क्या क्लिफर्ड सर्किट के स्टेबलाइजर तालिका के व्युत्क्रम के लिए एक सरल नियम है?

में स्थिरता प्राप्त करने का सर्किट की बेहतर सिमुलेशन Aaronson और Gottesman द्वारा, यह कैसे एक मेज का वर्णन जो पाउली टेन्सर उत्पादों एक्स और जेड प्रत्येक qubit के प्रत्यक्ष रूप में एक क्लिफर्ड सर्किट उन पर कार्य करता है को मैप किया पाने गणना करने के लिए समझाया गया है।

यहाँ एक उदाहरण के रूप में क्लिफर्ड सर्किट:

0: -------@-----------X---
          |           |
1: ---@---|---@---@---@---
      |   |   |   |
2: ---|---|---@---|-------
      |   |       |
3: ---@---@-------Y-------

और तालिका यह वर्णन करती है कि यह प्रत्येक क्वाइब के X और Z वेधशालाओं पर कैसे कार्य करता है:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   X_   __   Z_   |
| 1    | ZZ   YZ   Z_   ZZ   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   X_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   ++   ++   ++  |
+------+---------------------+-

तालिका के प्रत्येक स्तंभ में वर्णन किया गया है कि सर्किट एक्स का अवलोकन (स्तंभ के आधे हिस्से में) और प्रत्येक कक्षा के जेड अवलोकन (स्तंभ के दाएं आधे) पर कैसे कार्य करता है। उदाहरण के लिए, स्तंभ 3 के बाईं ओर Z, Z, _, X है, जिसका अर्थ है कि सर्किट के दाहिने हाथ पर X3 ऑपरेशन (क्वैबिट 3 पर पाउली एक्स) बाएं हाथ पर Z1 * Z2 * X4 ऑपरेशन के बराबर है। सर्किट के किनारे। 'साइन' पंक्ति उत्पाद के संकेत को इंगित करती है, जो महत्वपूर्ण है यदि आप एक माप का अनुकरण करने जा रहे हैं (यह आपको बताता है कि परिणाम उलटना है या नहीं)।

आप सर्किट के व्युत्क्रम के लिए तालिका की गणना भी कर सकते हैं। मेरे द्वारा दिए गए उदाहरण के मामले में, उलटा तालिका यह है:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   Y_   __   Z_   |
| 1    | _Z   YZ   Z_   _Z   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   Y_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   -+   ++   ++  |
+------+---------------------+-

यदि आप उनकी पंक्तियों और स्तंभों को स्थानांतरित करते हैं तो तालिका लगभग समान दिखती है । लेकिन प्रविष्टियां बिल्कुल समान नहीं हैं। ट्रांसपोज़िंग के अलावा, आपको अक्षरों को बिट्स ( _= 00, X= 01, Z= 10) में एनकोड करना होगाY = 11) करना होगा और फिर बीच के बिट्स को फिर से डीकोड करना होगा। उदाहरण के लिए, ZZ 1010 में इनकोड करता है जो 1100 में स्वैप हो जाता है जो Y_ में डिकोड होता है।

मेरे पास सवाल यह है: क्या उलटा तालिका के संकेतों की गणना के लिए एक सरल नियम है?

वर्तमान में मैं इन तालिकाओं को सर्किट में विघटित करके, सर्किटों को निष्क्रिय करके, फिर उन्हें एक साथ वापस गुणा कर रहा हूं। ट्रांसपोज़ + रिप्लेस की तुलना में यह बेहद अक्षम है, लेकिन अगर मैं ट्रांसपोज़ + रिप्लेस का उपयोग करने जा रहा हूँ तो मुझे साइन रूल की आवश्यकता है।

pauli-gates clifford-group

— क्रेग गिदनी
स्रोत

प्रश्न को स्पष्ट करने के लिए: क्लिफोर्ड सर्किट होने दें

U

$U$ । फिर पढ़ना

j

$j$ 'वें कॉलम देता है

U X_{j} U^{†}

$U X_j U^\dagger$ तथा

U Z_{j} U^{†}

$U Z_j U^\dagger$ बाएं या दाएं आधे इस्तेमाल के आधार पर। और आप चाहते हैं

U^{†} X_{j} U

$U^\dagger X_j U$ तथा

U^{†} Z_{j} U

$U^\dagger Z_j U$ इसके बजाय इस डेटा से।

— हुसैन

@ हुसैन सही

— क्रेग गिदनी

प्रश्न को स्पष्ट करने के लिए: आपके क्लिफोर्ड सर्किट में @ का क्या मतलब है?

