3-qbit सिस्टम के लिए CNOT मैट्रिक्स को कैसे प्राप्त करें जहां नियंत्रण और लक्ष्य qbit आसन्न नहीं हैं?

तीन-qbit प्रणाली में, CNOT ऑपरेटर को प्राप्त करना आसान है जब नियंत्रण और लक्ष्य qbit महत्व में आसन्न होते हैं - आप बस 2-बिट CNOT ऑपरेटर को पहचान मैट्रिक्स के साथ अछूता qbit की स्थिति में महत्व देते हैं:

$C_{10}|\phi_2\phi_1\phi_0\rangle = (\mathbb{I}_2 \otimes C_{10})|\phi_2\phi_1\phi_0\rangle$

हालाँकि, यह स्पष्ट नहीं है कि CNOT ऑपरेटर को कैसे प्राप्त किया जाए जब नियंत्रण और लक्ष्य qbit महत्व में आसन्न न हों :

$C_{20}|\phi_2\phi_1\phi_0\rangle$

यह कैसे किया जाता है?

quantum-gate gate-synthesis

— ahelwer
स्रोत

इस प्रश्न और उत्तर को देखें: quantumcomputing.stackexchange.com/questions/9614/…

— मार्टिन वेस्ली

जवाबों:

पहले सिद्धांतों से एक प्रस्तुति के लिए, मुझे रयान ओ'डॉनेल का जवाब पसंद है । लेकिन थोड़ा उच्च-स्तर के बीजीय उपचार के लिए, यहां बताया गया है कि मैं यह कैसे करूंगा।

एक नियंत्रित ऑपरेशन की मुख्य विशेषता , किसी भी एकात्मक , यह है कि यह (सुसंगत) कुछ सिंगल क्वबिट के मूल्य के आधार पर कुछ क्वैबिट पर एक ऑपरेशन करता है। जिस तरह से हम इसे स्पष्ट रूप से बीजगणितीय (पहली पर नियंत्रण के साथ) लिख सकते हैं वह है: जहाँ , के समान आयाम का एक पहचान मैट्रिक्स है । यहाँ, और राज्यों के और पर प्रोजेक्टर हैं $U$ $U$

सी यू = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes 1 + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes यू

$\mathit{CU} \;=\; \def\ket#1{\lvert #1 \rangle}\def\bra#1{\langle #1 \rvert}\ket{0}\!\bra{0} \!\otimes\! \mathbf 1 \,+\, \ket{1}\!\bra{1} \!\otimes\! U$

1

$\mathbf 1$

U

$U$

| 0 ⟩ ⟨ 0 |

$\ket{0}\!\bra{0}$

| 1 ⟩ ⟨ 1 |

$\ket{1}\!\bra{1}$

| 0 ⟩

$\ket{0}$

| 1 ⟩

$\ket{1}$ नियंत्रण qubit के - लेकिन हम उन्हें माप के तत्वों के रूप में यहां उपयोग नहीं कर रहे हैं, लेकिन पहली qubit के राज्य-स्थान के एक या दूसरे उप-स्थान के आधार पर अन्य qubits पर प्रभाव का वर्णन करने के लिए।

हम गेट लिए मैट्रिक्स को प्राप्त करने के लिए इसका उपयोग कर सकते हैं, जो कि 3 की स्थिति पर सुसंगत रूप से 3 की स्थिति पर करता है, जो कि एक नियंत्रित- ऑपरेशन 2 और 3 पर: $\mathit{CX}_{1,3}$ $X$ $(\mathbf 1_2 \!\otimes\! X)$

