भगवान के नंबर के लिए क्वांटम एल्गोरिदम

Question

भगवान का नंबर भगवान के एल्गोरिदम का सबसे खराब मामला है

रूबिक क्यूब पहेली को हल करने के तरीकों की चर्चा में एक धारणा उत्पन्न होती है, लेकिन जो अन्य कॉम्बिनेटरियल पहेलियों और गणितीय खेलों पर भी लागू की जा सकती है। यह किसी भी एल्गोरिथ्म को संदर्भित करता है जो सबसे कम संभव चाल वाले समाधान का उत्पादन करता है, यह विचार कि एक सर्वज्ञ होने के नाते किसी भी दिए गए कॉन्फ़िगरेशन से एक इष्टतम कदम पता होगा।

भगवान की संख्या की गणना 20 की गई "35 सीपीयू-वर्ष निष्क्रिय (शास्त्रीय) कंप्यूटर समय।"

क्वांटम दृष्टिकोण के साथ किस प्रकार की गति प्राप्त की जा सकती है?

Comments

कॉम्बीनेटरियल पहेलियों के लिए "ईश्वर की संख्या" केली-जैसे ग्राफ के व्यास से संबंधित है , जो कि ग्राफ का सबसे बड़ा सबसे छोटा रास्ता है। मुझे नहीं लगता कि सामान्यीकृत समस्या पहेलियाँ । मैंने इस पत्र का अध्ययन नहीं किया है - arxiv.org/abs/quant-ph/0303131 - लेकिन मुझे लगता है कि यह शास्त्रीय पर एक ग्रोवर-स्पीडअप का दावा करता है। $n\times n \times n$$\mathsf{NP}$

— मार्क एस

@mark s chat.stackexchange.com/rooms/81283/quantum

— meowzz

आप किसी भी चीज़ के लिए इस तरह का प्रश्न पूछ सकते हैं, जिसकी गणना करना कठिन है। यह बहुत रचनात्मक नहीं लगता है। आप यह क्यों सोचेंगे कि यह विशिष्ट समस्या ब्याज दर क्वांटम एल्गोरिदम की हो सकती है?

— नॉर्बर्ट शूच

@ नोर्बर्ट शुच I घन और क्वांटम कंप्यूटिंग करते हैं। यह मेरे लिए एक बहुत ही दिलचस्प समस्या है (और मैं क्वांटम कॉम्बिनेटरियल ऑप्टिमाइज़ेशन में रुचि रखने वाले किसी और के बारे में सोचूंगा)।

— म्याऊज

एक बहन साइट से mathoverflow.net/questions/77836/… भी देखें ।

— मार्क एस

Answer 1

हम रूबिक क्यूब के बारे में सोच सकते हैं केली ग्राफ प्रत्येक (रंग) बढ़त के साथ Singmaster चाल में से एक होने और प्रत्येक शीर्ष , से एक होने के कारण के अलग-अलग विन्यास ।$\Gamma=(V,E)$$E$$\langle U,U^{2},U^{3}=U^{-1},D,D^{2},D^{3},\cdots\rangle$$V$$43252003274489856000\approx 4.3e{19}$$3\times 3\times 3$

व्यास एक ग्राफ के ग्राफ में सबसे लंबे समय तक कम से कम पथ है। व्यास का निर्धारण करने के लिए शास्त्रीय एल्गोरिथ्म बहुपद ; देखें, उदाहरण के लिए, एक बहन साइट से यह जवाब ।$\vert V \vert$

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, भगवान का नंबर इस व्यास से संबंधित है; एक समूह पर केली ग्राफ के लिए कोने के बीच सबसे लंबा सबसे छोटा रास्ता जानने के लिए, यह जानना पर्याप्त है कि हल किए गए राज्य से कितने कदम दूर है। हम जानते हैं, रोक्कि, सोशामेबा, डेविडसन, और डेथ्रिज, अन्य लोगों के लिए धन्यवाद, कि भगवान की संख्या । उनके द्वारा निष्पादित एल्गोरिदम में बहुपद था , उदाहरण के लिए में बहुपद ।$20$$\vert V\vert$$4.3e{19}$

ग्राफ़ व्यास के लिए हीलिगमैन की क्वांटम एल्गोरिथ्म, टिप्पणियों में उल्लिखित है, जोकिक्स्ट्रा के एल्गोरिदम पर एक ग्रोवर स्पीडअप प्राप्त करता है, " की कुल क्वांटम लागत ।" हालाँकि, मेरा मानना ​​है कि हेइलिगमैन ने ग्राफ को काफी हद तक एन्कोडिंग किया है क्योंकि एक शास्त्रीय एल्गोरिदम होगा; जैसे qubits के साथ। स्पष्ट रूप से अगर तो यह मदद नहीं करेगा।$O(|V|^{9/4})$$O(|V|)$$|V|=4.3e{19}$

