर्मी प्रणाली के लिए व्यवसाय संख्या प्रतिनिधित्व कई बॉडी सिस्टम ; एक स्पिन हाफ पार्टिकल आमतौर पर संचालक का है, जिसे कभी-कभी और रूप में लिखा जाता है या और , आदि के लिए आशुलिपि के रूप में $\left|\vec{k}\right\rangle$ $\left|\vec{p}\right\rangle$ $\left|\vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3\ldots\right\rangle$ $\left|n_1,n_2,\ldots\right\rangle$ $S_z$ $\left|+\right\rangle$ $\left|-\right\rangle$ $\left|\uparrow\,\right\rangle$ $\left|\downarrow\,\right\rangle$ $\left|\pm \hbar/2\right\rangle$ ; और फ़ंक्शंस के eigenfunctions के रूप में गोलाकार हार्मोनिक्स सुविधाजनक रूप से लिखे गए हैं। और साथ $L^2$ $L_z$ $\left|l,m\right\rangle$ $l=0,1,2,\ldots$ $m=-l,-l+1,\ldots,l-1,l.$

इसलिए नोटेशन की सुविधा एक बात है, लेकिन डायक्रिक अंकन के साथ बीजीय जोड़तोड़ करने के लिए एक प्रकार का 'लेगो' भी है, उदाहरण के लिए में आधा_ ऑपरेटर स्पिन ऑपरेटर को , राज्य की तरह कार्य करना एक बस करता है $S_x$ $S_x=\frac{\hbar}{2}(\left|\uparrow\right\rangle\left\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\right\rangle\left\langle\uparrow\right|)$ $\left|\uparrow\right\rangle$

S_{x} | ↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} (| ↑ ⟩ ⟨ ↓ | + | ↓ ⟩ ⟨ ↑ |) | ↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} | ↑ ⟩ ⟨ ↓∣↑ ⟩ + \frac{ℏ}{2} | ↓ ⟩ ⟨ ↑∣↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} | ↓ ⟩

$S_x\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left(\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\right|\right)\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle+\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\right\rangle$

चूँकि और । $\left\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=1$ $\left\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle=0$

यह क्वांटम एल्गोरिदम के लिए क्या काम करता है?

कहो कि हमारे पास एक उपयुक्त दो स्तरीय प्रणाली है; यह एक दो आयामी जटिल सदिश स्थान है, जिसके आधार को निरूपित किया जाता है और । जब हम कहते हैं कि इस फॉर्म के qubits पर विचार करें, तो सिस्टम के राज्य एक बड़े स्थान पर रहते हैं जो टेंसर उत्पाद स्थान, । डायकेशन संकेतन यहां आसान हो सकता है, आधार राज्यों को लोगों और शून्य के तारों द्वारा लेबल किया जाएगा और एक आम तौर पर एक राज्य को दर्शाता है जैसे , और कहते हैं कि हमारे पास थोड़ा फ्लिप ऑपरेटर जो इंटरचेंज करता है $V$ $\left|0\right\rangle$ $\left|1\right\rangle$ $n$ $V^{\otimes n}$ $\left|1\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle\equiv\left|1001\right\rangle$ $X_i$ $1\leftrightarrow 0$ th बिट पर , यह केवल उपरोक्त तारों पर कार्य कर सकता है जैसे , और ऑपरेटरों का योग लेना और अभिनय करना राज्यों का अधीक्षण बस के रूप में काम करता है। $i$ $X_3\left|1001\right\rangle=\left|1011\right\rangle$

थोड़ा सावधानी: एक राज्य जिसे लिखा जाता मतलब हमेशा नहीं होता है , उदाहरण के लिए जब आपके पास दो समान फ़र्म हैं लहर कार्यों का कहना है कि और , लेबल कुछ आधार सेट अनुक्रमण शामिल है, तो एक fermions की स्लेटर निर्धारक राज्य में लिख सकते हैं एक शॉर्टहैंड में as या यहां तक कि । $\left|a,b\right\rangle$ $\left|a\right\rangle\otimes\left|b\right\rangle$ $\phi_{k_1}(\vec{r}_1)$ $\phi_{k_2}(\vec{r}_2)$

\frac{1}{\sqrt{2}} (ϕ_{k_{1}} ({\vec{r}}_{1}) ϕ_{k_{2}} ({\vec{r}}_{2}) - ϕ_{k_{1}} ({\vec{r}}_{2}) ϕ_{k_{2}} ({\vec{r}}_{1}))

$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_{k_1}(\vec{r}_1)\phi_{k_2}(\vec{r}_2)-\phi_{k_1}(\vec{r}_2)\phi_{k_2}(\vec{r}_1)\right)$

| ϕ_{k_{1}}, ϕ_{k_{2}} ⟩

$\left|\phi_{k_1},\phi_{k_2}\right\rangle$

| k_{1}, k_{2} ⟩ \neq | k_{1} ⟩ \otimes | k_{2} ⟩

$\left|k_1,k_2\right\rangle\neq \left|k_1\right\rangle\otimes \left|k_2\right\rangle$