\begin{aligned} {सी एक्स}_{1, 3} & = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes 1_{4} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes (1_{2} \otimes एक्स) \\ = [\begin{matrix} 1_{4} & 0_{4} \\ 0_{4} & (1_{2} \otimes एक्स) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1_{2} & 0_{2} & 0_{2} & 0_{2} \\ 0_{2} & 1_{2} & 0_{2} & 0_{2} \\ 0_{2} & 0_{2} & एक्स & 0_{2} \\ 0_{2} & 0_{2} & 0_{2} & एक्स \end{matrix}], \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathit{CX}_{1,3} \;&=\; \ket{0}\!\bra{0} \otimes \mathbf 1_4 \,+\, \ket{1}\!\bra{1} \otimes (\mathbf 1_2 \otimes X) \\[1ex]&=\; \begin{bmatrix} \mathbf 1_4 & \mathbf 0_4 \\ \mathbf 0_4 & (\mathbf 1_2 \!\otimes\! X) \end{bmatrix} \;=\; \begin{bmatrix} \mathbf 1_2 & \mathbf 0_2 & \mathbf 0_2 & \mathbf 0_2 \\ \mathbf 0_2 & \mathbf 1_2 & \mathbf 0_2 & \mathbf 0_2 \\ \mathbf 0_2 & \mathbf 0_2 & X & \mathbf 0_2 \\ \mathbf 0_2 & \mathbf 0_2 & \mathbf 0_2 & X \end{bmatrix}, \end{aligned}$ जहाँ बाद वाले दो ब्लॉक मैट्रिक्स निरूपण हैं अंतरिक्ष (और पवित्रता) को बचाने के लिए।

बेहतर अभी भी: हम पहचान सकते हैं कि - कुछ गणितीय स्तर पर जहां हम खुद को यह महसूस करने की अनुमति देते हैं कि दसियों कारकों के क्रम को कुछ निश्चित क्रम में नहीं होना चाहिए - नियंत्रण और ऑपरेशन का लक्ष्य किसी भी दो टेंसर पर हो सकता है कारक, और हम ऑपरेटर के विवरण में अन्य सभी बटनों पर । यह हमें प्रतिनिधित्व के लिए सीधे कूदने की अनुमति देगा $\mathbf 1_2$

\begin{aligned} {सी एक्स}_{1, 3} & = & \underset{नियंत्रण}{\underset{⏟}{| 0 ⟩ ⟨ 0 |}} \otimes \underset{असंबद्ध}{\underset{⏟}{1_{2}}} \otimes \underset{लक्ष्य}{\underset{⏟}{1_{2}}} & + \underset{नियंत्रण}{\underset{⏟}{| 1 ⟩ ⟨ 1 |}} \otimes \underset{असंबद्ध}{\underset{⏟}{1_{2}}} \otimes \underset{लक्ष्य}{\underset{⏟}{एक्स}} \\ = & [\begin{matrix} 1_{2} & 0_{2} \\ 0_{2} & 1_{2} \end{matrix}] & + [\begin{matrix} एक्स & 0_{2} \\ 0_{2} & एक्स \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{alignat}{2} \mathit{CX}_{1,3} \;&=&\; \underbrace{\ket{0}\!\bra{0}}_{\text{control}} \otimes \underbrace{\;\mathbf 1_2\;}_{\!\!\!\!\text{uninvolved}\!\!\!\!} \otimes \underbrace{\;\mathbf 1_2\;}_{\!\!\!\!\text{target}\!\!\!\!} &+\, \underbrace{\ket{1}\!\bra{1}}_{\text{control}} \otimes \underbrace{\;\mathbf 1_2\;}_{\!\!\!\!\text{uninvolved}\!\!\!\!} \otimes \underbrace{\; X\;}_{\!\!\!\!\text{target}\!\!\!\!} \\[1ex]&=&\; \begin{bmatrix} \mathbf 1_2 & \mathbf 0_2 & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} \\ \mathbf 0_2 & \mathbf 1_2 & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} \\ \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} \\ \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} \end{bmatrix} \,&+\, \begin{bmatrix} \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} \\ \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} \\ \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & X & \mathbf 0_2 \\ \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & {\mathbf 0_2} & X \end{bmatrix} \end{alignat}$ और हमें तुरंत यह देखने की भी अनुमति देता है कि यदि नियंत्रण और लक्ष्य की भूमिकाएँ उलट जाएँ तो क्या करें:

