क्वांटम राज्य इकाई वैक्टर हैं ... किस आदर्श के संबंध में हैं?

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क्वांटम राज्य की सबसे सामान्य परिभाषा मुझे मिली ( विकिपीडिया से परिभाषा को फिर से परिभाषित करते हुए )

क्वांटम राज्यों का प्रतिनिधित्व एक किरण द्वारा परिमित- या अनंत-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष में जटिल संख्याओं पर किया जाता है।

इसके अलावा, हम जानते हैं कि एक उपयोगी प्रतिनिधित्व करने के लिए हमें यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि क्वांटम राज्य का प्रतिनिधित्व करने वाला वेक्टर एक इकाई वेक्टर है ।

लेकिन ऊपर की परिभाषा में, वे माना जाता है कि हिल्बर्ट अंतरिक्ष से जुड़े आदर्श (या अदिश उत्पाद) को सटीक नहीं करते हैं। पहली नज़र में, हालाँकि मैं आदर्श वास्तव में महत्वपूर्ण नहीं था, लेकिन मुझे कल एहसास हुआ कि आदर्श को हर जगह यूक्लिडियन मानदंड (2-मानक) चुना गया था। यहां तक कि ब्रा-केट नोटेशन विशेष रूप से यूक्लिडियन मानदंड के लिए बनाया गया लगता है।

मेरा प्रश्न: यूक्लिडियन मानदंड का उपयोग हर जगह क्यों किया जाता है? दूसरे मानदंड का उपयोग क्यों नहीं किया जा रहा है? क्या यूक्लिडियन मानदंड में उपयोगी गुण हैं जिनका उपयोग क्वांटम यांत्रिकी में किया जा सकता है जो अन्य नहीं करते हैं?

— Nelimee
स्रोत

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वास्तव में मैं सिर्फ एक टिप्पणी जोड़ना चाहता था, लेकिन मेरे पास इसके लिए प्रतिष्ठा नहीं है: ध्यान दें, जैसा कि आप अपने प्रश्न में लिखते हैं - हिल्बर्ट अंतरिक्ष में क्वांटम राज्य किरणें हैं। इसका मतलब है कि वे सामान्यीकृत नहीं हैं, बल्कि हिल्बर्ट अंतरिक्ष में सभी वैक्टर जो एक ही दिशा में इंगित करते हैं, समान हैं। सामान्यीकृत राज्यों के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है लेकिन भौतिकी वास्तव में एक दूसरे के साथ राज्यों के ओवरलैप में छिपी हुई है। यह इस कारण से है कि राज्य की परिभाषा में कोई आदर्श मौजूद नहीं है।

— ओमरी हर-शेमेश

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बॉर्न के नियम में कहा गया है कि जो राज्य में क्वांटम सिस्टम को खोजने की संभावना है । माप के बाद । हम भर में योग (या अभिन्न) की जरूरत है 1 होने के लिए: $|\psi(x)|^2 = P(x)$ $|x\rangle$ $x$

\begin{aligned} \sum_{x} P_{x} & = \sum_{x} | ψ_{x} |^{2} = 1, \\ \int P (x) d x & = \int | ψ (x) |^{2} d x = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sum_x P_x &= \sum_x |\psi_x|^2 = 1,\\ \int P(x)dx &= \int |\psi(x)|^2 dx= 1. \end{align}$

इनमें से कोई भी वैध मानदंड नहीं हैं क्योंकि वे समरूप नहीं हैं । आप बस वर्गमूल कर उन्हें समरूप बना सकते हैं:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} | ψ_{x} |^{2}} = 1, \\ \sqrt{\int | ψ (x) |^{2} d x} = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x |\psi_x|^2} = 1,\\ \sqrt{\int |\psi(x)|^2dx} = 1. \end{align}$

और आप इसे यूक्लिडियन मानदंड और गैर-असतत डोमेन को यूक्लिडियन मानदंड के सामान्यीकरण के रूप में पहचान सकते हैं। हम भी एक अलग आदर्श का उपयोग कर सकते हैं:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} ψ_{x} A ψ_{x}^{*}} = 1, \\ \sqrt{\int ψ (x) A ψ^{*} (x)} = 1, \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x \psi_x A \psi_x^*} = 1,\\ \sqrt{\int \psi(x)A\psi^*(x)} = 1, \end{align}$

कुछ सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स / फ़ंक्शन ए के लिए।

हालांकि एकके साथ -normक्योंकि उदाहरण के लिए उपयोगी के रूप में नहीं होगा: $p$ $p>2$

\begin{aligned} \sqrt[5]{\sum_{x} | ψ_{x} |^{5}} \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt[5]{\sum_x |\psi_x|^5} \\ \end{align}$

1 होना जरूरी नहीं है।

इस तरह यूक्लिडियन मानदंड विशेष है क्योंकि 2, बॉर्न के शासन में शक्ति है, जो क्वांटिक यांत्रिकी के पोस्टुलेट्स में से एक है।