— snulty
स्रोत

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Ket अंकन साधन एक वेक्टर जो कुछ वेक्टर अंतरिक्ष में हम इस तरह के आठ 3-बिट श्रृंखला के सभी जटिल रैखिक संयोजन के स्थान के रूप में काम कर रहे हैं, , , , आदि , जैसा कि हम इस्तेमाल कर सकते हैं एक क्वांटम कंप्यूटर की स्थिति का प्रतिनिधित्व करने के लिए। Unadorned अर्थ बिल्कुल एक ही होता है — _I rangle ket नोटेशन आंशिक रूप से उस पर जोर देने के लिए उपयोगी है, उदाहरण के लिए , ब्याज की सदिश जगह का एक तत्व है, और आंशिक रूप से संयोजन में इसकी कटाई के साथ। ब्रा संकेतन। $|\psi\rangle$ $000$ $001$ $010$ $\psi$ $|\psi\rangle$ $|010\rangle$

ब्रा अंकनइसका मतलब है दोहरी वेक्टर या covector -एक रैखिक कार्यात्मक scalars को वैक्टर से, या रैखिक नक्शा, एक सदिश में जिसका मूल्य है आंतरिक उत्पाद की के साथ , चतुरता से लिखा । यहां हम एक आंतरिक उत्पाद के अस्तित्व को मानते हैं, जो मनमाने ढंग से वेक्टर रिक्त स्थान में नहीं दिया गया है, लेकिन क्वांटम भौतिकी में हम आमतौर पर हिल्बर्ट रिक्त स्थान में काम करते हैं, जिसकी परिभाषा में एक आंतरिक उत्पाद है। एक वेक्टर के दोहरे को कभी-कभी इसका (हर्मिटियन) स्थानान्तरण भी कहा जाता है $\langle\psi|$ $|\phi\rangle$ $\psi$ $\phi$ $\langle\psi|\phi\rangle$ , क्योंकि मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व में, एक वेक्टर एक कॉलम से मेल खाती है और एक कोवेक्टर एक पंक्ति से मेल खाती है, और जब आप गुणा करते हैं तो आपको एक स्केलर मिलता है। (Hermitian हिस्सा साधन मैट्रिक्स transposing के अलावा, हम अपने प्रविष्टियों-जो वास्तव में सिर्फ आगे मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व transposing है जटिल संयुग्म ले परिसर के नंबर ।) $\mathrm{row} \times \mathrm{column}$ $\scriptstyle\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$ $a + b i$

जब अन्य तरीके से लिखा गया है,, आप बाहरी उत्पाद की के साथ , द्वारा दिए गए अपने आप को वेक्टर अंतरिक्ष के रैखिक परिवर्तन होने के लिए परिभाषित । यही कारण है कि, एक सदिश दिया जाता है , यह आन्तरिक उत्पाद । द्वारा दिए गए अदिश द्वारा सदिश को मापता है । चूँकि प्रश्न के संचालन सहयोगी हैं, इसलिए हम कोष्ठक को हटा सकते हैं और स्पष्ट रूप से लिख सकते हैं $|\psi\rangle\langle\phi|$ $\psi$ $\phi$ $|\theta\rangle \mapsto (\langle\phi|\theta\rangle) |\psi\rangle$ $\theta$ $\psi$ $\langle\phi|\theta\rangle$

(| ψ ⟩ ⟨ ϕ |) | θ ⟩ = | ψ ⟩ ⟨ ϕ | θ ⟩ = ⟨ ϕ | θ ⟩ | ψ ⟩ = (⟨ ϕ | θ ⟩) | ψ ⟩ .

$(|\psi\rangle\langle\phi|)|\theta\rangle = |\psi\rangle\langle\phi|\theta\rangle = \langle\phi|\theta\rangle|\psi\rangle = (\langle\phi|\theta\rangle)|\psi\rangle.$ इसमें शामिल संचालन सामान्य रूप से सराहनीय नहीं है , हालांकि: इस आदेश को उलटने से जटिल संयुग्म , द्वारा जगह । मिश्रण में फेंके गए रिक्त स्थान के अन्य परिवर्तन भी हो सकते हैं, जैसे , जिसे समान रूप से रैखिक कार्यात्मक के precomposition के रूप में पढ़ा जा सकता हैरैखिक परिवर्तन , वेक्टर के लिए लागू किया गया

⟨ ψ | ϕ ⟩ = ⟨ ϕ | ψ ⟩^{*}

$\langle\psi|\phi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle^*$

a + b i

$a + b i$

a - b i

$a - b i$

⟨ ψ | A | ϕ ⟩

$\langle\psi|A|\phi\rangle$

⟨ ψ |

$\langle\psi|$

A

$A$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$ , या रैखिक कार्यात्मक के मूल्यांकन के रूप मेंवेक्टर पर रूपांतरण द्वारा प्राप्त रैखिक परिवर्तन द्वारा ।

⟨ ψ |

$\langle\psi|$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$

A

$A$

अंकन का उपयोग मुख्य रूप से क्वांटम भौतिकी में किया जाता है; गणितज्ञों सिर्फ लिखने के लिए करते हैं जहां भौतिकविदों में लिख सकते हैं ; कोवेक्टर के लिए; आंतरिक उत्पाद के लिए या तो या ; और जो भौतिकविदों के लिए । $\psi$ $|\psi\rangle$ $\psi^*$ $\langle\psi|$ $\langle\psi,\phi\rangle$ $\psi^*\phi$ $\psi^*A\phi$ $\langle\psi|A|\phi\rangle$

— स्क्विश ओस्सिफ्रेज
स्रोत