\begin{aligned} {सी एक्स}_{3, 1} & = & \underset{लक्ष्य}{\underset{⏟}{1_{2}}} \otimes \underset{असंबद्ध}{\underset{⏟}{1_{2}}} \otimes \underset{नियंत्रण}{\underset{⏟}{| 0 ⟩ ⟨ 0 |}} & + \underset{लक्ष्य}{\underset{⏟}{एक्स}} \otimes \underset{असंबद्ध}{\underset{⏟}{1_{2}}} \otimes \underset{नियंत्रण}{\underset{⏟}{| 1 ⟩ ⟨ 1 |}} \\ = & [\begin{matrix} | 0 ⟩ ⟨ 0 | \\ | 0 ⟩ ⟨ 0 | \\ | 0 ⟩ ⟨ 0 | \\ | 0 ⟩ ⟨ 0 | \end{matrix}] & + [\begin{matrix} | 1 ⟩ ⟨ 1 | \\ | 1 ⟩ ⟨ 1 | \\ | 1 ⟩ ⟨ 1 | \\ | 1 ⟩ ⟨ 1 | \end{matrix}] \\ = & [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] । \end{aligned}

$\begin{alignat}{2} \mathit{CX}_{3,1} \;&=&\; \underbrace{\;\mathbf 1_2\;}_{\!\!\!\!\text{target}\!\!\!\!} \otimes \underbrace{\;\mathbf 1_2\;}_{\!\!\!\!\text{uninvolved}\!\!\!\!} \otimes \underbrace{\ket{0}\!\bra{0}}_{\text{control}} \,&+\, \underbrace{\;X\;}_{\!\!\!\!\text{target}\!\!\!\!} \otimes \underbrace{\;\mathbf 1_2\;}_{\!\!\!\!\text{uninvolved}\!\!\!\!} \otimes \underbrace{\ket{1}\!\bra{1}}_{\text{control}} \\[1ex]&=&\; {\scriptstyle\begin{bmatrix} \!\ket{0}\!\bra{0}\!\! & & & \\ & \!\!\ket{0}\!\bra{0}\!\! & & \\ & & \!\!\ket{0}\!\bra{0}\!\! & \\ & & & \!\!\ket{0}\!\bra{0} \end{bmatrix}} \,&+\, {\scriptstyle\begin{bmatrix} & & \!\!\ket{1}\!\bra{1}\!\! & \\ & & & \!\!\ket{1}\!\bra{1} \\ \!\ket{1}\!\bra{1}\!\! & & & \\ & \!\!\ket{1}\!\bra{1} & & \end{bmatrix}} \\[1ex]&=&\; \left[{\scriptstyle\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}}\right.\,\,&\,\,\left.{\scriptstyle\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}}\right]. \end{alignat}$ लेकिन सबसे अच्छी बात: यदि आप इन संचालकों को बीजगणितीय रूप से लिख सकते हैं, तो आप विशाल मेट्रिसेस के साथ पूरी तरह से वितरण करने की दिशा में पहला कदम उठा सकते हैं, बजाय इसके कि इन संचालकों के बारे में तर्क के रूप में और

{C X}_{1, 3} = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes 1_{2} \otimes 1_{2} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes 1_{2} \otimes X

$\mathit{CX}_{1,3} = \ket{0}\!\bra{0} \! \otimes\!\mathbf 1_2\! \otimes\! \mathbf 1_2 + \ket{1}\!\bra{1} \! \otimes\! \mathbf 1_2 \! \otimes\! X$

{C X}_{3, 1} = 1_{2} \otimes 1_{2} \otimes | 0 ⟩ ⟨ 0 | + X \otimes 1_{2} \otimes | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$\mathit{CX}_{3,1} = \mathbf 1_2 \! \otimes\! \mathbf 1_2 \! \otimes \! \ket{0}\!\bra{0} + X \! \otimes\! \mathbf 1_2 \! \otimes \! \ket{1}\!\bra{1}$ । निश्चित रूप से आप इनसे कितना कुछ कर सकते हैं, इसकी एक सीमा होगी - प्रतिनिधित्व में एक साधारण बदलाव एक मुश्किल क्वांटम एल्गोरिथ्म को कुशलतापूर्वक हल करने की संभावना नहीं है, मैन्युअल गणना द्वारा अकेले ट्रैक्टेबल होने दें - लेकिन आप सरल सर्किट के बारे में बहुत अधिक प्रभावी ढंग से तर्क कर सकते हैं विशालकाय अंतरिक्ष खाने वाले मैट्रिस की तुलना में इन अभिव्यक्तियों का उपयोग करना।

— निएल डी ब्यूड्रैप
स्रोत

अरे हाँ, मैं जल्दी से Mermin पुस्तक में प्रोजेक्टर को याद करते हैं। प्रोजेक्टर और मैट्रिक्स जोड़ मैट्रिक्स में सशर्त तर्क को कूटबद्ध करने का एक तरीका है!

