प्राथमिक द्वारों से बहु-नियंत्रित नियंत्रित-जेड का निर्माण कैसे करें?

Question

एक निश्चित क्वांटम एल्गोरिथ्म के कार्यान्वयन के लिए, मुझे प्राथमिक द्वारों के एक सेट से एक बहु-qubit (इस मामले में, एक तीन-qubit) नियंत्रित-जेड गेट का निर्माण करने की आवश्यकता है, जैसा कि नीचे दिए गए आंकड़े में दिखाया गया है। ।

गेट जो मैं उपयोग कर सकता हूं वे हैं

• पाउली द्वार $\rm X, Y, Z$ और उनकी सभी शक्तियां (अर्थात सभी फलोदी एक चरण कारक तक),
• ${\rm exp}(i\theta|11\rangle\langle11|)$ (रोटेशन के बारे में $|11\rangle\langle11|$ प्रोजेक्टर),
• $\rm H$ (Hadamard),
• $\rm C_X$ (एकल-नियंत्रित-एक्स या सीएनओटी),
• $\rm C_Z$ (सिंगल-क्वाइबिट नियंत्रित-जेड), और
• $\rm S$ (स्वैप)।

मैं इन द्वारों से इस तीन-नियंत्रित नियंत्रित-जेड के निर्माण के बारे में कैसे जा सकता हूं? मैंने सर्किट डिकम्पोजिशन पर कई पेपर पढ़े हैं, लेकिन उनमें से कोई भी मुझे स्पष्ट और संक्षिप्त जवाब नहीं दे सका।

Comments

क्या आपके 4 वें रजिस्टर में काले घेरे के बजाय Z होना चाहिए?

— user1271772

@ user1271772 दोनों ठीक हैं। चूँकि नियंत्रित-जेड गेट्स उपयोग किए गए क्वबिट्स में सममित होते हैं (अर्थात कोई दो क्वैट्स को स्वैप कर सकता है और गेट का प्रभाव समान रहेगा), ब्लैक डॉट्स वाले एक क्रमहीन अंकन, हाल के साहित्य में अधिक उपयुक्त माना गया है।

— डायन जे डॉन कीवी वैन व्रीमुनिंज

Answer 1

(EDIT: 14 CNOT में सुधार हुआ है)

यह 14 CNOT के साथ किया जा सकता है, साथ ही 15 सिंगल-क्विट Z घुमाव, और कोई सहायक क्वैबिट नहीं।

संबंधित परिपथ है

जहां $\fbox{$\pm$}$ द्वार घूर्णन हैं

$$R_z(\pm\pi/16)\propto \left(\begin{matrix}1\\&e^{\pm i\pi/8} \end{matrix}\right)$$

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व्युत्पत्ति:

Https://arxiv.org/abs/quant-ph/0303063 ¹ में वर्णित प्रक्रिया का उपयोग करके , किसी भी विकर्ण द्वार - किसी भी प्रकार विशेष रूप से CCCZ गेट - जैसे CNOT और एक-चतुर्थ विकर्ण द्वार के संदर्भ में विघटित किया जा सकता है, जहाँ शास्त्रीय अनुकूलन प्रक्रिया के बाद CNOT को अपने दम पर अनुकूलित किया जा सकता है।

संदर्भ मनमाना विकर्ण 4-qubit फाटकों (छवि 4) के लिए 16 CNOT का उपयोग करते हुए एक सर्किट प्रदान करता है।

इसमें सुधार किया जा सकता है, अगर मनमाने ढंग से जोड़े जाने वाली जोड़ी को 14 क्विंटल तक जोड़ा जा सके। आवधिक (खुली) सीमा स्थितियों वाले निकटतम पड़ोसियों के लिए, यह 16 (18) CNOT के साथ किया जा सकता है। संबंधित सर्किट https://epub.uni-regensburg.de/1511/ ¹ , अंजीर। 5.2, 5.4, और 5.5 में पाए जा सकते हैं , और उदाहरण के लिए लघु ग्रे अनुक्रमों के निर्माण के तरीकों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

