एक ओरेकल के सापेक्ष बीपीपी से एनपी को अलग करना

Question

मैं इस व्याख्यान नोट को देख रहा था जहाँ लेखक बीच में एक जुदाई देता है$\mathsf{BQP}$ तथा $\mathsf{NP}$। वह संकेत देता है कि "इस कठोर बनाने के लिए मानक विकर्ण तकनीकों का उपयोग कैसे किया जा सकता है"।

क्या कोई विकर्ण तकनीक का उपयोग कर सकता है जिसका उपयोग किया जाना चाहिए? उन लोगों के बीच सहज रूप से महत्वपूर्ण अंतर होना चाहिए जो शास्त्रीय जटिलता कक्षाओं के बाहर कुछ डालते थे और जो कुछ बाहर रखा करते थे$\mathsf{BQP}$। विशेष रूप से, यह देखते हुए कि ग्रोवर का एल्गोरिथ्म इष्टतम है, मैं एक विकर्ण तकनीक की तलाश कर रहा हूं जैसे कि हम एक अणु का निर्माण कर सकते हैं$A$ जिसके लिए $\mathsf{NP}^{A} \not\subseteq \mathsf{BQP}^{A}$।

Answer 1

यह मुझे लगता है कि विकर्ण तर्क का उपयोग किया जा सकता है, केवल एक मानक एक से थोड़ा अलग है, जैसे कि बेकर-गिल-सोलोवे प्रमेय ( यानी , कि oracles) के बारे  में इन व्याख्यान नोट्स में पाया जा सकता है$A$ जिसके लिए $\mathsf P^A = \mathsf{NP}^A$ और भी oracles $A$ जिसके लिए $\mathsf P^A \ne \mathsf{NP}^A$)। मूल रूप से, आपको यह वर्णन करना होगा कि एक प्रतिकूल इनपुट को 'इंजीनियर' कैसे थोड़ा अलग किया जाए।

यहां बताया गया है कि कैसे हम इस दृष्टिकोण का उपयोग एक दैवज्ञ के अस्तित्व को साबित करने के लिए कर सकते हैं $A$ जिसके लिए $\mathsf{NP}^A \not\subseteq \mathsf{BQP}^A$। किसी भी दैवज्ञ के लिए$A$, एक भाषा परिभाषित करें

$$L_A = \Bigl\{ 1^n \;\Big\vert\; \exists z \in \{0,1\}^n : A(z,0) = (z,1)\Bigr\} .$$ यह स्पष्ट है कि $L_A \in \mathsf{NP}^A$ सरल कारण के लिए कि एक nondeterministic ट्यूरिंग मशीन यह जांच सकती है कि इनपुट फॉर्म का है या नहीं $1^n$ कुछ के लिए $n$, और फिर एक स्ट्रिंग लगता है $z \in \{0,1\}^n$ जिसके लिए $A(z,0) = (z,1)$ अगर ऐसे $z$मौजूद। लक्ष्य यह दिखाना है कि$L_A$ का उपयोग करके, एकसमान एकात्मक सर्किट परिवार द्वारा, बाध्य त्रुटि के साथ, बहुपद समय में तय नहीं किया जा सकता है $O(2^{n/2})$ खोज समस्या पर कम बाध्य।

1. चलो $c,N > 0$ इस तरह के साथ oracles पर खोज समस्या हो $n$-बिट इनपुट के लिए कम से कम आवश्यकता होती है $c 2^{n/2}$ सभी के लिए सही ढंग से (संभावना कम से कम 2/3 के साथ) तय करने के लिए ओरेकल क्वेरी $n > N$।
   
   

2. चलो $\mathbf C^{(1)}\!$, $\mathbf C^{(2)}\!$, $\ldots$ सभी एकात्मक ऑर्कल सर्किट परिवारों की गणना करें $\mathbf C^{(k)} \!= \{ C^{(k)}_n \}_{n \geqslant 0 }$, जैसे कि सर्किट का गेट-सीक्वेंस $C^{(k)}_n\!$ अभिनय कर रहे $n$-बिट इनपुट का उत्पादन समय से कम सख्ती से किया जा सकता है $c 2^{n/2}$। (यह समय सीमा the एकरूपता ’की स्थिति से संबंधित है, जहां हम सर्किट में रुचि लेंगे, बहुपद समय में एक निर्धारक ट्यूरिंग मशीन द्वारा गणना की जा सकती है - हम यहां थोपने की तुलना में एक मजबूत स्थिति है। इन सर्किट परिवारों की गणना के लिए किया जा सकता है, के लिए। उदाहरण के लिए, निर्धारक ट्यूरिंग मशीनों द्वारा अप्रत्यक्ष रूप से उनका प्रतिनिधित्व करते हैं$\mathbf T^{(k)}$जो उनके गेट सीक्वेंस का निर्माण करते हैं, और उन को एन्यूमरेट करते हैं ।) हम सर्किट परिवारों की गणना करते हैं ताकि प्रत्येक सर्किट परिवार में अक्सर एन्यूमरेशन हो जाए।

   • गेट अनुक्रम के विवरण पर रन-टाइम सीमा से, यह विशेष रूप से निम्नानुसार है $C^{(k)}_n$ से कम है $c 2^{n/2}$ सभी के लिए द्वार $k$, और विशेष रूप से कम से कम बनाता है $c 2^{n/2}$ अलंकृत करने के लिए प्रश्न।

   • किसी के लिए $n$, सर्किट पर विचार करें $C^{(n)}_n\!$। खोज समस्या पर निचली सीमा से, हम जानते हैं कि के लिए$n > N$ अलंकरण समारोह के संभावित मूल्य हैं $f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ ऑरेकल द्वारा मूल्यांकन, जैसे कि प्रायिकता 2/3, द्वारा उत्पादित आउटपुट $C^{(n)}_n\!$ इनपुट पर $1^n$ क्या इसका सही उत्तर नहीं है $\exists z \!\in\! \{0,1\}^n\!:\! f(z) \!=\! 1$।

   • प्रत्येक के लिए $n > N$, इस तरह के एक समारोह का चयन करें $f_n$ जिसके लिए $C^{(n)}_n$ इस तरह से "विफल" हो जाता है।
     
     

3. चलो $A$ आकार के इनपुट पर, एक ओरेकल हो $n > N$, मूल्यांकन करता है $f_{\!\!\:n\!\:}$।

निर्माण हो रहा है $A$ इस तरह, प्रत्येक सर्किट परिवार $\mathbf C^{(n)}$ सही ढंग से निर्णय लेने में विफल रहता है $L_A$ कम से कम 2/3 संभावना के साथ, कुछ के लिए $n > N$ (और असीम रूप से कई ऐसे हैं $n$असल में)। फिर सर्किट परिवारों में से कोई नहीं$\mathbf C^{(k)}$ सही ढंग से फैसला $L_A$ सभी इनपुट्स पर सफलता की संभावना 2/3 से नीचे है, ताकि $L_A$ समय के साथ किसी भी एकरूप एकात्मक सर्किट परिवार द्वारा इस तरह की सीमाओं के साथ हल नहीं किया जा सकता है $p(n)$।

इस प्रकार, $L_A \notin \mathsf{BQP}^A$जिससे यह इस प्रकार है $\mathsf{NP}^A \not\subseteq \mathsf{BQP}^A$।