— एहीलवर

"प्रतिनिधित्व में एक साधारण परिवर्तन एक मुश्किल क्वांटम एल्गोरिथ्म को कुशलतापूर्वक हल करने की संभावना नहीं है" - बाती घुमाव के मामले में क्या होगा?

— मेवेज़

@meowzz: हर बार एक समय में, संकेतन में ऐसा बदलाव आपको एक वैचारिक अग्रिम बनाने की अनुमति देता है और आपको समस्याओं को आसानी से हल करने में मदद करता है। लेकिन अक्सर नहीं, और शायद इस विशेष परिवर्तन के मामले में नहीं, जो यथोचित रूप से प्रसिद्ध है। विक रोटेशन के विशिष्ट मामले के रूप में, हालांकि, मैं जो सवाल पूछूंगा वह यह है कि समस्याओं को हल करने के लिए क्या विशिष्ट अग्रिम संभव है, और यह किन समस्याओं के लिए उपयोगी था।

— नील डे ब्यूड्रैप

यह अच्छा प्रश्न है; यह एक है जो पाठ्यपुस्तकों के आसपास लगता है। मैं कुछ दिन पहले क्वांटम कंप्यूटिंग व्याख्यान तैयार करते समय इस सटीक प्रश्न पर पहुंचा था।

जहां तक मैं बता सकता हूं, लिए क्रोनकर उत्पाद नोटेशन का उपयोग करके वांछित 8x8 मैट्रिक्स प्राप्त करने का कोई तरीका नहीं है । आप वास्तव में कह सकते हैं: CNOT को तीन क्विट में लागू करने का आपका ऑपरेशन, पहला नियंत्रण और तीसरा होने का लक्ष्य है, इसके निम्नलिखित प्रभाव हैं: $\otimes$

$\lvert 000\rangle \mapsto \lvert 000\rangle$

$\lvert 001\rangle \mapsto \lvert 001\rangle$

$\lvert 010\rangle \mapsto \lvert 010\rangle$

$\lvert 011\rangle \mapsto \lvert 011\rangle$

$\lvert 100\rangle \mapsto \lvert 101\rangle$

$\lvert 101\rangle \mapsto \lvert 100\rangle$

$\lvert 110 \rangle \mapsto \lvert 111 \rangle$

$\lvert 111 \rangle \mapsto \lvert 110 \rangle$

और इसलिए यह निम्नलिखित मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है:

$U = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

यह मैट्रिक्स वास्तव में न तो और न ही । इसके लिए कोई सक्सेनिक क्रोनकर-उत्पाद-आधारित संकेतन नहीं है; यह जैसा है, वैसा ही है। $U$ $I_2 \otimes \mathrm{CNOT}$ $\mathrm{CNOT} \otimes I_2$

— रयान ओ'डॉनेल
स्रोत

एक सामान्य विचार के रूप में CNOT नियंत्रण के आधार पर लक्ष्य को फ़्लिप करता है। यदि नियंत्रण , तो मैं लक्ष्य को फ्लिप करने के लिए चुनता हूं , आप इसे भी चुन सकते हैं। इसलिए किसी भी सामान्य अवस्था को मान लें । अब आप अपने नियंत्रण और लक्ष्य चुनें, मान लीजिए कि नियंत्रण और है लक्ष्य है। CNOT लागू करना rangle सिर्फ होगा $\uparrow (= [1\ 0]^T)$ $\downarrow (= [0\ 1]^T)$ $|\phi\rangle=|\uparrow_1\downarrow_2\downarrow_3....\uparrow_{n-1}\downarrow_n\rangle$ $i'th$ $k'th$ $|\phi\rangle$

