स्क्रैच से क्वांटम सर्किट कैसे बनाएं

Question

मैं इस समय मुख्य रूप से पुस्तक का उपयोग कर आत्म-अध्ययन कर रहा हूं: क्वांटम कम्प्यूटिंग ए जेंटल इंट्रोडक्शन बाय एलेनोर रीफेल और वोल्फगैंग पोलाक।

पहले के अध्यायों और अभ्यासों के माध्यम से प्राप्त करना काफी अच्छा था (सौभाग्य से पहले के अध्यायों के बहुत सारे उदाहरण हैं), हालाँकि मैं क्वांटम सर्किट पर 5 वें अध्याय पर अटक गया। यद्यपि मैं उन अवधारणाओं को समझता हूं जो लेखक ने प्रस्तुत की हैं, शायद उदाहरणों की कमी के कारण, मुझे अभ्यास के लिए उक्त अवधारणाओं को लागू करने में परेशानी होती है।

जिन व्यायामों से मुझे परेशानी है (और जहाँ मुझे कोई समाधान नहीं मिल रहा है या इसके लिए गहन / परिचयात्मक स्पष्टीकरण है) निम्नलिखित हैं:

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प्रशन:

बनाने के लिए एक सर्किट डिज़ाइन करें: $\left| W_n \right> = \frac{1}{\sqrt{n}}(\left| 0 \dots 001 \right> + \left| 0 \dots 010 \right> + \left| 0\dots 100 \right>) + \cdots + \left| 1\dots 000 \right>)$ से $\left| 0 \dots 000 \right>$

और "हार्डी स्टेट" बनाने के लिए एक सर्किट डिज़ाइन करें: $\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right> + \left| 10 \right> + \left| 11 \right>)$

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क्या कोई मुझे सही दिशा में इंगित कर सकता है या मुझे कुछ साहित्य / ट्यूटोरियल के लिए संदर्भित कर सकता है ताकि मैं इस तरह के अभ्यासों को बेहतर ढंग से समझ सकूं?

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शायद एक संबंधित प्रश्न: मनमाने ढंग से क्वांटम राज्यों को उत्पन्न करने के लिए सर्किट के निर्माण के लिए टिप्स और ट्रिक्स

Comments

मैं हार्डी राज्य से परिचित नहीं हूं, लेकिन क्या आप यह लिख सकते हैं कि आपने क्या लिखा है? यह सामान्यीकृत नहीं है (और एक प्रकार का तुच्छ), इसलिए मैं अनुमान लगा रहा हूं कि यह आप का इरादा नहीं है। डब्ल्यू-स्टेट के लिए, आप शायद इस प्रश्न की जांच करना चाहते हैं ।

— DaftWullie

आप सही कह रहे हैं, मैंने कुछ टाइपो बनाए हैं। मैंने उन्हें संपादित किया है, अब वे सही / सामान्यीकृत हैं। और धन्यवाद!

— जोय

वैसे, यह पेपर arxiv.org/abs/quant-ph/0104030 मनमाना क्वांटम स्टेट्स बनाने की सामान्य तकनीक देता है।

— पैराडॉक्स

Answer 1

जैसा कि दफ्तुल्ली ने बताया, इस बारे में सवाल $W_n$यहाँ उत्तरों का एक उत्कृष्ट संग्रह है ।

हार्डी राज्य प्रश्न के लिए (और इसके जैसे अन्य कार्यों के बहुत सारे), आप इसे इस प्रकार देख सकते हैं।

