क्वांटम गेट के परिवर्तन के बाद प्रत्येक राज्य की संभावनाएं कैसे बदलती हैं?

Question

क्वांटम गेट्स को मेट्रिस द्वारा दर्शाया जाता है, जो कि क्वबिट्स (राज्यों) पर लागू परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

मान लीजिए कि हमारे पास कुछ क्वांटम गेट हैं जो $2$ क्विबट पर काम करते हैं।

क्वांटम गेट कैसे प्रभावित करता है (जरूरी नहीं कि इसे बदल दें) क्वैब की स्थिति को मापने का परिणाम (जैसा कि माप परिणाम प्रत्येक संभावित राज्य की संभावनाओं से बहुत प्रभावित होता है)? अधिक विशेष रूप से, यह जानना संभव है कि अग्रिम में, प्रत्येक राज्य की संभावनाएं क्वांटम गेट के कारण कैसे बदलती हैं?

Answer 1

केस I: 2 क्वाइब उलझे हुए नहीं हैं।

आप दो खानों ( और बी कहते हैं ) की स्थिति लिख सकते हैं | ⟩ ए ψ = ए | 0 ⟩ + ख | 1 ⟩ और | ψ बी ⟩ = ग | 0 ⟩ + घ | 1 ⟩ जहां एक , ख , ग , घ ∈ सी ।$\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$|\psi_\mathrm{A}\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle$$|\psi_\mathrm{B}\rangle = c|0\rangle+d|1\rangle$$a,b,c,d\in\Bbb{C}$

अलग-अलग क्वेट दो आयामी जटिल वेक्टर रिक्त स्थान (एक सी फ़ील्ड पर) में रहते हैं। लेकिन सिस्टम की स्थिति एक वेक्टर (या बिंदु ) है जो चार आयामी जटिल वेक्टर अंतरिक्ष सी 4 (एक सी क्षेत्र में) में रहता है।$\Bbb{C}^2$$\Bbb{C}$$\Bbb{C}^4$$\Bbb {C}$

सिस्टम की स्थिति को टेंसर उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है यानी एक ग | 00 ⟩ + एक घ | 01 c + b c | 10 ⟩ + ख घ | 11 ⟩ ।$|\psi_\mathrm{A}\rangle\otimes|\psi_\mathrm{B}\rangle$$ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$

स्वाभाविक रूप से, बाद से राज्य वेक्टर को सामान्य किया जाना है। आधार राज्य के आयाम के वर्ग का कारण उस आधार राज्य की संभावना को देता है जब इसी आधार पर मापा जाता है क्वांटम यांत्रिकी के बोर्न नियम में निहित है (कुछ भौतिक विज्ञानी इसे क्वांटम यांत्रिकी का एक मूल संकेत मानते हैं) । अब, प्रायिकता | 0 is जब पहली क्वैब मापा जाता है तो यह होता है$|ac|^2+|ad|^2+|bc|^2+|bd|^2=1$$|0\rangle$ । इसी प्रकार, संभाव्यता | 1 is पहली qubit मापा जाता है जब रो रही है | बी सी | 2 + | b d | २ ।$|ac|^2+|ad|^2$$|1\rangle$$|bc|^2+|bd|^2$

अब, अगर हम सिस्टम की पिछली स्थिति पर कोई माप किए बिना क्वांटम गेट लागू करते हैं तो क्या होगा? क्वांटम द्वार एकात्मक द्वार हैं। उनकी कार्रवाई एक एकात्मक ऑपरेटर की कार्रवाई के रूप में लिखा जा सकता है प्रणाली यानी की प्रारंभिक स्थिति पर एक ग | 00 ⟩ + एक घ | 01 c + b c | 10 ⟩ + ख घ | 11 ⟩ एक नए राज्य का निर्माण करने के लिए एक | 00 ⟩ + बी | 01 ⟩ + सी | 10 $U$$ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$ (जहां एक , बी , सी , डी ∈ सी )। इस नए राज्य वेक्टर की भयावहता: | ए | 2 + | B | 2 + | सी | 2 + | डी | 2 फिर से 1 के बराबर है, क्योंकि लागू गेटएकात्मकथा। जब पहली qubit मापी जाती है, तो प्रायिकता | 0 is होने वाली है | ए | 2$A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$$A,B,C,D\in\Bbb{C}$$|A|^2+|B|^2+|C|^2+|D|^2$$1$$|0\rangle$ और इसी तरह आप इसे होने के लिए पा सकते हैं | 1 ⟩ ।$|A|^2+|B|^2$$|1\rangle$

लेकिन अगर हमने एक माप प्रदर्शन किया, तो एकात्मक द्वार की कार्रवाई से पहले परिणाम अलग होगा। आप में से उदाहरण के लिए पहले qubit मापा जाता था और यह पता चला में होना राज्य प्रणाली के मध्यवर्ती राज्य है | ढह को एक सी | 00 ⟩ + एक घ | 01 $|0\rangle$ (कोपेनहेगन व्याख्या के अनुसार)। तो आप समझ सकते हैं किइसराज्यपर एक ही क्वांटम गेट लगाने सेएक अलग अंतिम परिणाम प्राप्त होगा।$\frac{ac|00\rangle + ad|01\rangle}{\sqrt{(ac)^2+(ad)^2}}$

केस II: 2 क्विट्स उलझे हुए हैं।

मामले में प्रणाली की स्थिति 1 जैसी कुछ है, आप इसे दो अलग-अलगक्वैबिटके राज्यों के टेंसर उत्पाद के रूप में प्रस्तुत नहीं कर सकते (कोशिश!)। ऐसे और भी बहुत सारे उदाहरण हैं। कहा जाता है कि इस तरह के मामले में क्वैट्स उलझ जाते हैं।$\frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle$

Anyway, the basic logic still remains same. The probability of $|0\rangle$ occuring when the first qubit is measured is $|1/\sqrt{2}|^2=\frac{1}{2}$ and $|1\rangle$ occuring is $\frac{1}{2}$ too. Similarly you can find out the probabilities for measurement of the second qubit.

