लगभग एकतरफा मैट्रिसेस

मेरे पास वर्तमान में 2 एकात्मक मेट्रिक्स हैं जो मैं कम मात्रा में फाटकों के साथ एक अच्छी परिशुद्धता के लिए अनुमानित करना चाहता हूं।

मेरे मामले में दो मैच्योर हैं:

गेट का वर्गमूल (वैश्विक चरण तक) $जी = \frac{- 1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} मैं & 1 \\ 1 & मैं \end{matrix}) = इ^{- \frac{3}{4} π} \sqrt{एक्स}$ $G = \frac{-1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{pmatrix} = e^{-\frac{3}{4}\pi} \sqrt{X}$
$W = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{- 1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ $W = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&0&0&1 \\ \end{pmatrix}$

मेरा प्रश्न निम्नलिखित है:

मैं कम क्वांटम फाटकों के साथ इन विशिष्ट मैट्रिसेस को कैसे संभव कर सकता हूं और एक अच्छा परिशुद्धता?

मैं जो करना चाहता हूं वह कर सकता हूं:

मैं कई दिनों / हफ्तों के सीपीयू समय और बहुत सारी रैम का उपयोग कर सकता हूं ।
मैं 1 या 2 मानव दिन बिताने के लिए गणितीय तरकीबें खोज सकता हूं (अंतिम उपाय में, इसीलिए मैं यहां पहले पूछता हूं)। इस समय में पहले बिंदु के लिए उपयोग किए जाने वाले काल्पनिक एल्गोरिदम को लागू करने की आवश्यकता के समय को शामिल नहीं किया गया है।
मैं चाहता हूं कि अपघटन लगभग सटीक हो। मेरे पास इस समय लक्ष्य सटीकता नहीं है, लेकिन ऊपर दिए गए 2 गेट मेरे सर्किट द्वारा बड़े पैमाने पर उपयोग किए जाते हैं और मैं नहीं चाहता कि त्रुटियां बहुत अधिक संचित हों।
मैं चाहता हूं कि सबसे कम मात्रा में फाटकों का उपयोग करने के लिए अपघटन संभव हो। फिलहाल यह बिंदु गौण है।
एक अच्छी विधि मुझे क्वांटम फाटकों की संख्या और सन्निकटन की शुद्धता के बीच व्यापार-बंद का चयन करने देगी। यदि यह संभव नहीं है, तो कम से कम $10^{-6}$ (ट्रेस मानदंड के संदर्भ में) की सटीकता संभव है (जैसा कि पहले कहा गया था, मेरे पास अनुमान नहीं है इसलिए मुझे इस सीमा के बारे में सुनिश्चित नहीं है) की आवश्यकता है।
गेट सेट है: ${H, X, Y, Z, R_{ϕ}, S, T, R_{x}, R_{y}, R_{z}, CX, SWAP, iSWAP, \sqrt{SWAP}}$ $\left\{ H, X, Y, Z, R_\phi, S, T, R_x, R_y, R_z, \text{CX}, \text{SWAP}, \text{iSWAP}, \sqrt{\text{SWAP}} \right\}$ के साथ $R_\phi, \text{SWAP}, \sqrt{\text{SWAP}}$ में वर्णित रूप मेंSWAP, $R_A$ कुल्हाड़ी $A$ ( $A$ या तो $X$ , $Y$ या $Z$ ) और $iSWAP = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & मैं & 0 \\ 0 & मैं & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ $\text{iSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ संबंध में रोटेशन है।

जिन तरीकों के बारे में मुझे पता है:

सोलोवे-कितेव एल्गोरिथ्म। मेरे पास इस एल्गोरिथ्म का एक कार्यान्वयन है और पहले से ही कई एकात्मक मैट्रिस पर इसका परीक्षण किया है। एल्गोरिथ्म उन दृश्यों को उत्पन्न करता है जो काफी लंबे होते हैं और ट्रेड-ऑफ [क्वांटम गेट्स की संख्या] वीएस [सन्निकटन की सटीकता] पर्याप्त पैरामिसरेबल नहीं है। फिर भी, मैं इन फाटकों पर एल्गोरिथ्म को निष्पादित करूंगा और मेरे द्वारा प्राप्त परिणामों के साथ इस प्रश्न को संपादित करेगा।
1-qubit गेट सन्निकटन और n-qubit फाटक सन्निकटन पर दो पेपर । मुझे इन एल्गोरिदम का परीक्षण करने की भी आवश्यकता है।

संपादित करें: "वर्गमूल की नहीं" को अधिक स्पष्ट बनाने के लिए प्रश्न संपादित किया।

quantum-gate gate-synthesis solovay-kitaev-algorithm

— Nelimee
स्रोत

क्या आपके पास कोई विशिष्ट गेट-सेट मन में है और क्या कोई कारण है कि आप

मूल रूप से / सीधे क्वेट पर लागू नहीं कर सकते हैं ?

