-स्टेट का सामान्य निर्माण

Question

सबसे प्रसिद्ध उलझ राज्यों के दो गीगा राज्य कर रहे हैं $|\psi\rangle = 1/\sqrt{2}\left( |0\rangle^{\otimes n} + |1\rangle^{\otimes n}\right)$ और$W_n$-state, साथ$W_3 = 1/\sqrt{3}\left(|100\rangle + |010\rangle + |001\rangle\right)$।

GHZ- राज्य का निर्माण मनमाना $n$ लिए सरल है । हालांकि, $W_n$ -स्टेट को लागू करना अधिक कठिन है। के लिए $n=2$ यह आसान है, और के लिए $n=4$ हम उपयोग कर सकते हैं

H q[0,3]
X q[0,3]
Toffoli q[0],q[3],q[1]
X q[0,3]
Toffoli q[0],q[3],q[2]
CNOT q[2],q[0]
CNOT q[2],q[3]

यहां तक ​​कि $n=3$ लिए भी हमारे पास कार्यान्वयन है, उदाहरण के लिए यह उत्तर देखें । हालांकि, मुझे एक एल्गोरिथ्म नहीं मिला है, जो कि $n$ दिया गया है, $W_n$ -स्टेट के निर्माण के लिए सर्किट को आउटपुट करता है ।

क्या ऐसा एल्गोरिथ्म, एकल और दो-qubit फाटकों द्वारा परिभाषित है, मौजूद है? और यदि हां, तो यह क्या है?

Answer 1

हां, सुपरपोज़िशन क्वांटम काटा (कार्य 14 और 15) में इस एल्गोरिथ्म के कई कार्यान्वयन हैं :

• $n = 2^k$$2^{k-1}$$|+\rangle$$2^{k-1}$$|0\rangle$WState_PowerOfTwo_Reference
• $n$WState_Arbitrary_Reference
• $W_n$$n$$n$$2^k$$W_{2^k}$$W_n$WState_Arbitrary_Postselect

यह उस काटा का मेरा पसंदीदा काम है, क्योंकि यह बहुत सारे अलग-अलग तरीकों की अनुमति देता है।

Answer 2

डब्ल्यू राज्य का निर्माण करने के लिए वैचारिक रूप से सबसे सरल तरीका कुछ हद तक शास्त्रीय जलाशय के नमूने के अनुरूप है , इसमें स्थानीय संचालन की एक श्रृंखला शामिल है जो अंततः एक समान प्रभाव पैदा करती है।

मूल रूप से, आप प्रत्येक क्वेट को बारी-बारी से देखते हैं और विचार करते हैं कि "मैं सभी-0 s राज्य में कितना आयाम छोड़ चुका हूं, और मैं इस जस्ट-क्वेट-इस-ओन स्टेट में कितना ट्रांसफर करना चाहता हूं?" यह पता चला है कि आपके द्वारा आवश्यक घुमावों का परिवार वह है जिसे मैं "ऑड्स गेट्स" कहूंगा, जिसमें निम्नलिखित मैट्रिक्स हैं:

$$M(p:q) = \sqrt{\frac{1}{p+q}} \begin{bmatrix} \sqrt{p} & \sqrt{q} \\ -\sqrt{q} & \sqrt{p} \end{bmatrix}$$

इन फाटकों का उपयोग करके, आप तेजी से नियंत्रित संचालन के अनुक्रम के साथ एक डब्ल्यू राज्य प्राप्त कर सकते हैं:

$O(N^2 + N \lg(1/\epsilon))$$N$$\epsilon$

$O(N \lg(1/\epsilon))$

$N$$\sqrt{1/N}$

आंशिक ग्रोवर कदम:

अनुक्रमित ऑपरेशन कैसे करें (अच्छी तरह से ... जैसे कि निकटतम आकृति में एक संचयकर्ता था जो इस मामले के लिए बिल्कुल सही नहीं है):

$O(N \lg(1/\epsilon))$$O(N + \lg(1/\epsilon))$

Answer 3

आप अनुक्रम को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित कर सकते हैं। वैचारिक रूप से, आप क्या करना चाहते हैं:

• $|0\rangle^{\otimes N}$

• क्वेब 1 पर, गेट लागू करें

  $$\frac{1}{\sqrt{N}}\left(\begin{array}{cc} 1 & \sqrt{N-1} \\ \sqrt{N-1} & -1 \end{array}\right)$$

• $|W_{N-1}\rangle$$N$$|1\rangle$

• क्वेट 1 पर एक बिट-फ्लिप गेट लागू करें।

यह एल्गोरिथ्म, जैसा कि व्यक्त किया गया है, केवल एक- और दो-क्विट गेटों से बना नहीं है, लेकिन निश्चित रूप से इसे मानक सार्वभौमिकता निर्माणों द्वारा तोड़ा जा सकता है।

$N=2^n$$n$$|1\rangle$$|W_2\rangle$$|W_4\rangle$$|W_8\rangle$ $O(\log N)$