एक क्वांटम राज्य खेल के लिए इष्टतम रणनीति

निम्नलिखित खेल पर विचार करें:

मैं एक उचित सिक्का पलटा, और परिणाम के आधार पर (या तो सिर / पूंछ), मैं आपको निम्नलिखित राज्यों में से एक दे दूँगा:

| 0 ⟩ or \cos (x) | 0 ⟩ + \sin (x) | 1 ⟩ .

$|0\rangle \text{ or } \cos(x)|0\rangle + \sin(x)|1\rangle.$

यहाँ, $x$ एक ज्ञात स्थिर कोण है। लेकिन, मैं आपको यह नहीं बताता कि मैं आपको कौन सा राज्य देता हूं।

मैं सही होने की संभावना को अधिकतम करते हुए यह अनुमान लगाने के लिए कि मैं किस मापदण्ड (अर्थात एक अलौकिक पंचाट) का वर्णन कर सकता हूँ? क्या कोई इष्टतम समाधान है?

मैं क्वांटम कंप्यूटिंग का स्वयं अध्ययन कर रहा हूं, और मैं इस अभ्यास में आया हूं। मैं वास्तव में नहीं जानता कि कैसे शुरू किया जाए, और मैं वास्तव में कुछ मदद की सराहना करूंगा।

मुझे लगता है कि एक अच्छी रणनीति के साथ रूढ़िवादी परिवर्तन करना होगा

[\begin{matrix} \cos (x) & - \sin (θ) \\ \sin (x) & \cos (θ) \end{matrix}] .

$\begin{bmatrix} \cos(x) & -\sin(\theta)\\ \sin(x) & \cos(\theta) \end{bmatrix}.$

बहुत प्रगति नहीं कर सकता ...

quantum-state measurement games

— jjbid
स्रोत

सहज रूप से उत्तर कम्प्यूटेशनल आधार में मापना है क्योंकि हम प्रतिबंधित कर सकते हैं

x

$x$ सेवा

[0, \frac{π}{2}]

$[0, \frac{\pi}{2}]$ और कब

x = 0

$x=0$ राज्य अविवेकी हैं और कब

x = \frac{π}{2}

$x=\frac{\pi}{2}$ राज्य ओर्थोगोनल हैं, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि इसे कैसे साबित किया जाए।

— अनहेल्‍वर

हम केवल अनुमान लगाते हैं कि क्या यह पहला राज्य है या दूसरा, यह अनुमान लगाता है कि क्या यह पहला राज्य या दूसरा है, क्वैब के हर संभव माप के लिए सफलता की संभावना की गणना करें, और फिर दो चर के एक फ़ंक्शन का अधिकतम पता लगाएं। दो क्षेत्र)।

पहला, ऐसी चीज जिसकी हमें वास्तव में आवश्यकता नहीं होगी, राज्य का सटीक विवरण। प्रणाली की पूरी स्थिति जो सुपरपोजिशन पर निर्भर करती है और साथ ही साथ एक क्लासिक फेयर सिक्का घनत्व मैट्रिक्स में एन्कोड किया जा सकता है

ρ = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + \frac{1}{2} (\begin{matrix} \cos^{2} x & \sin x \cos x \\ \sin x \cos x & \sin^{2} x \end{matrix})

$\rho = \frac 12 \pmatrix{1&0\\0&0} + \frac 12 \pmatrix{\cos^2x &\sin x \cos x\\ \sin x\cos x & \sin^2 x}$ जहां बाएं स्तंभ और ऊपरी पंक्ति आधार स्थिति "शून्य" और शेष वाले "एक" से मेल खाती है। 4-तत्व आधार के संदर्भ में घनत्व मैट्रिक्स को फिर से लिखना सहायक है

2 \times 2

$2\times 2$ मैट्रिक्स,

ρ = \frac{1}{2} + \frac{\sin x \cos x}{2} σ_{x} + (\frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{4} + \frac{1}{4}) σ_{z}

$\rho = \frac 12+ \frac{\sin x \cos x}{2} \sigma_x + \left(\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{4}+\frac 14\right) \sigma_z$ यह कोण के संदर्भ में लिखा जा सकता है