वन-क्विट गेट्स की संख्या हमेशा 15 होती है।

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टिप्पणी: जबकि सिद्धांत में एक सरल सर्किट हो सकता है (कहा सर्किट मन में एक अधिक विवश सर्किट वास्तुकला के साथ अनुकूलित किया गया है), यह इष्टतम के करीब होना चाहिए - सर्किट को फॉर्म के सभी राज्यों को बनाने की आवश्यकता है $\bigoplus_{i\in I}x_i$ किसी भी गैर-तुच्छ उपसमुच्चय के लिए $I\subset\{1,2,3,4\}$, और 4 क्विट के लिए 15 हैं।

यह भी ध्यान दें कि किसी भी तरह से यह निर्माण इष्टतम होने की आवश्यकता नहीं है।

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^{1 नोट: मैं एक लेखक हूं}

Comments

और Rz फाटकों के बजाय Rx (या Ry) फाटकों का उपयोग करना इस बहु-नियंत्रित नियंत्रित-X (या नियंत्रित-Y) गेट को बनाएगा?

— सियरॉक्स

@ साइरॉक्स आपको बस हेडमर्ड को सब कुछ बदलने की जरूरत है, यानी नीचे की CNOTs CZs बन जाएंगी, और नीचे की तरफ के घुमाव एक्स रोटेशन बन जाएंगे।

— नोर्बर्ट शुच

Answer 2

आप एक लागू कर सकते हैं $n$-क्वीट नियंत्रित $U$इस उत्तर में दिए गए सर्किट द्वारा । बस प्रतिस्थापित करें$U$ द्वारा $Z$। हालाँकि इसके लिए CCNOT (Toffoli) फाटकों की आवश्यकता होती है, और आपके पास प्राथमिक फाटकों का उपयोग करके CCNOT को लागू करने के कुछ विकल्प हैं ।

Comments

यह संभावित अत्यधिक गहराई के साथ एक सर्किट देता है। हो सकता है कि ओपी उस गेट सेट के साथ एक shallower सर्किट चाहता हो। एक सर्किट आकार को कम करने के लिए एक स्वचालित प्रक्रिया कर सकता है।

— हौसैन

@ हुसैन: स्वचालित प्रक्रिया क्या है?

— user1271772

यह स्वचालित समूहों के सिद्धांत के परिणामों का उपयोग करता है, इसलिए यह एक दंड था। स्पष्टीकरण कहीं और जाना होगा; छोटी टिप्पणी नहीं।

— हौसैन

ठीक है @ हुसैन, मैं एक सवाल पूछने जा रहा हूँ जो सिर्फ आपके लिए है!

— user1271772

Answer 3

यहाँ एक CCCZ निर्माण है जो 29 फाटकों का उपयोग करता है :

यदि आपको माप और शास्त्रीय फीडफ़ॉर्म का उपयोग करने की अनुमति दी जाती है, तो गेट की गिनती 25 तक कम की जा सकती है :

(गेट सेट की कमी को पूरा करने के लिए जरूरत पड़ने पर हैडमार्ड के फाटकों को Y के वर्गमूल से बदला जा सकता है।)

और अगर आप मुझे कंट्रोल्ड-एस गेट्स और कंट्रोल्ड-स्क्वेयर (एक्स) गेट्स का प्रदर्शन करने और एक्स बेस माप करने की अनुमति देते हैं, तो मैं इसे कुल 10 गेट्स तक ले जा सकता हूं :

Comments

लेकिन आप अंत में माप + सशर्त नियंत्रित गेट का उपयोग कर रहे हैं। मैं कहूंगा कि यह खेल के "सामान्य" नियमों के बाहर है। (जैसे, यदि आप इसे नियंत्रित-गेट से बदल देंगे और माप को स्थगित कर देंगे, तब भी आप एक टोफोली का उपयोग करेंगे।)