— जोसु एट्क्सेज़ेट्रा मार्टिनेज़

@JosuEtxezarretaMartinez वे नियंत्रण हैं। जब दो जुड़े होते हैं, तो यह एक सीजेड गेट होता है। @ एक X से जुड़ा एक नियंत्रित-X है। @ वाई से जुड़ा एक नियंत्रित-वाई है।

— क्रेग गिदनी

जवाबों:

एरोनसन (और गोट्समैन) की झांकी प्रतिनिधित्व का एक बहुत ही निकट से संबंधित प्रतिनिधित्व है , जो न केवल क्वैबिट के लिए काम करता है, बल्कि मनमाने ढंग से परिमित आयाम के क्विट्स के लिए काम करता है, जो विशेष रूप से विशुद्ध रूप से क्लिफोर्ड सर्किट ( यानी अधिकांश एक टर्मिनल माप) के लिए काम करता है ।

इस वैकल्पिक निरूपण में, किसी ने यह बताया है कि सामान्य जानकारी की तरह, चरणीय जानकारी के साथ एकल-खण्ड X और Z संचालक कैसे परिवर्तित होते हैं। कॉलम विशेष रूप से मल्टी-क्वाइल वीइल ऑपरेटरों का वर्णन करते हैं, जो पाउली ऑपरेटरों का एक विशेष सबसेट हैं। ऐसा करने का लाभ यह है कि झांकी केवल गुणांक का एक सरणी नहीं है, बल्कि वैक्टर पर एक वास्तविक रैखिक ऑपरेटर है जो वीइल ऑपरेटरों और चरणों का प्रतिनिधित्व करता है।

एक छोटी सी पकड़ है। Qubits के लिए, इन वैक्टर में गुणांक होते हैं जो पूर्णांक modulo 4 हैं (Weyl ऑपरेटरों द्वारा गैर-तुच्छ एकल-qubit पाउली ऑपरेटरों के दोहरे कवर के अनुसार), modulo के बजाय 2. मुझे लगता है कि यह भुगतान करने के लिए एक छोटी सी कीमत है - हालांकि मैं थोड़ा पक्षपाती हो सकता है, क्योंकि यह मेरा अपना परिणाम है [ arXiv: 1102.3354 ]। हालांकि, यह कुछ हद तक 'स्वाभाविक रूप से होने वाला' प्रतिनिधित्व प्रतीत होता है: Appleby ने सिंगल-क्वबिट या क्विड विशेष मामले को कुछ हद तक विकसित किया [ arXiv: quant-ph / 0412001 ] (ऐसा कुछ जिसे मैं वास्तव में दो साल से पहले जाना पसंद करता हूं) अनावश्यक रूप से अनिवार्य रूप से समान परंपराओं को फिर से बनाना)।

इस तरह के प्रतिनिधित्व का उपयोग करके, इस तथ्य के आधार पर कि 'झांकी' $M_C$ क्लिफर्ड सर्किट का $C$ अब एक वास्तविक मैट्रिक्स है (और एक औंधा) जो वैक्टर को बदल देता है, उलटा सर्किट के लिए झांकी $C^{\dagger}$ तो उलटा है $M_C^{-1}$ की झांकी। तो, कम से कम इस से संबंधित प्रतिनिधित्व के लिए, उलटा सर्किट के लिए झांकी की गणना के लिए नियम आसान है।

— निएल डे ब्यूड्रैप
स्रोत

क्या आप वीइल ऑपरेटरों का वर्णन करने वाले स्लाइड्स या लेक्चर नोट्स से लिंक कर सकते हैं?

— क्रेग गिदनी

क्या यह किसी भी तरह से "क्वर्टी बेस" के साथ "पाउली आधार" {I, X, Y, Z} को बदलने से संबंधित है {{IX, iX, iY, iZ}?