इसके बजाय, रुबिक के क्यूब को एनकोड करने का एक अन्य तरीका, जैसा कि अन्य सवालों में संकेत दिया गया है, निश्चित रूप से सभी राज्यों पर एक समान सुपरपोजिशन तैयार करने के लिए है। यह केवल qubits लेता है ।$4.3e{19}$$\log 4.3e{19}$

क्वांटम एल्गोरिदम "eigenvalues" और "eigenvectors" और "eigenstates" के बारे में बात करने में अच्छे हैं। सभी सिंगमास्टर को सभी राज्यों के एक समान सुपरपोजिशन में ले जाने से राज्य में बदलाव नहीं होता है; यानी यूनिफ़ॉर्म सुपरपोज़िशन केली ग्राफ पर मार्कोव श्रृंखला का एक स्वदेशी है।$4.3e{19}$

एक ग्राफ के व्यास और संबंधित आसन्न / लाप्लासियन मैट्रिक्स के eigenvalues ​​/ eigenvectors के बीच संबंध हैं , विशेष रूप से वर्णक्रमीय अंतराल, दो सबसे बड़े eigenvalues ​​( ) के बीच की दूरी । "व्यास eigenvalue" की एक त्वरित Google खोज इसका उत्पादन करती है ; मैं ऐसी ही Google खोजों की खोज करने की सलाह देता हूं।$\lambda_1-\lambda_2$

स्पेक्ट्रल अंतराल वास्तव में एडियाबेटिक एल्गोरिथ्म को सीमित करता है । इस प्रकार, शायद यह जानते हुए कि रुबिक के क्यूब समूह के विभिन्न उपसमूहों / उप-समूहों के लिए एक सुपरबाइक एल्गोरिदम को एक समान सुपरोसिटिटॉन से हल किए गए राज्य में विकसित करने के लिए कितनी तेजी से चलने की आवश्यकता है, कोई वर्णक्रमीय अंतर का अनुमान लगा सकता है, और इसका उपयोग भगवान की संख्या को बाध्य करने के लिए कर सकता है। लेकिन मैं यहां अपनी लीग से जल्दी बाहर हो गया हूं और मुझे संदेह है कि सटीकता की कोई भी भावना प्राप्त करने योग्य है।

Comments

सबसे पहले, उत्कृष्ट उत्तर के लिए धन्यवाद। मुझे वर्णक्रमीय अंतराल और मधुमेह प्रक्रियाओं के बारे में और जानने का बहुत शौक है। क्या आप सबकुबिक ग्राफ़ के बारे में कुछ जानते हैं ? इसके अलावा, क्या आप वास्तविक संख्या (विशिष्ट रूप से अंतराल ) के बारे में कोई जानकारी जानते हैं ? इसके अलावा, क्या आपके पास 2x2 मामले पर कोई विचार है? या nxn मामला ( )? $3<n$

— मेज़ोज़

@meowzz, आपका स्वागत है। मुझे खेद है कि मुझे असली नंबर या सबकुबिक ग्राफ के बारे में कुछ नहीं पता। ऊपर केली ग्राफ घन नहीं है और के संयोजक है मुझे लगता है कि ( चेहरे और एक चौथाई, आधा, या तीन चौथाई चेहरा प्रति चाल)। बारे मामला है, एक ही सोच लागू होता है ... उपाय कब तक एक स्थिरोष्म एल्गोरिथ्म, एक हल राज्य में विकसित के बीच एक रिश्ता उपयोग करने के लिए ले जाता है और करने के लिए बाध्य वर्णक्रमीय खाई, और व्यास बाध्य के बीच संबंध के साथ और ...$18$$6$$n\times n$$\tau_n$$\tau_n$$\lambda_2$$\delta$$\lambda_2$$\delta$

— मार्क एस

उत्तर पढ़ते समय यह अभी तक पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि "क्वांटम दृष्टिकोण के साथ किस प्रकार की गति प्राप्त की जा सकती है?"।

— JanVdA

@JanVdA आपकी टिप्पणी के लिए धन्यवाद। मैंने कभी भी बोल्ड प्रश्न के उत्तर के सभी विवरण जानने का दावा नहीं किया। मैंने केवल उन दृष्टिकोणों पर कुछ प्रतिक्रिया देने की कोशिश की, जो अधिक खोज के लायक हो सकते हैं, और प्रश्न में एक और टिप्पणी को हल्के ढंग से काउंटर करने के लिए भी। साथ ही, कोई व्यक्ति मुझसे ऐसे ही प्रश्न का स्वागत कर रहा था।

— मार्क एस