2 x

$2x$ :

ρ = \frac{1}{2} + \frac{\sin 2 x}{4} σ_{x} + \frac{\cos 2 x + 1}{4} σ_{z}

$\rho = \frac 12 + \frac {\sin 2x}{4} \sigma_x + \frac{\cos 2x +1}{4} \sigma_z$ अब, मिश्रित राज्य की परवाह किए बिना, यह अभी भी एक दो-स्तरीय प्रणाली है और दो-आयामी हिल्बर्ट स्थान पर सभी माप या तो तुच्छ हैं (एक माप

c

$c$ -number) या धुरी के साथ स्पिन के माप के बराबर यानी का माप

V = \vec{n} \cdot \vec{σ}

$V = \vec n \cdot \vec \sigma$ पाउली मैट्रिस के वेक्टर द्वारा गुणा की जाने वाली एक इकाई 3 डी वेक्टर है। ठीक है, अगर हम मापते हैं तो क्या होता है

V

$V$ ? के स्वदेशी

V

$V$ प्लस वन या माइनस एक हैं। प्रत्येक की प्रायिकता अपेक्षा के मान से प्राप्त की जा सकती है

V

$V$ जो है

⟨ V ⟩ = T r (V ρ)

$\langle V \rangle = {\rm Tr} (V \rho)$ उत्पादों के निशान केवल अगर योगदान करते हैं

1

$1$ को पूरा करती है

1

$1$ (लेकिन हम मानते हैं कि इसमें कोई शब्द नहीं था

V

$V$ ) या

σ_{x}

$\sigma_x$ को पूरा करती है

σ_{x}

$\sigma_x$ आदि, जिन स्थितियों में मैट्रिक्स का ट्रेस 2 का अतिरिक्त कारक देता है। इसलिए हमारे पास है

⟨ V ⟩ = \frac{\sin 2 x}{2} n_{x} + \frac{\cos 2 x + 1}{2} n_{z}

$\langle V \rangle = \frac{\sin 2x}{2}n_x + \frac{\cos 2x +1}{2} n_z$ हमें आइजनवेल्यू मिलता है

\pm 1

$\pm 1$ संभावनाओं के साथ

(1 \pm ⟨ V ⟩) / 2

$(1\pm\langle V \rangle) / 2$ , क्रमशः। बिल्कुल जब

\cos x = 0

$\cos x = 0$ दो प्रारंभिक "सिर और पूंछ" राज्य एक दूसरे के लिए मूल (मूल रूप से) हैं

| 0 ⟩

$|0\rangle$ तथा

| 1 ⟩

$|1\rangle$ ) और हम उन्हें पूरी तरह से भेदभाव कर सकते हैं। सम्भावनाएँ बनाने के लिए

0, 1

$0,1$ , हम बस का चयन करना चाहिए

\vec{n} = (0, 0, \pm 1)

$\vec n=(0,0,\pm 1)$ ; ध्यान दें कि समग्र हस्ताक्षर

\vec{n}

$\vec n$ प्रक्रिया के लिए कोई फर्क नहीं पड़ता।

अब, के लिए $\cos x \neq 0$ , राज्य गैर-आर्थथोनल हैं अर्थात "पारस्परिक रूप से अनन्य नहीं" क्वांटम अर्थ में और हम सीधे माप नहीं सकते हैं कि क्या सिक्का पूंछ या सिर था क्योंकि घनत्व मैट्रिक्स में उन संभावनाओं को मिलाया गया था। वास्तव में, घनत्व मैट्रिक्स में सभी मापों की सभी संभाव्यताएं होती हैं, इसलिए यदि हम सिक्का घनत्वों से संभावित राज्यों के एक अलग मिश्रण द्वारा समान घनत्व मैट्रिक्स प्राप्त कर सकते हैं, तो क्वेट के राज्य सख्ती से अप्रभेद्य होंगे।

हमारी सफलता की संभावना 100% से कम होगी यदि $\cos x\neq 0$ । लेकिन शास्त्रीय बिट का उपयोग करने का एकमात्र सार्थक तरीका है $V=\pm 1$ माप से प्रारंभिक अवस्था के बारे में हमारे अनुमान पर सीधे अनुवाद करना है। व्यापकता के नुकसान के बिना, हमारे अनुवाद को चुना जा सकता है

(V = + 1) \to | i ⟩ = | 0 ⟩

$(V = +1) \to |i\rangle = |0\rangle \\$ तथा

(V = - 1) \to | i ⟩ = \cos x | 0 ⟩ + \sin x | 1 ⟩ .

