क्या बलोच क्षेत्र को दो खांचों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है?

Question

बलोच क्षेत्र एकल qubit राज्यों का एक अच्छा दृश्य है। गणितीय रूप से, यह एक उच्च-आयामी हाइपरस्फेयर के माध्यम से किसी भी संख्या में क्वैब को सामान्यीकृत किया जा सकता है। लेकिन ऐसी चीजों की कल्पना करना आसान नहीं है।

बलोच क्षेत्र के आधार पर विज़ुअलाइज़ेशन का विस्तार करने के लिए क्या प्रयास किया गया है?

Comments

— फिजिक्स

Answer 1

शुद्ध राज्यों के लिए, "2 क्विट बलोच गोला" बनाने का एक सरल तरीका है । आप मूल रूप से अपने राज्य को दो मामलों में विभाजित करने के लिए श्मिट अपघटन का उपयोग करते हैं: उलझा हुआ और पूरी तरह से उलझा हुआ नहीं। नहीं-उलझा हुआ भाग के लिए, आप बस दो ब्लोच क्षेत्रों का उपयोग करें। और फिर उलझा हुआ भाग 3 डी अंतरिक्ष में संभावित घुमावों के सेट के लिए आइसोमोर्फिक है (रोटेशन यह है कि आप एक क्वैबिट पर माप को दूसरे क्वेट पर पूर्वानुमान में कैसे अनुवाद करते हैं)। यह आपको आठ वास्तविक मापदंडों के साथ एक प्रतिनिधित्व देता है:

1) 0 और 1 के बीच एक वास्तविक मान w जो पूरी तरह से उलझे हुए नहीं-उलझे हुए वजन का संकेत देता है।

2 + 3) क्वैब 1 के लिए न उलझा हुआ यूनिट ब्लो वेक्टर।

4 + 5) क्वैबिट 2 के लिए न उलझा हुआ यूनिट ब्लो वेक्टर है।

6 + 7 + 8) पूरी तरह से उलझा हुआ रोटेशन।

यहाँ पर यह दिखता है कि यदि आप रोटेशन भाग को "जहां XY और Z अक्षों को मैप किया जाता है" के रूप में दिखाते हैं, और इसके अलावा w द्वारा कुल्हाड़ियों को स्केल करते हैं ताकि यह अधिक बड़ा हो जाए ताकि आप अधिक उलझ जाएं:

(बीच में उछलता मेरे कोड में एक संख्यात्मक पतन के कारण है।)

मिश्रित राज्यों के लिए, मुझे सफलता का थोड़ा सा हिस्सा है, जो कि क्वेट 2 के लिए अनुमानित क्रॉच वैक्टर के लिफाफे को दिखा रहा है, जो कि क्वेट की हर संभव माप 1 दिया गया है। यह इस तरह दिखता है:

लेकिन ध्यान दें कि ए) यह 'लिफाफा' प्रतिनिधित्व सममित नहीं है (क्वैब्स में से एक नियंत्रण है और दूसरा लक्ष्य है) और बी) हालांकि यह बहुत अच्छा लग रहा है यह बीजगणितीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है।

यह प्रदर्शन क्वार्क के वैकल्पिक देव-उलझाव-प्रदर्शन शाखा में उपलब्ध है। यदि आप बिल्ड निर्देशों का पालन करने में सक्षम हैं, तो आप इसके साथ सीधे खेल सकते हैं।

Answer 2

$j$$SU(2)$$2j+1$$j$$SU(2)$$SU(2)$$SU(2)$ मूलभूत प्रतिनिधित्व स्थान।

$2j+1$$2j$$2j$$2j$

2 जे + 1 में एक राज्य वेक्टर को देखते हुए$2j+1$आयामी हिल्बर्ट स्पेस (कृपया लियू, फू और वांग , खंड 2.1 देखें)

$$|\psi\rangle = \sum_{m=-j}^{j} C_m |j, m\rangle,$$ The locations of the corresponding points (the Majorana stars) on the Bloch sphere are given by the roots of the equation: $$\sum_{k=0}^{2j} \frac{(-1)^k C_{j-k}}{(2j-k)! k!} z^{2j-k}=0.$$

(The parametrization is by means of the stereographic projection coordinate $z = \tan \theta e^{i\phi}$ ($\theta$, $\phi$ are the spherical coordinates))

One application of this representation to quantum computation, is in the visualization of the trajectories giving rise to geometric phases, which serve as the gates in holonomic quantum computation. These trajectories are reflected as trajectories of the Majorana stars on the Bloch spheres and the geometric phases can be computed from the solid angles enclosed by these trajectories. Please see Liu and Fu's work on Abelian geometric phases. A treatment of some non-Abelian cases is given by Liu Roy and Stone.

Finally, let me remark that there are many geometric representations relevant to quantum computation, but they are multidimensional and may be not useful in general as visualization tools. Please see for example Bernatska and Holod treating coadjoint orbits which can serve as phase spaces of the finite dimensional Hilbert spaces used in quantum computation. The Grassmannian which parametrizes the ground state manifold of adiabatic quantum Hamiltonians is a particular example of these spaces.

Comments

I know they are time consuming to find or make, but is there any chance you could illustrate this answer with such visualisations? Perhaps an example of a CNOT gate?

