कन्वेंशन के लिए क्वांटम एल्गोरिदम

Question

मैं मशीन सीखने के लिए क्वांटम कम्प्यूटिंग के अनुप्रयोगों में देख रहा था और 2003 से निम्नलिखित प्री-प्रिंट का सामना कर रहा था। क्वांटम कन्वेंशन और सहसंबंध एल्गोरिदम भौतिक रूप से असंभव हैं । लेख किसी भी पत्रिका में प्रकाशित नहीं हुआ है, लेकिन इसे कुछ दर्जन बार उद्धृत किया गया है।

लेख लेखक इस मामले को बनाता है कि क्वांटम राज्यों पर असतत सजा की गणना करना असंभव है। वास्तव में यह मेरे लिए गलत लगता है, क्योंकि मुझे पता है कि हम क्वांटम मैट्रिक्स गुणा कर सकते हैं, और मुझे पता है कि असतत सजा को टोलप्लाट्ज़ (या सर्कुलर) मैट्रिक्स के साथ गुणा के रूप में तैयार किया जा सकता है।

उनकी दलील का खामियाजा यह प्रतीत होता है कि दो वैक्टरों के मूल तत्व (हैडमार्ड) उत्पाद के लिए एकात्मक संचालकों की कोई वास्तविक संरचना नहीं है।

मेरा डिस्कनेक्ट कहां है? क्या कोई कारण है कि हम सामान्य रूप से क्वांटम कंप्यूटर में असतत आक्षेप के लिए टोलप्लेट मैट्रिक्स का निर्माण नहीं कर सकते हैं?

या लेख केवल गलत है? मैंने उस विरोधाभास के माध्यम से काम किया है जो लेखक ने लेम्मा 14 के अपने प्रमाण में प्रस्तुत किया है, और यह मुझे समझ में आता है।

Comments

पेपर ने कहा, "अंतिम नोट: यह परिणाम डेविड मेयर द्वारा की गई टिप्पणी से प्रेरित था, जिन्होंने स्वतंत्र रूप से इसी तरह के परिणाम प्राप्त किए थे।" क्या आपने मेयर द्वारा पेपर की जांच की?

— नोर्बर्ट शुच

@NorbertSchuch मैंने किया, और एक समान दावा करने में असमर्थ पाया गया।

— DPL

Answer 1

आप वास्तव में एक क्वांटम कंप्यूटर (और उस मामले के लिए तेजी से तेजी से) पर दृढ़ संकल्प प्रदर्शन कर सकते हैं, अगर आपके इनपुट संकेतों में एक निश्चित संरचना है। लेकिन सामान्य आदानों के लिए, यह चुनौतीपूर्ण लगता है और शायद शारीरिक रूप से असंभव भी है, जो कि कागज का तर्क है।

विचार करें कि आप दो असतत संकेतों के दृढ़ीकरण की गणना कैसे करेंगे $f$ तथा $g$प्रतिष्ठित। आप दोनों संकेतों के फूरियर रूपांतरण को ले सकते हैं, परिणामी वैक्टर के एक बिंदु-वार गुणा कर सकते हैं, और फिर एक उलटा फूरियर रूपांतरण कर सकते हैं:

$$\mathscr{F}^{-1} (\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g))$$

ध्यान दें कि फूरियर रूपांतरण एक क्वांटम कंप्यूटर पर एक बहुत ही सस्ता ऑपरेशन है। तो यह बहुत अच्छा लगता है। समस्या यह है कि दो वैक्टरों का बिंदु-वार गुणा इतना आसान नहीं है। आइए देखें कि कौन से कारक निर्धारित करते हैं।

मान लीजिए हम भाग्यशाली हैं और फूरियर के स्पेक्ट्रम हैं $f$ सपाट हो जाता है:

$$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}{|i\rangle} = \sum_{i=1}^{N-1}F(i)$$

