क्या क्वांटम कंप्यूटर आसानी से रूबिक के क्यूब समूह के मिश्रण समय को निर्धारित कर सकता है?

Question

रुबिक के क्यूब टूर्नामेंट में अधिकारियों ने एक क्यूब को स्क्रब करने के दो अलग-अलग तरीकों का इस्तेमाल किया है। वर्तमान में, वे एक घन अलग तोड़ने के लिए और एक यादृच्छिक क्रम में cubies पुनः $\pi\in G$ रूबिक क्यूब समूह के $G$ । इससे पहले, वे एक यादृच्छिक अनुक्रम लागू होगा $g$ Singmaster चालों के $\langle U,D, F, B, L, R\rangle$ ।

हालांकि, लंबाई $t$ शब्द के $g$ - करने के क्रम में की जरूरत यादृच्छिक चाल की संख्या पूरी तरह से घन ऐसे हाथापाई कि में से प्रत्येक के $\Vert G\Vert=43,252,003,274,489,856,000$ क्रमपरिवर्तन मोटे तौर पर समान रूप से होने की संभावना है घटित होना - वर्तमान में अज्ञात है, लेकिन कम से कम होना चाहिए । यह लंबाई कहा जा सकता है मिश्रण समय रूबिक क्यूब Singmaster चाल द्वारा उत्पन्न समूह के केली ग्राफ पर एक यादृच्छिक चलने के ।$20$$t$$\langle U,D, F, B, L, R\rangle$

एक क्वांटम कंप्यूटर मिश्रण समय का निर्धारण करने के लिए किसी भी लाभ होता है रूबिक क्यूब समूह का?$t$

मुझे लगता है कि हमारे पास सभी ऐसे विन्यासों पर एक समान सुपरपोजिशन के रूप में एक रजिस्टर बनाने के लिए हैडमर्ड चाल के कुछ चतुर अनुक्रम हो सकते हैं ; इस प्रकार के Singmaster चाल के किसी भी क्रम को लागू करने के परिवर्तन नहीं करता है । $\vert A \rangle$$\Vert G\Vert$$\vert A \rangle$$\vert A \rangle$

यदि हमारे पास एक अनुमान$t'$ है कि मिश्रण समय क्या है, तो हम एक और रजिस्टर भी बना सकते हैं | बी ⟩ लंबाई के सभी Singmaster शब्दों की एक वर्दी superposition के रूप में टी ' , और सशर्त एक हल राज्य के लिए ऐसे प्रत्येक शब्द लागू | ए | ⟩ , उम्मीद है कि एक राज्य पाने के लिए | बी ⟩ | एक ⟩ ऐसा है कि, हम उपाय करता है, तो | एक ⟩ , में से प्रत्येक के ‖ जी ‖ विन्यास समान रूप से होने की संभावना मापा जा रहे हैं। अगर टी ' < $t$$\vert B \rangle$$t'$$\vert A'\rangle$$\vert B\rangle \vert A\rangle$$\vert A \rangle$$\Vert G \Vert$$t'\lt t$, तो हम लंबे समय के लिए के केली ग्राफ के साथ नहीं चले थे, और अगर हम मापने के लिए थे | एक ⟩ , विन्यास कि कर रहे हैं "करीब" हल राज्य के लिए और अधिक संभावना होगी। कुछ चतुर फूरियर की तरह पर | बी ⟩ को मापने के लिए कैसे समान रूप से वितरित कर सकता है | एक ⟩ है।$G$$\vert A \rangle$$\vert B \rangle$$\vert A \rangle$

मेरे लिए ऐसा लगता है कि क्वांटम कंप्यूटर कुछ अच्छा हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि समान रूप में सभी शब्दों के द्वारा मिश्रित नहीं किया गया है | बी some , तो कुछ विन्यास दूसरों की तुलना में अधिक होने की संभावना है, उदाहरण के लिए | एक ⟩ अधिक "निरंतर" है; जबकि अगर | एक ⟩ है पूरी तरह से सभी के द्वारा मिश्रित किया गया चलता है, तो | एक ⟩ अधिक "संतुलित" है। लेकिन क्वांटम एल्गोरिदम और मार्कोव श्रृंखला दोनों के बारे में मेरी समझ बहुत मजबूत नहीं है।$\vert A \rangle$$\vert B\rangle$$\vert A \rangle$$\vert A \rangle$ $\vert A \rangle$