— नोर्बर्ट शूच

@ नॉर्बर्टशच इसलिए मैं "माप और शास्त्रीय फीडफ़ॉर्म का उपयोग करने की अनुमति है" के साथ दूसरा आरेख प्रस्तुत करता हूं। ध्यान दें कि पहला आरेख उन चीजों का उपयोग नहीं करता है।

— क्रेग गिदनी

यूपीएस। माफ़ करना। मैया पापा। मुझे सिर्फ तस्वीरों को नहीं देखना चाहिए था, और थोड़ा स्क्रॉल किया: - |

— नोर्बर्ट शुच

पहले सर्किट के अंत में, पांचवीं कक्षा को छोड़ दिया जाता है। यदि मुझे अनुक्रम में कई CCCZ की आवश्यकता होती है तो मुझे उस qubit का इलाज कैसे करना होगा?

— डियोन जे डॉन कीवी वैन व्रीमुनिंजेन

आप इसे अगले CCCZ में फीड करेंगे, लेकिन दूसरे CCCZ के सर्किट में पहले दो ऑपरेशन को छोड़ देंगे। वे संचालन इसे एक टी राज्य में तैयार कर रहे हैं, जो कि छूटे हुए वर्ग की अंतिम स्थिति है। इसलिए दूसरे CCCZ में 2 कम ऑपरेशन होंगे।

— क्रेग गिदनी

Answer 4

मैं यहाँ CCCZ का एक और अपघटन पोस्ट कर रहा हूँ बस अगर यह CCCZ को संकलित करने के लिए किसी और के लिए उपयोगी है। इसे कुल फाटकों की एक छोटी संख्या की आवश्यकता होती है, और 2 के बजाय केवल 1 सहायक qubit, लेकिन "स्पष्ट" उत्तर की तुलना में पांच और 2-qubit फाटक, इसलिए वास्तव में हार्डवेयर पर कार्यान्वयन के लिए बदतर हो सकता है।

यह इस टिप्पणी में उपयोगकर्ता @Rob द्वारा सुझाव दिया गया था: क्वांटम सर्किट का स्वचालित संकलन , और इस पेपर से आता है ।

GMS5$(\chi)$ गेट यह है:

साथ में $n=5$ और सभी $\chi_{ij}=\chi$, जिसका मतलब है कि इसमें 10 दो-qubit द्वार शामिल हैं। फिर उन्हें प्रश्न में दिए गए गेट सेट में संकलित करना होगा, इसलिए इस अपघटन का उपयोग केवल तभी किया जाना चाहिए जब आप संख्या सहायक qubits पर सहेजने की कोशिश कर रहे हों या यदि आप क्रम में अधिक 2-qubit फाटक होने का मन नहीं करते हैं सर्किट की गहराई को थोड़ा कम करें।

Comments

GMS5 गेट एक सुंदर वैश्विक गेट है - इसकी तुलना पारंपरिक गेट काउंट से करना मुश्किल है। और यह काफी संभावना है कि परिदृश्यों में भी जहां इस गेट को लागू किया जा सकता है, आप नहीं चुन पाएंगे$\chi_{ij}$। सिर्फ सीसीसीजेड गेट का लॉगरिदम क्यों नहीं?

— नॉर्बर्ट शुच

@NorbertSchuch: सवाल CCCZ से नहीं लॉग (CCCZ) के लिए पूछता है। यदि हम लॉग (CCCZ) करने वाले थे, जो कि आप संभवतः सुझाव देते हैं क्योंकि GMS5 प्रारंभिक द्वारों का एक घातांक है और इसका लघुगणक संभवतः लागू करने के लिए सरल होगा, तो क्या लॉग के उत्तर से CCCZ का आउटपुट प्राप्त करना आसान होगा? CCCZ)?