• से शुरू करें $|0...0\rangle$ राज्य।
• पहली रानी "सही स्थिति में" डालकर शुरू करें, जो एक राज्य है $(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes |0...0\rangle$, कहाँ पे $\alpha$ तथा $\beta$सभी आधार राज्यों के सापेक्ष भार हैं जो क्रमशः 0 और 1 के साथ शुरू होते हैं। विशेष रूप से हार्डी राज्य के लिए, दो आधार वाले राज्य 0 से शुरू होते हैं:$\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$ और दो आधार वाले राज्य 1 से शुरू होते हैं: $\frac{1}{\sqrt{12}}(\left| 10 \right> + \left| 11 \right>)$; उनके सापेक्ष वजन उनके आयामों के वर्ग के योग हैं:$\frac{9}{12} + \frac{1}{12} = \frac{10}{12}$ तथा $\frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12}$, क्रमशः। तो आपको राज्य में पहली क्वबिट डालने की आवश्यकता होगी$(\sqrt{\frac{10}{12}} |0\rangle + \sqrt{\frac{2}{12}} |1\rangle)$ का उपयोग करते हुए $R_y$ द्वार।
• नियंत्रित करने के लिए, सही स्थिति में दूसरी qubit डालकर जारी रखें $R_y$नियंत्रण के रूप में पहली qubit के साथ द्वार। पहले दो शब्दों को सही पाने के लिए, आपको शब्द बदलने की आवश्यकता है$\sqrt{\frac{10}{12}} |0\rangle \otimes |0\rangle$ शब्द में $\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$, जो सामान्य अवस्था में रूपांतरित होने के समान है $|0\rangle \otimes |0\rangle$ में $\frac{1}{\sqrt{10}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$ राज्य को प्रभावित किए बिना $|1\rangle \otimes |0\rangle$ (स्टैंडअलोन स्थिति के लिए एक बड़ी अभिव्यक्ति की शर्तों से स्विच करते समय पुनर्मूल्यांकन पर ध्यान दें!) ऐसा करने के लिए, आप एक 0-नियंत्रित कर सकते हैं $R_y$ नियंत्रण के रूप में पहली qubit और लक्ष्य के रूप में दूसरी qubit के साथ।
• यदि आपके पास अधिक qubits हैं, तो आप अपने घुमावों को अधिक से अधिक विशिष्ट बनाने के लिए अधिक नियंत्रण qubits का उपयोग करते हुए ऐसा करना जारी रखेंगे।

यदि आप एक अधिक औपचारिक और कम तदर्थ स्पष्टीकरण चाहते हैं, तो आप शेंडे, बैल और मार्कोव द्वारा इस पत्र को देख सकते हैं ।

Comments

आपका जवाब बहुत अच्छा है! मुझे लगता है कि मैं फंस गया क्योंकि मैंने इसे टॉप-डाउन दृष्टिकोण में करने की कोशिश की, अर्थात, अंतिम स्थिति से शुरू करके आधार राज्य की ओर एक अपघटन और द्वार खोजने की कोशिश कर रहा था। यह और कागज बहुत मदद कर रहे हैं, धन्यवाद!

— जोआरी

Answer 2

आप उन्हें तीन भागों में तोड़कर "राज्य का निर्माण" समस्याओं को सरल बना सकते हैं:

1. चरण के बारे में चिंता किए बिना या किस राज्य में कौन सा परिमाण है, इसके लिए आपको आवश्यक परिमाण का संग्रह तैयार करना चाहिए।
2. चरणों को ठीक करें।
3. आदेश को ठीक करें।

अब हार्डी राज्य पर विचार करें। वे परिमाण क्या हैं जिन्हें हमें बनाने की आवश्यकता है? हमें इसका एक उदाहरण चाहिए$3/\sqrt{12}$ और उदाहरण के तीन उदाहरण $1/\sqrt{12}$। हम उन्हें एक समय में एक बना सकते हैं, एक "शेष आयाम" राज्य होने से जिसे हम अलग करना चाहते हैं।