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क्वांटम गाँठ सत्यापन समस्या के साथ इस सवाल का विरोध करें।

क्वांटम गाँठ सत्यापन में, एक व्यापारी एक राज्य के रूप में एक क्वांटम सिक्का दिया जाता है सभी गांठों का, जिनमें एक विशेष अशुभ होता है। आदेश मात्रा सिक्का सत्यापित करने के लिए, वह एक मार्कोव श्रृंखला लागू होता है एम संक्रमण के लिए | कश्मीर ⟩ को ही (। यह है कि अगर एक वैध सिक्का) वह इस मार्कोव श्रृंखला लागू करते हैं और कम से कम परिणाम को मापने चाहिए टी बार, लेकिन अन्यथा वह निर्माण करने के लिए कोई तरीका नहीं है | कश्मीर ⟩ उस पर स्वामित्व है (ऐसा न हो कि वह सिक्का बना सकता है।) तो अगर वह एक वैध सिक्का दिया है, वह एक राज्य दिया है कि वह पर उसके ही पैदा नहीं कर सकते , एक मैट्रिक्स के रूप में एक मार्कोव श्रृंखला के साथ साथ $\vert K \rangle$$M$$\vert K \rangle$$t$$\vert K \rangle$$M$, और वह निश्चित रूप से मिश्रण समय जानता है ; वह परीक्षण करना आवश्यक है | K valid वैध है।$t$$\vert K \rangle$

वर्तमान प्रश्न में, यह उत्पन्न करना बहुत आसान है सभी रूबिक क्यूब क्रमपरिवर्तन के आर सी all । मार्कोव श्रृंखला के अनुरूप क्वांटम सर्किट, इसे S कहते हैं , सिंगमास्टर चालों में से, संभवतः निर्माण के लिए भी बहुत आसान है। हालांकि, मिश्रण समय टी अज्ञात है, और निर्धारित करने के लिए एक चीज है।$\vert RC \rangle$$S$$t$

Answer 1

यह एक दिलचस्प सवाल है जो सबसे बेहतर है "क्या एक्स के लिए एक क्वांटम एल्गोरिथ्म है?" प्रशन। मुझे मौजूदा क्वांटम एल्गोरिथ्म का पता नहीं है। मुझे लगता है कि मुझे लगता है कि एक विशिष्ट पहला प्रयास क्या होगा, और यह क्यों विफल रहता है। अंत में मैं कुछ चीजों का वर्णन करूँगा जो कुछ सुधारों को जन्म दे सकती हैं।

पहले एक एल्गोरिथम पर प्रयास करें

मान लीजिए कि मैं एक विशेष मिश्रण समय का परीक्षण करना चाहता हूं । मैं एक रजिस्टर बनाने जा रहा हूं, आर सी में रूबिक के क्यूब के किसी भी संभव विन्यास को रखने के लिए पर्याप्त कार्यक्षेत्र है। इस की प्रारंभिक स्थिति एक उत्पाद राज्य है जो घन की प्रारंभिक अवस्था से मेल खाती है।$t$$RC$

फिर मैं ancilla रजिस्टर, A 1 से A t बनाने जा रहा हूं । इनमें से प्रत्येक एक ही आकार है जितना संभव सिंगमास्टर की संख्या है, और सभी संभव आधार तत्वों में एक समान सुपरपोजिशन के रूप में तैयार किया गया है। फिर प्रत्येक i = 1 , … t के लिए , हम A i से R C तक एक नियंत्रित-एकात्मक लागू करते हैं, जहां रजिस्टर A i निर्दिष्ट करता है कि कौन सा Singmaster चाल R C पर लागू है ।$t$$A_1$$A_t$$i=1,\ldots t$$A_i$$RC$$A_i$$RC$

इस सब के बाद, अगर हम सिर्फ , तो यह अधिकतम मिश्रित स्थिति में होना चाहिए अगर मिश्रण वांछित के रूप में हुआ है। समस्या यह है कि यह परीक्षण किया जाए कि यह आउटपुट अधिकतम मिश्रित स्थिति है या नहीं। इस तरह के रूप में उपयोगी तकनीकें हैं , लेकिन हमें किस सटीकता की आवश्यकता है (यानी कितने पुनरावृत्ति?)। हमें इसकी आवश्यकता होगी | ए | टी सुनिश्चित करने के लिए, मुझे लगता है।$RC$$|A|^t$