$(V = -1) \to |i\rangle = \cos x |0\rangle + \sin x |1 \rangle.$ यदि हम सिर-पूंछ और इसके संकेतों के विपरीत, क्रॉस-पहचान चाहते थे

V

$V$ , हम बस के समग्र संकेत flipping द्वारा इसे प्राप्त कर सकता है

\vec{n} \to - \vec{n}

$\vec n \to -\vec n$ ।

चलो पहली सरल प्रारंभिक अवस्था "हेड्स" (शून्य) और दूसरी कठिन एक "पूंछ" (कोसाइन-साइन सुपरपोजिशन) कहते हैं। हमारे अनुवाद को देखते हुए, सफलता की संभावना है $+1$ को सिर और $-1$ पूंछ करने के लिए,

P_{s u c c e s s} = P (H) P (+ 1 | H) + P (T) P (- 1 | T) .

$P_{\rm success} = P(H) P(+1|H) + P(T) P(-1|T).$ क्योंकि यह एक उचित सिक्का है, ऊपर वर्णित दो कारक हैं

P (H) = P (T) = 1 / 2

$P(H)=P(T)=1/2$ । चार संभावनाओं के बीच सबसे कठिन गणना है

P (- 1 | T)

$P(-1|T)$ । लेकिन हमने पहले ही ऊपर एक कठिन गणना की है, यह था

(1 - ⟨ V ⟩) / 2

$(1-\langle V\rangle) / 2$ । यहाँ हम सिर्फ आनुपातिक शब्द को छोड़ देते हैं

n_{z}

$n_z$ और दो से गुणा करें:

P (- 1 | T) = \frac{1}{2} - \sin 2 x \frac{n_{x}}{2} - \cos 2 x \frac{n_{z}}{2}

$P(-1|T ) = \frac 12 - \sin 2x \frac{ n_x}2 - \cos 2x \frac{ n_z}2$ "सिर" के लिए परिणाम बस सेटिंग द्वारा प्राप्त किया जाता है

x = 0

$x=0$ क्योंकि "प्रमुख" राज्य "पूंछ" के बराबर है

x = 0

$x=0$ एवजी। इसलिए

P (- 1 | H) = \frac{1 - n_{z}}{2}

$P(-1|H) = \frac{1-n_z}{2}$ और पूरक

1 - P

$1-P$ संभावना है

P (+ 1 | H) = \frac{1 + n_{z}}{2}

$P(+1|H) = \frac{1+n_z}{2}$ उन परिणामों को प्राप्त करने के लिए हमारी "सफलता की संभावना" प्राप्त करें

P_{s u c c e s s} = \frac{1 + n_{z} + 1 - (\sin 2 x) n_{x} - (\cos 2 x) n_{z}}{4}

$P_{\rm success} = \frac{1+n_z +1 - (\sin 2x)n_x - (\cos 2x)n_z}{4}$ या

P_{s u c c e s s} = \frac{1}{2} - \frac{n_{x}}{4} \sin 2 x + \frac{n_{z}}{4} (1 - \cos 2 x)

$P_{\rm success} = \frac 12 - \frac{n_x}4 \sin 2x + \frac{n_z}{4} (1-\cos 2x )$ अगर हम परिभाषित करते हैं

(n_{x}, n_{z}) = (- \cos α, - \sin α)

$(n_x,n_z)=(-\cos \alpha,-\sin\alpha)$ , हम इसे भी लिख सकते हैं

P_{s u c c e s s} = \frac{1}{2} + \frac{\sin (2 x + α) - \sin α}{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sin x \cos (x + α)}{2}