— Phil H

In general, a unitary transformation of a state will move its constellation to new locations such that the coordinate of a star in the final state depends algebraically on all the coordinates of all stars in the initial state. However, in simple cases, we can perform the computation by a simple inspection. Please see for example Bengtsson and Życzkowski: researchgate.net/profile/Karol_Zyczkowski/publication/… page 103, figure 4.7,

— David Bar Moshe

cont. where for example, the CNOT gate action on a state with three stars at the north pole shifts one of the stars to the south pole while keeping the other two stars in place.

— David Bar Moshe

Answer 3

For more than 1-qubit visualization, we will need more complex visualizations than a Bloch sphere. The below answer from Physics Stack Exchange explains this concept quite authoritatively:

Bloch sphere for 2 and more qubits

In another article, the two qubit representation is described as a seven-dimensional sphere, S 7, which also allows for a Hopf fibration, with S 3 fibres and a S 4 base. The most striking result is that suitably oriented S 7 Hopf fibrations are entanglement sensitive.

Geometry of entangled states, Bloch spheres and Hopf fibrations

Having said that, a Bloch sphere based approach is quite useful even to model the behavior of qubits in a noisy environment. There has been analysis of the two-qubit system by use of the generalized Bloch vector to generate tractable analytic equations for the dynamics of the four-level Bloch vectors. This is based on the application of geometrical concepts from the well-known two-level Bloch sphere.

We can find that in the presence of correlated or anti-correlated noise, the rate of decoherence is very sensitive to the initial two-qubit state, as well as to the symmetry of the Hamiltonian. In the absence of symmetry in the Hamiltonian, correlations only weakly impact the decoherence rate:

Bloch-sphere approach to correlated noise in coupled qubits

There is another interesting research article on the representation of the two-qubit pure state parameterized by three unit 2-spheres and a phase factor.For separable states, two of the three unit spheres are the Bloch spheres of each qubit with coordinates (A,A) and (B,B). The third sphere parameterises the degree and phase of concurrence, an entanglement measure.

This sphere may be considered a ‘variable’ complex imaginary unit t where the stereographic projection maps the qubit-A Bloch sphere to a complex plane with this variable imaginary unit. This Bloch sphere model gives a consistent description of the two-qubit pure states for both separable and entangled states.

As per this hypothesis, the third sphere (entanglement sphere) parameterizes the nonlocal properties, entanglement and a nonlocal relative phase, while the local relative phases are parameterized by the azimuthal angles, A and B, of the two quasi-Bloch spheres.

Bloch sphere model for two

Comments

क्या इन टिप्पणियों पर थोड़ा विस्तार करना संभव होगा? इन लेखों को लिंक करने के बजाय, उत्तर को आत्म-संयमित रखने के लिए प्रासंगिक विचारों का विस्तार से वर्णन करना अच्छा होगा। (इसके अलावा, इस पोस्ट में आपके तीसरे उत्तर में, प्रतीक ठीक से प्रतिपादन नहीं कर रहे हैं ...)

— निएल डी ब्यूड्रैप

पास "दिगंशीय कोण" : यह 'ए' और 'बी' से पहले क्या है? फ़ायरफ़ॉक्स इसे "F066" के रूप में दिखाता है। इसके अलावा "निर्देशांक के साथ qubit" , A और B से पहले (कुल मिलाकर चार), उनमें से दो "F071"?

— पीटर मोर्टेंसन

Answer 4

हमारे पास Q-CTRL के ब्लैक ओपल पैकेज में कुछ मल्टीकेबिट विज़ुअलाइज़ेशन हैं ।

ये सभी पूरी तरह से इंटरएक्टिव हैं और दो-qubit सिस्टम को इंटरैक्ट करने में सहसंबंधों के बारे में अंतर्ज्ञान बनाने में मदद करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।

दो बलोच गोले दो qubits के प्रासंगिक वियोज्य राज्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। बीच में टेट्राहेड्रा दो चरों के कुछ अनुमानों के बीच पारस्परिक रूप से परस्पर संबंध स्थापित करता है। जब कोई उलझाव नहीं होता है, बलोच वैक्टर पूरी तरह से संबंधित क्षेत्रों की सतहों पर रहते हैं। हालांकि, एक पूरी तरह से उलझा हुआ राज्य इस प्रतिनिधित्व में सहसंबंधों के स्थान में विशेष रूप से रहता है। इन स्थानों की विलुप्ति सदैव बेल राज्यों की तरह अधिकतम उलझे हुए राज्य होंगे, लेकिन अधिकतम रूप से उलझे हुए राज्य एक साथ कई टेट्राहेड्रा में भी रह सकते हैं।

Comments

Would you be able to describe these representations? It would be nice if you could expand this into a self-contained answer.

— Niel de Beaudrap

edited to add further material.

— Michael Biercuk

Thanks @MichaelBiercuk, and good to see you here.

— James Wootton

Answer 5

A paper has been published on the subject, called "Bloch sphere model for two-qubit pure states"

https://arxiv.org/abs/1403.8069

Comments

Hi Adrien! Welcome to Quantum Computing SE. We discourage link-only answers on this site. Please add a paragraph to summarize the paper. Thank you.

— Sanchayan Dutta