वास्तव में, काम करने के इस तरह से सिर्फ बुरा के रूप में यह प्रतिष्ठित कर दी गई है: आप में से प्रत्येक की प्रारंभिक अवस्था बदल सकते के साथ मैं / 2 | A i | और यह परिणाम नहीं बदलेगा। लेकिन यह वास्तव में हर बार एक यादृच्छिक विकल्प बनाने और कई बार चलाने की तरह है, सही आउटपुट वितरण के लिए जाँच कर रहा है।$A_i$$\mathbb{I}/2^{|A_i|}$

संभव सुधार

• जैसा कि मैंने बताया, आउटपुट घनत्व मैट्रिक्स ( R C पर ) विकर्ण होना चाहिए। इसका मतलब है कि समान सुपरपोजिशन | सभी आधारों पर u st स्टेट्स है और तभी अगर सिस्टम को अधिकतम रूप से मिश्रित किया जाता है। मैं चाहूंगा कि कोई इस अवलोकन को किसी प्रकार के आयाम प्रवर्धन के साथ मिला कर एक हल्का गति प्राप्त कर सके। ध्यान दें कि ρ k | u up बहुत तेजी से एक अंतर बनाता है | यू ctor अगर राज्य एक स्वदेशी नहीं है।$\rho$$RC$$|u\rangle$$\rho^k|u\rangle$$|u\rangle$

• उस के अलावा, आप शायद ancilla रजिस्टरों के साथ कुछ चालाक करने की जरूरत है। कुछ आशा है कि यह संभव हो सकता है क्योंकि रूबिक के घन के लिए निर्मित समूह संरचना का काफी हिस्सा है। एक चीज जो आप आजमा सकते हैं, वह यह है कि क्या आप सभी ancilla रजिस्टरों को एक ही रजिस्टर से बदल सकते हैं , नियंत्रित-यूनिटरीज के प्रत्येक दौर के बीच रजिस्टर के हर क्वैश्चन पर Hadmard गेट्स लगा सकते हैं। यह हो सकता है कि यह सब आपको मेरे मूल सुझाव की तुलना में क्विट की संख्या के संदर्भ में एक दक्षता बचत दे। यह भी नहीं हो सकता है।$t$

चाहे वे दोनों सीधे काम करते हों, मुझे नहीं पता। फिर भी, मुझे लगता है कि मुख्य सिद्धांत कुछ उपयोगी समूह संरचना को खोजने के लिए हैं, और एक ऐसा तरीका खोजना है जिससे आयाम प्रवर्धन लागू किया जा सके।

आपको एकात्मक डिजाइनों के बारे में पढ़ना उपयोगी हो सकता है । यह निश्चित रूप से एक अलग समस्या है कि हम यहां किस बारे में बात कर रहे हैं, लेकिन कुछ तकनीकी उपकरण उपयोगी हो सकते हैं। मोटे तौर पर, विचार यह है कि एक इकाई का एक समूह एक t -design है यदि इन इकाईयों का यादृच्छिक अनुप्रयोग किसी एक को सही मायने में यादृच्छिक एकात्मक (Haar माप से खींचा गया) को आउटपुट कार्यों f पर अनुकरण करने देता है जो एक टेलर का उपयोग करके विस्तारित किया जाता है श्रृंखला, डिग्री टी तक सटीक हैं । यहाँ अनुमानित संबंध यह है कि यदि आप टी सिंगमास्टर के अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करने वाली इकाइयों को { यू } के रूप में ले जाते हैं$\{U\}$$t$$f$$t$$t$$\{U\}$, यह पर्याप्त होगा यदि यह सेट 2-डिज़ाइन वाला था (यदि आपको सही है, तो आप कर रहे हैं)।$\text{Tr}(\rho^2)$

Comments

लेकिन क्या यह मिश्रित होने पर आपको हमेशा परीक्षण करने की आवश्यकता है? यह सुनिश्चित करने के लिए एक बार सहायक हो सकता है कि आपकी प्रक्रिया काम करती है, लेकिन हर बार इसकी आवश्यकता नहीं है, है ना?