Again if you apply a unitary quantum gate on this state, you'd end up with something like $A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$, as before. I hope you can now yourself find out the probabilities of the different possibilities when the first and second qubits are measured.

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नोट: आम तौर पर 2-qubit sytem के आधार राज्य चार माना जाता है 4 × 1 की तरह स्तंभ वैक्टर [ 1 0 0 0 ] , [ 0 1 0 0 ] के मानक के आधार पर चार आधार वैक्टर मैप करके, आदि आर 4 । और, एकात्मक परिवर्तन यू को 4 × 4 के रूप में लिखा जा सकता है$|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle$$4\times 1$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\Bbb{R}^4$$U$$4\times 4$ matrices which satisfy the property $UU^{\dagger}=U^{\dagger}U=I$.

Answer 2

Yes, it is possible. The quantum gates are designed such that given input states are transformed to well defined output states with computable probabilities. The transformation does not constitute a measurement in the sense of quantum mechanics, this means that we can have entangled states in the output of a quantum gate and use these states for further computation.

Note also that the input states are no longer accessible after being transformed by a quantum gate. If you want to get them back, you have to apply an inverse gate.

Comments

I think this answer would be better with some basic mathematics, but that's difficult without mathjax enabled.

— DanielSank

@DanielSank it is now enabled

— Gabriel Romon

What do you exactly mean by "in the sense of quantum mechanics"?

— nbro

Answer 3

How does the quantum gate affect (not necessarily change it) the result of measuring the state of the qubits (as the measurement result is affected greatly by the probabilities of each possible state)? More specifically, is it possible to know, in advance, how the probabilities of each state change due to the quantum gate?

Let's try to approach this with an example and some geometry. Consider a single qubit, whose Hilbert space is $\mathbb{C}^2$, i.e., the two-dimensional complex Hilbert space over $\mathbb{C}$ (for the more technical people, the Hilbert space is actually $\mathbb{C}P^1$). It turns out that $\mathbb{C}P^1 \cong S^2$, the unit sphere, also known as the Bloch sphere. This translates into the fact that all states of a qubit can be represented (uniquely) on the Bloch sphere.

Source: Wikipedia

The state of a qubit can be represented on the Bloch sphere as ${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)|1\rangle}$, where $0 \leq \theta \leq \pi$ and $0 \leq \phi < 2 \pi$. Here, $|0\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$ and $|1\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$ are the two basis states (represented in the figure at the north and south pole respectively). So the states of the qubit are nothing but column vectors, which are identified with (unique) points on the sphere.

What are quantum gates? These are unitary operators, $U$ s.t., $U U^\dagger = U^\dagger U = \mathbb{I}$. Gates on a single qubit are elements of $SU(2)$. Consider a simple gate like $Y$ (which stands for the Pauli matrix $\sigma_y := Y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}$).

How does this gate act on a qubit and affect the measurement outcomes?

Say you begin with a qubit in the state $|0\rangle$, i.e., at the north pole on the Bloch sphere. You apply a unitary of the form $U = e^{-i \gamma Y}$ where $\gamma \in \mathbb{R}$. Using properties of the Pauli matrix, we get $U = e^{-i \gamma Y} = cos(\gamma) \mathbb{I} -i sin(\gamma) Y$. The action of this operator is to rotate the state by an angle $2 \gamma$ along the y-axis and therefore if we choose $\gamma = \pi/2$, the qubit $|0\rangle \rightarrow U|0\rangle = |1\rangle$. That is to say, given we know what unitary we are applying to our state, we completely know the way in which our initial state will transform and hence we know how the measurement probabilities would change.

For example, if we were to make a measurement in the $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ basis, initially, one would get the state $|0\rangle$ with probability 1; after applying the unitary, one would get the state $|1\rangle$ with probability 1.

Answer 4

As you said, the probabilities of measurements are obtained from the state. And the gates operate unitarily on the states. Consider the POVM element $\Pi$, a state $\rho$ and a gate $U$. Then the probability for the outcome associated with $\Pi$ is $p=\mathrm{tr} (\Pi \rho)$, and the probability after the gate is $p'=\mathrm{tr}(\Pi U \rho U^\dagger)$.

I just want to stress that it is impossible to know the probability of the outcome after the gate only from the probability of it before the gate. You need to consider the probability amplitudes (the quantum states)!

Let me make another remark: You are talking about two qubits, so the state after the gate might be entangled. In this case it will not be possible to have "individual" probability distributions for each qubit for all measurements in the sense that the joint probability distribution will not factor into the two marginal distributions.