$P_{\rm success} = \frac 12 +\frac{\sin(2x+\alpha)-\sin \alpha}{4} =\frac 12+\frac{\sin x \cos(x+\alpha)}{2}$ हम इसे अधिक से अधिक बढ़ाना चाहते हैं

α

$\alpha$ । जाहिर है, अधिकतम के लिए है

\cos (x + α) = \pm 1

$\cos(x+\alpha)=\pm 1$ जहां हस्ताक्षर इससे सहमत हैं

\sin x

$\sin x$ अर्थात

α = - x

$\alpha=-x$ या

α = π - x

$\alpha=\pi -x$ और इस अधिकतम मूल्य पर है

P_{s u c c e s s} = \frac{1 + | \sin x |}{2}

$P_{\rm success} = \frac{1+|\sin x|}{2}$ जो अंतराल में 50% और 100% बैठता है।

यह एक अच्छा माप है जो वास्तव में क्वांटम मैकेनिकल है। हम इससे भिन्न माप का उपयोग करते हैं $\sigma_z$ , यानी बिट का शास्त्रीय माप। इसके बजाय, हम स्पिन को धुरी के साथ मापते हैं $xz$ -प्लेन जो कि एक ही नॉनजरो कोण द्वारा परिभाषित किया गया है $x$ शुरुआत में, कुछ सही संकेतों के साथ और गुणकों के बदलाव से $\pi/2$ । ध्यान दें कि अगर आपने बस मापा है $\sigma_z$ शास्त्रीय बिट, सफलता की दर बस होगी $(3-\cos 2x)/4$ , 50% और 100% के बीच भी है, लेकिन हमारे परिणाम से छोटा है। विशेष रूप से, एक छोटे के लिए $x=0+\epsilon$ , हमारा इष्टतम परिणाम टेलर-विस्तारित होगा $1/2+|x|/2$ जबकि शास्त्रीय माप का उपयोग करने वाला गैर-इष्टतम परिणाम ऊपर बढ़ेगा $1/2$ अधिक धीरे-धीरे, जैसे $1/2+x^2/2$ ।

कई घंटों के लिए, एक गलत उत्तर (अंतिम भागों में एक गलती) को यहां पोस्ट किया गया था, इस तथ्य के बावजूद कि मैंने पहले दो के कई गलत कारक तय किए थे। मैंने अपने वेबलॉग पर इस उत्तर का थोड़ा संपादित संस्करण पोस्ट किया है जहाँ कुछ चर्चा हो सकती है:

संदर्भ फ्रेम: क्वांटम कंप्यूटिंग में एक मजेदार सरल समस्या

उस पृष्ठ पर, मैं परिशिष्ट में मापे गए ऑपरेटर की प्रतिमाएँ भी लिखता हूँ। कोणों में तर्क कुछ लोगों के लिए आश्चर्यजनक हो सकते हैं जो सोचते हैं कि यह समस्या तरंग कार्यों के संदर्भ में स्पष्ट है या माप के बाद तरंग कार्य सरल होना है।

— लुबो मोटल
स्रोत

मुझे प्रश्न को पढ़ने और अधिक सावधानी से उत्तर देने की आवश्यकता हो सकती है, लेकिन क्या यह arxiv.org/abs/1805.03477 में हल की गई समस्या का विशेष मामला नहीं है ?

— glS

हो सकता है, मैं कागज से परिचित नहीं हूं और मैं नहीं देख सकता कि यह इस समस्या का सामान्यीकरण है, कम से कम मिनटों में नहीं। लेकिन मैं किसी भी अत्याधुनिक पेपर-शैली समस्या को हल करने का दावा नहीं कर रहा हूं। यह प्रश्न संभवतः कुछ पाठ्यपुस्तकों में एक अभ्यास है जो छात्रों द्वारा हल किए जाने की उम्मीद है।

— लुबो आइस मोटल

दो गैर-ऑर्थोगोनल राज्यों को अलग करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण रणनीति में कुंजी है। इसे हेलस्ट्रॉम माप कहा जाता है, जिसका मैंने यहां वर्णन किया है ।

— DaftWullie
स्रोत