हम बाईं ओर एक उत्तेजना के साथ एक राज्य में सभी आयाम के साथ शुरू करते हैं, $\ell_0 |1000...00\rangle$ कहाँ पे $\ell_0=1$। हम जो करना चाहते हैं वह वांछित परिमाणों को पीछे छोड़ते हुए उत्तेजना को सही तरीके से आगे बढ़ाते हैं। इसलिए शुरू करने के लिए हम परिमाण को पीछे छोड़ना चाहते हैं$3/\sqrt{12}$। हम एक नियंत्रित के साथ ऐसा कर सकते हैं$R_y(\theta_0)$संचालन, जहां नियंत्रण सबसे बाईं ओर है और लक्ष्य सिर्फ इसके दाईं ओर की कक्षा है। के लिए सिर्फ सही मूल्य चुनकर$\theta$, यह राज्य में परिणाम देगा $3/\sqrt{12}|1000...00\rangle + \ell_1 |1100...00\rangle$। हम फिर दूसरी कतार में पहली यात्रा पर वापस जाएँ$\ell_1|1000...00\rangle + 3/\sqrt{12} |0100...00\rangle$। आगे हम खींचना चाहते हैं$1/\sqrt{12}$। हम दूसरा प्रदर्शन करते हैं$R_y$पीछे की ओर CNOT द्वारा पीछा की जाने वाली बाईं ओर की कतार द्वारा नियंत्रित किया जाता है, लेकिन इस बार लक्ष्य के साथ बाईं ओर से qubit तीसरा है। परिपूर्ण उठाकर$\theta_1$ हम राज्य का उत्पादन करेंगे $\ell_2|1000...00\rangle + 3/\sqrt{12}|0100...00\rangle + 1/\sqrt{12} \ell_2 |0010...00\rangle$। और आप बस तब तक ऐसा करते रहेंगे जब तक कि आपको उन सभी आयामों की ज़रूरत नहीं पड़ती, जिन्हें आसानी से अलग-अलग मात्राओं द्वारा उत्तेजित किया जाता है।

अब आप वाई रोटेशन द्वारा निर्मित किसी भी गलत चरणों को ठीक करना चाहते हैं। हार्डी राज्य के लिए यह आसान है, क्योंकि सभी चरण सकारात्मक हैं। सामान्य तौर पर आप प्रत्येक qubit स्थिति को लक्षित करते हैं$k$ एक साथ $R_z(\phi_k)$ उचित रूप से चुना गया संचालन $\phi_k$ मान, और वह चरण सही मिलेगा।

अब हम ऑर्डर देना चाहते हैं। ऐसा करने का सबसे आसान तरीका यह है कि आपके पास कुछ अतिरिक्त क्वाइब हैं, जो कि आपके आउटपुट क्वैब्स हैं और हमने अभी तक तैयार किए गए प्रत्येक क्वाइब के लिए, और आउटपुट क्वैब में से प्रत्येक के लिए या तो दोनों के बीच CNOT जोड़ें या नहीं। उदाहरण के लिए, यदि आयाम के साथ राज्य$3/\sqrt{12}$ माना जाता है कि $|11\rangle$, फिर हमें आउटपुट बटनों में से अपने सबसे बाईं ओर के CNOT की आवश्यकता है। फिर हमें कई-नियंत्रित नहीं ऑपरेशन का उपयोग करके बाईं ओर की कतार को एकजुट करना होगा। प्रत्येक आउटपुट qubit के लिए एक नियंत्रण होना चाहिए, और नियंत्रण का प्रकार (qubit-must-be-on vs qubit-must-be-off) निर्धारित किया जाता है कि आपने qubit को टॉगल किया है या नहीं।

इन चरणों को लागू करने से हार्डी राज्य बनाने के लिए एक अक्षम, लेकिन सही, सर्किट का उत्पादन होता है। आप क्विर्क में सर्किट खोल सकते हैं :

यदि आप बहुत अधिक कार्यक्षेत्र का उपयोग किए बिना एक राज्य का उत्पादन करना चाहते हैं, तो कार्य कठिन हो जाता है। लेकिन आप अभी भी परिमाण का पालन कर सकते हैं तो चरण फिर क्रमबद्ध पैटर्न। इसके अलावा, परिमाण सेट तैयार करने के चतुर तरीके हैं जिनके अच्छे पैटर्न हैं। उदाहरण के लिए, जब केवल एक आयाम दूसरों से अलग होता है, तो राज्य को तैयार करने के लिए आंशिक आयाम प्रवर्धन का एक दौर पर्याप्त हो सकता है।