— स्टीवन सगोना

लेकिन यह एल्गोरिथम का पूरा बिंदु है! आप यह निर्धारित करना चाहते हैं कि, चुने हुए , सिस्टम अधिकतम रूप से मिश्रित है। यदि हाँ, कि टी एक ऊपरी मिश्रण समय पर बाध्य है। $t$$t$

— DaftWullie

क्षमा करें, मैंने प्रश्न को गलत बताया; मैंने सोचा कि यह देख रहा था कि क्या आप समय निकालकर स्पीडअप करते हैं।

— स्टीवन सगोना

मुझे लगता है कि आप सही हैं कि "मुख्य सिद्धांत कुछ उपयोगी समूह संरचना को खोजने के लिए हैं, और एक ऐसा तरीका खोजना है जिससे आयाम प्रवर्धन लागू किया जा सके।" रुबिक का घन समूह प्रसिद्ध ग़ैर-बराबरी वाला है (अन्यथा यह एक पहेली की तरह कठिन नहीं होगा), इस प्रकार संभवतः एचएसपी के किसी भी साहित्य के साथ कोई मदद नहीं करता है; हालाँकि, समूह का बहुत अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है ।

— मार्क एस

Answer 2

(सीडब्ल्यू स्व-उत्तर से प्रतिनिधि से बचने के लिए)

वहाँ हो सकता है एक इंटरैक्टिव तरीका दो पक्षों के मूल्य पर में संकीर्ण करने के लिए हो सकता है , पर @ DaftWullie के जवाब और @Steven Sagona की टिप्पणी निम्नलिखित। मेरी औपचारिकता खराब है, लेकिन मुझे आशा है कि इस विचार के माध्यम से ...$t$

उदाहरण के लिए, दो पार्टियों को ऐलिस और बॉब कहें। पार्टियों को सहयोग करना है, और प्रोटोकॉल के अनुसार ईमानदारी से व्यवहार करना है।

ऐलिस दो राज्य तैयार करना जानता है, और | एक 1 ⟩ । यहाँ | एक 0 ⟩ सभी रूबिक क्यूब संयोजन से अधिक वर्दी superposition है, और | ए $\vert A_0 \rangle$$\vert A_1 \rangle$$\vert A_0\rangle$ कुछ अन्य बंदर राज्य है जिसमें समान संख्या में बटेर होते हैं (जैसे कि सुलझे हुए रूबिक के घन से संबंधित राज्य, या जी के कुछ बड़े उपसमूह पर एक समान सुपरपोजिशन)। बॉबजानता है कि एक मैट्रिक्स एम को क्वांटम राज्य मेंकैसे लागू किया जाए, जहां$\vert A_1\rangle$$G$$M$$M$ सभी सिंगमास्टर चालों के एकल चरण से मेल खाती है (जहां उपयुक्त हो एंकिलस के साथ)

एलिस और बॉब मिश्रण समय दिखाना चाहते हैं Singmaster चाल के तहत रूबिक क्यूब समूह के अधिक से अधिक है आर । ऐलिस और बॉब निम्नलिखित दोहराने रों बार।$t$$r$$s$

1. ऐलिस एक सिक्का उछालता , और प्रदान करता है | एक मैं ⟩ बॉब के लिए$i\in\{0,1\}$$\vert A_i \rangle$
2. बॉब दोहराता $r$ बार लागू करने के लिए के लिए | एक i and , और हर बार प्रोजेक्टर को मापता है।$M$$\vert A_i \rangle$
3. यदि प्रत्येक आर पुनरावृत्तियों के लिए प्रोजेक्टर , तो बॉब कहता है कि i = 0 । अगर प्रोजेक्टर नहीं है$1$$r$$i=0$ के कम से कम एक के लिए आर पुनरावृत्तियों, तो बॉब कहते हैं ऐलिस है कि मैं = 1 ।$1$$r$$i=1$

अगर , तो बॉब से प्रत्येक आर पुनरावृत्तियों चरण में 2 परिवर्तन नहीं करता है | एक 0 ⟩ - क्योंकि परिभाषा के द्वारा | एक 0 ⟩ बॉब की मैट्रिक्स के eigenstate है, और बॉब की मैट्रिक्स सिर्फ आपस में राज्यों permutes। अगर मैं = 1 , तो बंदर राज्य | ए $i=0$$r$$\vert A_0\rangle$$\vert A_0 \rangle$$i=1$ हैनहींबॉब प्रोजेक्टर के एक eigenstate, और संभावना है कि एक 1 मापा नहीं की जाएगी साथ तेजी से बढ़ता है आर । $\vert A_1 \rangle$$1$$r$