उस स्थिति में, आपका क्वांटम कंप्यूटर एक विकर्ण मैट्रिक्स ऑपरेशन कर सकता है जो आपको बिंदुवार गुणा देता है:

$$\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g) = F.G = \left(\begin{array}{cccc} F(0) & & & \\ & F(1) & & \\ & & . & \\ & & & F(N-1) \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} G(0) \\ G(1) \\ . \\ G(N-1) \end{array}\right)$$

हालाँकि, क्वांटम एल्गोरिदम जो दो वैक्टर के बिंदु-वार गुणन को पाते हैं, सामान्य मामले में शारीरिक रूप से असंभव हो सकते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि यह ऑपरेशन सामान्य रूप से गैर-एकात्मक है। एक साधारण उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि फूरियर का रूपांतरण हुआ$f$ अधिकांश स्थानों में शून्य के साथ, एक नुकीला कार्य है:

$$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{2}(|0\rangle + |2\rangle + |5\rangle + |7\rangle)$$ दूसरे राज्य के साथ इस राज्य का बिंदुवार गुणा गैर-प्रतिवर्ती (शून्य के कारण) है, और इस प्रकार एकात्मक है।

ऐसे कार्यों की खोज करने के लिए पहले काम किया गया है, जिसके परिणामस्वरूप एक फ्लैट या निकट-सपाट फूरियर स्पेक्ट्रम होता है, और इस प्रकार यह आसान होता है:

https://arxiv.org/abs/0811.3208

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0211140

Answer 2

मुझे परिणाम पर अत्यधिक संदेह है। यदि आप प्रमेय 16 को देखते हैं, तो यह दावा करता है कि कोई ऑपरेशन नहीं है जो मानचित्र को प्राप्त करता है

$$\sum_{ij}\alpha_i\beta_j|ij\rangle\mapsto \sum_i\alpha_i\beta_i|i\rangle$$ सामान्यीकरण तक। हालांकि, माप ऑपरेटर पर विचार करें $$P=\sum_{i}|i\rangle\langle ii|.$$ यह स्पष्ट रूप से वांछित मानचित्र (उस विशेष माप परिणाम के लिए) को लागू करता है। इसके अलावा, इसका कार्यान्वयन काफी सीधा है। एक एकात्मक (प्रभावी रूप से, एक सामान्यीकृत नियंत्रित नहीं) है जो मैप कर सकता है $$|ii\rangle\mapsto|i0\rangle,$$ ताकि आप फिर दूसरे स्पिन को मापें और 0 परिणाम प्राप्त करने पर चयन करें। यह कागज के प्रमाण को अमान्य प्रतीत होगा।

Comments

क्या यह आवश्यक नहीं है कि ऑपरेशन एकात्मक हो?

— क्रेग गिदनी

@ क्रेगगिडनी प्रमेय 16 विशेष रूप से यूनिटों और माप के संयोजन के बारे में बात कर रहा है, और यह दावा कर रहा है कि कोई व्यक्तिगत माप परिणाम नहीं हैं जो उस नक्शे को प्राप्त कर सकते हैं।

— DaftWullie

यह एक अच्छा प्रतिरूप की तरह लगता है। क्या आपको लेम्मा 14 (जो वह प्रमेय 16 साबित करने के लिए एक आधार के रूप में उपयोग करता है) के लेखक के तर्क में किसी भी गलती के लिए समझदारी है?

— DPL

@ डीपीएल मुझे नहीं लगता कि लेम्मा 14 गलत है (कम से कम, मुझे परिणाम पर विश्वास है। मुझे प्रमाण के बारे में पता नहीं है) प्रमेय 16 में एक अजीब तर्क है (यह ठीक भी हो सकता है, मैंने कोई खर्च नहीं किया। इसके बारे में सोचने का समय, यह सिर्फ संदिग्ध लग रहा है) इसके बारे में कुछ) क्योंकि कुछ यह सच था कि परिचालकों के लिए यह रैखिक ऑपरेटरों के लिए सच है, और इसलिए माप के लिए भी।

— DaftWullie

@ डीपीएल अधिक सटीक रूप से, मेरा मानना ​​है कि लेम्मा 14 जैसा कि यह इकाइयों पर लागू होता है।

— DaftWullie 17