G

$G$

— Mithrandir24601

गेट-सेट का सटीक रूप से संपादन जो मेरे मन में था :)

— Nelimee

ऐसा लगता है कि W को सही sqrt (SWAP) + एक CNOT + सिंगल-क्वैबिट गेट्स के साथ किया जा सकता है।

— नोर्बर्ट शुच

मैं इस बारे में उत्सुक हूं कि आप इसके साथ क्या करने की कोशिश कर रहे हैं, यदि आप विस्तृत रूप से बुरा नहीं मानेंगे।

— psitae

ये दो द्वार बहुत सरल हैमिल्टनियन (केवल वास्तविक प्रविष्टियों या केवल काल्पनिक प्रविष्टियों के साथ 1-विरल हैमिल्टन) का अनुकरण करने के लिए क्वांटम सर्किट में दिखाई दे रहे हैं। थीसिस जो इस पर विस्तृत है, इसे प्राप्त करना काफी कठिन है। मेरे पास एक ही तरीका है कि हम यहां एक प्रति मांगें और अपने मेलबॉक्स पर उत्तर की प्रतीक्षा करें :)

— Nelimee

लागू करने के लिए आपने दो विशेष रूप से सरल मेट्रिसेस को चुना है।

पहला ऑपरेशन (G) एक्स गेट का वर्गमूल (वैश्विक चरण तक) है:

अपने गेट सेट में, यह है $R_X(\pi/2)$ ।

दूसरा ऑपरेशन (डब्ल्यू) एक अन्यथा पहचान मैट्रिक्स के मध्य 2x2 ब्लॉक में एक हैमर्ड मैट्रिक्स है। जब भी आप इस 2x2-इन-द-मिडिल पैटर्न को देखते हैं, तो आपको "CNOT द्वारा संयुग्मित ऑपरेशन" सोचना चाहिए। और ठीक यही बात यहां काम करती है (ध्यान दें: आपको लाइनों को स्वैप करने की आवश्यकता हो सकती है; आपके धीरज सम्मेलन पर निर्भर करता है):

तो एकमात्र वास्तविक परेशानी यह है कि नियंत्रित हैडमार्ड ऑपरेशन को कैसे लागू किया जाए। ए हैडमर्ड एक्स + जेड अक्ष के चारों ओर एक 180 डिग्री रोटेशन है। आप X अक्ष पर X + Z अक्ष को X अक्ष पर ले जाने के लिए Y अक्ष के चारों ओर 45 डिग्री के घूमने का उपयोग कर सकते हैं, फिर CH की जगह CNOT कर सकते हैं, फिर अक्ष को पीछे ले जा सकते हैं:

$Y^{1/4} \equiv R_Y(\pi/4)$

— क्रेग गिदनी
स्रोत

$W$ $W \in O(4)$ $CNOTs$

निर्माण इस अर्थ में इष्टतम है कि इसके लिए दो CNOT फाटकों की आवश्यकता होती है और अधिकांश 12 एकल qubit फाटकों (एक वास्तविक दो qubit फाटक के सबसे सामान्य मामले के लिए) की आवश्यकता होती है। निर्माण समरूपता पर आधारित है:

एस हे (4) \approx एस यू (2) \times एस यू (2),

$SO(4) \approx SU(2) \times SU(2),$

W

$W$

डब्ल्यू = म यू म^{†}

$W = M U M^{\dagger}$

U \in S U (2) \otimes S U (2)

$U\in SU(2) \otimes SU(2)$

$M$ $M$

इस निर्माण का उपयोग, वतन और विलियम्स द्वारा दिए गए पूर्ण गेट कार्यान्वयन है:

$S_1 = S_z(\frac{\pi}{2})$ $R_1 = S_y(\frac{\pi}{2})$

$A$ $B$

— डेविड बार मोशे
स्रोत

इन गेटों में से किसी को भी अनुमानित दृश्यों की आवश्यकता नहीं है। आप बिना किसी महान प्रयास के उन्हें अपने निर्दिष्ट गेट सेट के साथ बिल्कुल लागू कर सकते हैं।

$HSH$

$W$

$U=\cos\frac{\pi}{8}\mathbb{I}-i\sin\frac{\pi}{8}Y$ $R_Y(\theta)$

— DaftWullie
स्रोत