इस प्रकार, यदि बॉब सही रूप में भविष्यवाणी की थी $i$ के लिए पुनरावृत्तियों, सफलता की संभावना तेजी से बढ़ता है रों , और बलबीर के आर बड़ा पर्याप्त एक बंदर राज्य से एक वैध रूबिक क्यूब राज्य भेद करने के लिए है।$s$$s$$r$

मैं नहीं जानता कि कितनी दूर है $\vert A_1\rangle$ से हो गया है । मुझे यह भी नहीं पता कि क्या बातचीत को हटाया जा सकता है।$\vert A_0\rangle$

Answer 3

शुरू में आइए कुछ रजिस्टरों और ऑपरेटरों पर विचार करें।

1. रजिस्टर $\vert A\rangle$, जो घन के राज्यों के सुपरपोजिशन को घेरता है (उदाहरण के लिए घन$G$ का क्रमचय);
2. ऑपरेटर $U$ , जिस पर कार्य करता है $\vert A\rangle$ को मैप करने के लिए $\vert 00\cdots 0\rangle$ सब कुछ खत्म हो वर्दी superposition के $\Vert G\Vert$ राज्यों;
3. रजिस्टर $\vert B\rangle=\vert b_1\rangle\vert b_2\rangle\cdots\vert b_k\rangle$ , जो सिंगमास्टर के सेट के सुपरपोज़िशन को एन्कोड करता है, एक दिए गए स्थान पर लागू किया जाता है (जैसे, लंबाई $k$ के सिंगमास्टर के शब्दों के सुपरपोज़िशन );
4. संचालक $V$ और $V^{-1}$ , जो कार्य करते हैं $\vert B\rangle$ सब-0 के ket मैप करने के लिए $\vert 00\cdots 0\rangle$ लंबाई के (और इसके विपरीत) के सिंगमास्टर चाल के सभी $18^k$ शब्दों के समान सुपरपोज़िशन के लिए ; तथा$k$
5. (नियंत्रित) ऑपरेटर $W$ , Singmaster कदम लागू होता है $b$ किसी दिए गए घन स्थिति के लिए करने के लिए।

अगर $\vert A\rangle$ के सभी तत्वों से अधिक वर्दी superposition में है $G$ , फिर $\vert A\rangle$ के eigenstate में है $W$ , और बार-बार आवेदन पत्र $W$ वापस प्रभावित करने के लिए नहीं निकाला जाएगा $\vert B\rangle$ ।

अर्थात, $V^{-1}$ वापस आ जाना चाहिए $\vert B\rangle$ उपरोक्त सर्किट में ऑल- जीरो किट के लिए $\vert 00\cdots 0\rangle$ ।

हालाँकि , जैसा कि @DaftWullie ने उल्लेख किया है, यदि $\vert u\rangle$ एक स्वदेशी में नहीं है, तो एक अंतर $\vert u \rangle$ और $\rho^k \vert u\rangle$ बनाता हैबहुत तेजी से- मेरा मानना है कि एक जिस गति से इस अंतर को बनाता है निर्भर करता हैठीकब्याज की ऑपरेटर के मिश्रण गुणों पर।

इस प्रकार, यदि हम एक राज्य तैयार करने में सक्षम हैं $\vert A\rangle$ कि है परेशान समान वितरण से, ऐसा है कि $\vert A\rangle$ एक eigenstate नहीं है, की फिर दोहराया अनुप्रयोगों $W$ जाएगा तेजी से एक अंतर बनाने, और $V^{-1}\vert B\rangle$ ket नहीं हो सकता है।

यदि हमारे पास एक फ़ंक्शन $F$ अभिनय है $\vert A\rangle$ और एक उत्तर क्वेट $\vert C\rangle$ जो निर्धारित करता है, कहते हैं, कि कुछ हैश $\{0,1\}^{\log_2 \Vert G\Vert}\mapsto (0,1)$$\delta$$F$$\vert A\rangle$$V^{-1}\vert B\rangle$ ऑल-जीरो केट को पढ़ें, और इसके बजाय ऑल-जीरो केट से एक तरह से केवल इसके आधार पर विचलन करेंगे $\delta$

$\vert B\rangle$$\vert 00000\cdots000101101\rangle$$1$$\delta$ ।