— user1271772

मुझे कोई सुराग नहीं है कि आप किस बारे में बात कर रहे हैं। उत्पादों या पॉलिस के योगों को लागू करना आसान नहीं है। वे एकात्मक भी नहीं हैं। --- लेकिन इकाईयों के लघुगणक हैमिल्टनियन हैं, इसलिए यदि आप कुछ स्मार्ट प्रयोगात्मक सेटअप के माध्यम से लॉग (CCCZ) के साथ समय-विकसित कर सकते हैं, तो आप इस गिनती में "एक गेट" के साथ CCCZ प्राप्त करेंगे।

— नॉर्बर्ट शुच

@NorbertSchuch: आपकी टिप्पणी "ऍक्स्प (-आईएचटी) शायद ही एडियाबेटिक है" शब्दार्थ है और कोई मतलब नहीं है। आपने मुझसे क्यों पूछा "सीसीसीजेड गेट का सिर्फ लघुगणक क्यों नहीं?" ?

— user1271772

@user1271772 just to add to what (I believe) Norbert is saying in the comments: the problem of trying to find time-independent Hamiltonians directly generating nontrivial gates (CCX and others are considered in the paper) has been studied in arxiv.org/abs/1803.07119. The problem in this setting is that of finding Hamiltonians that contain only feasible interactions and still generate the target gate. The resource thus become what Hamiltonian interactions are allowed, rather than what elementary gates are allowed

— glS

Answer 5

There are some large savings that can be made based on the specified gate set. For example, in the typical ccnot construction, if you replace the $T$ gate with $Z^{1/4}$, you don't need that phase correction that constitutes the last few gates between the two control qubits. This construction, which obeys the gate set specified in the question, consists of 21 gates, of which 10 are 2-qubit (you don’t need the last gate in the circuit below).

To be clear (in response to several comments): usually we look at Toffoli, and try to make it using the $T$ gate. If both controls are $|1\rangle$, then the gate sequence on the target qubit is $HXTXT^\dagger XTXT^\dagger H$. Now, since $XT^\dagger X=Te^{-i\pi/4}$, then the sequence simplifies to $-iHT^4H=-iX$, and one has to add a compensating controlled-S gate on the two control qubits. If, instead, we use $Z^{1/4}$, then $XZ^{-1/4}X=Z^{1/4}$, and none of those pesky phases come into it, and it saves you some two-qubit gates!

Also, note that the two Toffoli gates are only Toffoli because they target the 0 state. Typically you would need an extra two-qubit gate.

I've not found as efficient a construction in existing literature, although this paper claims a construction using only 11 2-qubit gates, but I haven’t done a complete gate count once it’s converted into the question’s restricted gate set.

Comments

Feels like you are not uncomputing sth. in the lower half of the circuit -- but I didn't think very hard about it ;)

— Norbert Schuch

I uncomputed the ancilla, apart from an irrelevant single qubit rotation on it. That’s what the last Toffoli does. I suppose Toffoli should be in inverted commas since it is missing that 1 gate at the end.

— DaftWullie

Are you sure the first block is a Toffoli -- or is it just a Toffoli on the ancilla? (I remember the best one could do for Toffoli was about 8 CNOTs).

— Norbert Schuch

I think you're missing a CS phase correction on the top two qubits in the middle block. You should be able to drop the leftmost CZ from each of the side blocks.

— Craig Gidney

I’ll check carefully on Tuesday. I thought this formulation avoided the cS.

— DaftWullie

Answer 6

While my other answer is the most obvious "textbook" way (using Nielsen & Chaung's CCCZ decomposition into CCNOTs, then another textbook decomposition to compile the CCNOTs), a more creative way might allow us to get the job done with fewer gates.

Step 1:

Replace all the CNOTs in Nielsen & Chuang's circuit with this gadget:

Step 2:

Now we have a bunch of CCZs instead of CCNOTs, and they can be decomposed like this (courtesy of this paper):

Step 3:

Note that $H^2 = I$, so some of these Hadamards cancel each other out and we get even more of a reduction :)

Comments

What's the gate count?

— Norbert Schuch