सी एन हे टी | φ ⟩ = सी एन हे टी | ↑_{1} ↓_{2} । । । ↑_{मैं} । । । ↑_{क} । । । ↑_{n - 1} ↓_{n} ⟩ = | ↑_{1} ↓_{2} । । । ↑_{मैं} । । । ↓_{क} । । । ↑_{n - 1} ↓_{n} ⟩

$\begin{equation} CNOT|\phi\rangle=CNOT|\uparrow_1\downarrow_2...\uparrow_i...\uparrow_k...\uparrow_{n-1}\downarrow_n\rangle= |\uparrow_1\downarrow_2...\uparrow_i...\downarrow_k...\uparrow_{n-1}\downarrow_n\rangle \end{equation}$

ऐसे CNOT गेट के मैट्रिक्स का निर्माण करने के लिए हम ( -Pauli मैट्रिक्स) लागू करते हैं यदि राज्य ऊपर है और हम ( पहचान) लागू करते हैं यदि स्थिति नीचे है। हम इन को स्थिति पर लागू करते हैं , जो हमारा लक्ष्य है। गणित के अनुसार, $\sigma_x$ $x$ $i'th$ $I$ $2\times2$ $i'th$ $k'th$

सी एन हे टी = [| ↑_{1} । । । ↑_{मैं} । । । ↑_{क - 1} ⟩ ⟨ ↑_{1} । । । ↑_{मैं} । । । ↑_{क - 1} | \otimes σ_{एक्स} \otimes | ↑_{क + 1} । । । ↑_{n} ⟩ ⟨ ↑_{क + 1} । । । ↑_{n} | + ए एल एल पी इ आर म यू टी ए टी मैं ओ n रों ओ च रों टी ए टी इ रों ओ टी ज इ आर टी ज इ n {मैं}^{'} टी ज] + [| ↑_{1} । । । ↓_{मैं} । । । ↑_{क - 1} ⟩ ⟨ ↑_{1} । । । ↓_{मैं} । । । ↑_{क - 1} | \otimes मैं \otimes | ↑_{क + 1} । । । ↑_{n} ⟩ ⟨ ↑_{क + 1} । । । ↑_{n} | + ए एल एल पी इ आर म यू टी ए टी मैं ओ n रों ओ च रों टी ए टी इ रों ओ टी ज इ आर टी ज इ n {मैं}^{'} टी ज]

$\begin{equation} CNOT = \Big[|\uparrow_1...\uparrow_i...\uparrow_{k-1}\rangle\langle\uparrow_1...\uparrow_i...\uparrow_{k-1}|\otimes\sigma_x\otimes|\uparrow_{k+1}...\uparrow_n\rangle\langle\uparrow_{k+1}...\uparrow_n| + all\ permutations\ of\ states\ other\ then\ i'th\Big] + \Big[|\uparrow_1...\downarrow_i...\uparrow_{k-1}\rangle\langle\uparrow_1...\downarrow_i...\uparrow_{k-1}|\otimes I\otimes|\uparrow_{k+1}...\uparrow_n\rangle\langle\uparrow_{k+1}...\uparrow_n| + all\ permutations\ of\ states\ other\ then\ i'th\Big] \end{equation}$

नोट स्थिति (लक्ष्य) को क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स बनाते समय बाहर रखा गया है और स्थिति में ऑपरेटर या लिखा गया है। $k'th$ $k'th$ $\sigma_x$ $I$

पाँच qubits का उदाहरण लें जिसमें qubit लक्ष्य है और नियंत्रण है। के क्रमचय मैट्रिक्स का निर्माण करें । अगर नियंत्रण लक्ष्य को है, तो मैं लेता हूं । आप इसके विपरीत भी ले सकते हैं। $2^{nd}$ $4^{th}$ $CNOT$ $\uparrow$