— क्रेग गिदनी

संभवतः जब

— क्वैब्स के

मैं वीइल ऑपरेटरों के बारे में कुछ अच्छी स्लाइडों को खोजने की कोशिश करूंगा (मेरे पास उनके बारे में कुछ भी पर्याप्त नहीं है)। N-qubit मामले में, वे ऑपरेटर हैं

W_{a, b} = i^{- (a \codt b)} Z_{a} X_{b}

$W_{\mathbf a,\mathbf b}=i^{-(\mathbf a\codt\mathbf b)}Z_{\mathbf a}X_{\mathbf b}$ दो वैक्टर के लिए

a, b \in Z_{4}^{n}

$\mathbf a,\mathbf b\in\mathbb Z^n_4$ । इस परिभाषा की प्रेरणा पी पर अभिव्यक्त की गई है। मेरे लिंक किए गए लेख में से 2, लेम्मा 4 के लिए अग्रणी है। यह किसी भी अतिरिक्त मॉड 4 (और रैखिक बीजगणित मॉड 4 जब क्लिफर्ड सर्किट कर रहा है) से अधिक का उपयोग करके स्टेबलाइजर समूहों के बारे में कारण के लिए अनुमति देता है, तो चरणों के लिए द्विघात सामान मॉड 2 को कम कर देता है।

— नील दे बेउद्रप

@DaftWullie: नहीं, [arXiv: quant-ph / 9608006 ] सख्ती से अलग है। वे मॉड 2 वैक्टर द्वारा एक्स और जेड की शक्तियों को अनुक्रमित करते हैं (पाठ पूर्ववर्ती Eq.2 देखें), जो कि GF (4) के योगात्मक समूह संरचना में परिलक्षित होता है। P.8 पर सहानुभूति परिवर्तनों के बारे में उनकी टिप्पणियों इस प्रकार पाउली समूह modulo चरणों पर लागू होती हैं। Appleby और मैं क्लेबिट्स पर पाउली समूह के लिए फैंसी प्रतिनिधित्व करने वाले पहले होने का दावा नहीं करते हैं: मुद्दा यह है कि हमारा प्रतिनिधित्व अधिक सुंदर ढंग से चरणों को ट्रैक करता है। यह QECCs की खोज के लिए कम महत्वपूर्ण है, लेकिन राज्यों को अनुकरण करने के लिए महत्वपूर्ण है।

— नील डी बेउद्रप

हारूनसन और गोट्समैन की तकनीकों को थोड़ा और स्पष्ट रूप से खींचने के लिए: आप प्रत्येक स्टेबलाइजर को लंबाई के थोड़ा स्ट्रिंग के रूप में स्थापित कर सकते हैं। $2N$ (के लिये $N$ qubits)। सबसे पहला $N$ बिट्स Z ऑपरेटरों के स्थान और दूसरे सेट को निर्दिष्ट करते हैं $N$ के स्थानों को निर्दिष्ट करें $X$ ऑपरेटरों (इसलिए, $X_1Z_2$ के लिये $N=2$ 0110 है)। चार क्वैबिट पर आपके सर्किट के लिए, क्लिफोर्ड सर्किट (कुछ चरणों तक) के कारण परिवर्तन तब एक द्वारा दिया जाएगा $8\times 8$ आव्यूह। हम इसे ब्लॉक मैट्रिक्स के रूप में सोच सकते हैं

M = (\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}),

$M=\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right),$ जहां प्रत्येक ब्लॉक है

N \times N

$N\times N$ । इस तथ्य से कि स्टेबलाइजर्स हंगामा करते हैं, हम जानते हैं कि

(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 0 & I \\ I & 0 \end{array}) \cdot {(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array})}^{T} \equiv 0 mod 2

$\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 0 & \mathbb{I} \\ \mathbb{I} & 0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)^T\equiv 0\text{ mod }2$ आप का विलोम खोजना चाहते हैं

M

$M$ modulo 2. प्रतिलोम का आपका दावा किया गया स्वरूप है (मुझे लगता है)

(\begin{array}{cc} D^{T} & B^{T} \\ C^{T} & A^{T} \end{array})

$\left(\begin{array}{cc} D^T & B^T \\ C^T & A^T \end{array}\right)$ जो एक के विलोम की याद दिलाता है

2 \times 2

$2\times 2$ मैट्रिक्स (लेकिन ब्लॉक मैट्रिसेस के लिए यह पर्याप्त नहीं है। ब्लॉक-वार उलटा है, लेकिन यहाँ इतना उपयोगी नहीं है, मुझे लगता है)।

मेस, ज़ाहिर है, चरणों का ट्रैक रखने से आता है। मुझे लगता है कि संकेत प्रत्येक स्टेबलाइज़र में वाई ऑपरेटरों की संख्या में बदलाव से संबंधित होंगे, लेकिन मैं एकीकृत उपचार में सफल नहीं हुआ। निएल का जवाब शायद इसकी देखभाल करने का एक बेहतर काम करता है।

— DaftWullie
स्रोत