\begin{aligned} सी एन हे टी & = | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes σ_{एक्स} \otimes | ↑_{3} ↑_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↑_{4} ↑_{5} | \\ + | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes σ_{एक्स} \otimes | ↑_{3} ↑_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↑_{4} ↓_{5} | \\ + | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes σ_{एक्स} \otimes | ↓_{3} ↑_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↑_{4} ↑_{5} | \\ + | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes σ_{एक्स} \otimes | ↓_{3} ↑_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↑_{4} ↓_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes σ_{एक्स} \otimes | ↑_{3} ↑_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↑_{4} ↑_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes σ_{एक्स} \otimes | ↑_{3} ↑_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↑_{4} ↓_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes σ_{एक्स} \otimes | ↓_{3} ↑_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↑_{4} ↑_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes σ_{एक्स} \otimes | ↓_{3} ↑_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↑_{4} ↓_{5} | \\ + | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes मैं \otimes | ↑_{3} ↓_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↓_{4} ↑_{5} | \\ + | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes मैं \otimes | ↑_{3} ↓_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↓_{4} ↓_{5} | \\ + | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes मैं \otimes | ↓_{3} ↓_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↓_{4} ↑_{5} | \\ + | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes मैं \otimes | ↓_{3} ↓_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↓_{4} ↓_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes मैं \otimes | ↑_{3} ↓_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↑_{4} ↓_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes मैं \otimes | ↑_{3} ↓_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↓_{4} ↓_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes मैं \otimes | ↓_{3} ↓_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↓_{4} ↑_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes मैं \otimes | ↓_{3} ↓_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↓_{4} ↓_{5} | \end{aligned}

$\begin{align} CNOT & = |\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\uparrow_3\uparrow_4\uparrow_5\rangle\langle\uparrow_3\uparrow_4\uparrow_5|\\ & +|\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\uparrow_3\uparrow_4\downarrow_5\rangle\langle\uparrow_3\uparrow_4\downarrow_5|\\ & +|\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\downarrow_3\uparrow_4\uparrow_5\rangle\langle\downarrow_3\uparrow_4\uparrow_5|\\ & +|\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\downarrow_3\uparrow_4\downarrow_5\rangle\langle\downarrow_3\uparrow_4\downarrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\uparrow_3\uparrow_4\uparrow_5\rangle\langle\uparrow_3\uparrow_4\uparrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\uparrow_3\uparrow_4\downarrow_5\rangle\langle\uparrow_3\uparrow_4\downarrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\downarrow_3\uparrow_4\uparrow_5\rangle\langle\downarrow_3\uparrow_4\uparrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\downarrow_3\uparrow_4\downarrow_5\rangle\langle\downarrow_3\uparrow_4\downarrow_5|\\ & +|\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes I\otimes|\uparrow_3\downarrow_4\uparrow_5\rangle\langle\uparrow_3\downarrow_4\uparrow_5|\\ & +|\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes I\otimes|\uparrow_3\downarrow_4\downarrow_5\rangle\langle\uparrow_3\downarrow_4\downarrow_5|\\ & +|\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes I\otimes|\downarrow_3\downarrow_4\uparrow_5\rangle\langle\downarrow_3\downarrow_4\uparrow_5|\\ & +|\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes I\otimes|\downarrow_3\downarrow_4\downarrow_5\rangle\langle\downarrow_3\downarrow_4\downarrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes I\otimes|\uparrow_3\downarrow_4\uparrow_5\rangle\langle\uparrow_3\uparrow_4\downarrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes I\otimes|\uparrow_3\downarrow_4\downarrow_5\rangle\langle\uparrow_3\downarrow_4\downarrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes I\otimes|\downarrow_3\downarrow_4\uparrow_5\rangle\langle\downarrow_3\downarrow_4\uparrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes I\otimes|\downarrow_3\downarrow_4\downarrow_5\rangle\langle\downarrow_3\downarrow_4\downarrow_5| \end{align}$

— जितेंद्र
स्रोत

-2

सबसे पहले CNOTly2 मैट्रिक्स लिखें, फिर matlab के साथ index2 और index3 के क्रम को बदलें। इस तरह से, आप किसी भी संख्या में क्विट कर सकते हैं।

— जियादे लू
स्रोत

नमस्ते! क्या आप इसे स्पष्ट करने के लिए अपने उत्तर पर विस्तार कर सकते हैं? शायद एक उदाहरण मदद करेगा :)

— met927