— user1271772
स्रोत

यह उत्तर @ DaftWullie's पर मेरी टिप्पणी से संबंधित है । तो यूक्लिडियन मानदंड का उपयोग किया जाता है क्योंकि माप का संकेत हमें बताता है कि यह एकमात्र norm है जो वैध है?

p

$p$

— नेल्लीमे १३'१

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यह एकमात्र पी-आदर्श है जो सार्थक है। हम चाहते हैं कि संभावनाओं का योग 1 हो (जो कि गणित का एक नियम है) और संभाव्यता को वेवफंक्शन के वर्ग द्वारा परिभाषित किया गया है (जो कि बॉर्न के नियम नामक क्वांटम यांत्रिकी का एक संकेत है)।

— user1271772

@Nelimee: चैट पर आपके संदेश के लिए धन्यवाद। मैं उत्तर नहीं दे सकता क्योंकि मुझे 2 दिनों के लिए चैट से प्रतिबंधित कर दिया गया है। पहले उत्तर का कारण था क्योंकि मैंने आपके प्रश्नों को पढ़ा "यूक्लिडियन मानदंड का उपयोग हर जगह क्यों किया जाता है? एक अन्य आदर्श का उपयोग क्यों नहीं किया जाता है?" और तुरंत एक ऐसा मामला माना जाता है जहां एक वैध मानदंड यूक्लिडियन मानदंड नहीं है, लेकिन एक अलग 2-आदर्श है, जो चर के गैर-असतत सेट पर 2-मानक है। मुझे लगा कि यह समझाने के लिए पर्याप्त है कि यूक्लिडियन मानदंड केवल मान्य मानदंड नहीं है, और यूक्लिडियन मानदंड का उपयोग तब क्यों किया जाता है। लेकिन जब मैंने देखा कि दफ्तुवली को उठाव मिला और मैंने नहीं किया, मैंने

— user1271772

2

तो आपका जवाब "बोर्न के नियम के कारण" है? क्या यह सवाल नहीं उठता कि "बॉर्न का नियम 2 की शक्ति का उपयोग क्यों करता है?"

— डेफ्तावली जूल

1

लगता है जैसे "पहले क्या आया, मुर्गी या अंडा?" मामला।

— user1271772

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कुछ शब्दावली यहाँ थोड़ी गड़बड़ लगती है। क्वांटम राज्यों का प्रतिनिधित्व किया जाता है (एक परिमित आयामी हिल्बर्ट स्थान के भीतर) लंबाई 1 के जटिल वैक्टर द्वारा, जहां लंबाई यूक्लिडियन मानदंड द्वारा मापी जाती है। वे एकात्मक नहीं हैं, क्योंकि एकात्मक एक मैट्रिक्स का एक वर्गीकरण है, न कि एक वेक्टर।

क्वांटम अवस्थाएँ कुछ मैट्रिक्स के अनुसार परिवर्तित / विकसित होती हैं। यह देखते हुए कि क्वांटम राज्यों की लंबाई 1 है, यह आवश्यक और पर्याप्त हो जाता है कि शुद्ध राज्यों को शुद्ध राज्यों के नक्शे एकात्मक मैट्रिस द्वारा वर्णित किए जाते हैं। ये एकमात्र ऐसे मेट्रिस हैं जो (यूक्लिडियन) मानदंड को संरक्षित करते हैं।

यह निश्चित रूप से एक वैध प्रश्न है "क्या हम अपने क्वांटम राज्यों के लिए एक अलग ( ) मानदंड का उपयोग कर सकते हैं?" यदि आप तब परिचालन को वर्गीकृत करते हैं जो सामान्यीकृत राज्यों को सामान्यीकृत राज्यों का नक्शा बनाते हैं, तो वे अविश्वसनीय रूप से सीमित हैं। यदि , केवल मान्य संचालन ही क्रमपरिवर्तन मेट्रिसेस (प्रत्येक तत्व पर अलग-अलग चरणों के साथ) हैं। भौतिकी पूरी तरह से अधिक उबाऊ होगी। $p$ $p\neq 2$

इसके लिए एक अच्छा तरीका यह है कि कुल्हाड़ियों के 2 डी सेट को खींचने की कोशिश करें। विभिन्न -norms के तहत लंबाई 1 के बिंदुओं के सेट के अनुरूप आकृतियाँ इस पर बनाएँ। आपको चक्र देता है, आपको एक हीरा देता है, और एक वर्ग देता है। आप उस नक्शे को अपने आप से क्या कार्य कर सकते हैं? सर्कल के लिए, यह किसी भी रोटेशन है। किसी और चीज़ के लिए, यह सिर्फ गुणकों से घूमता है । निम्नलिखित विकिपीडिया से आता है: $p$ $p=2$ $p=1$ $p\rightarrow\infty$ $\pi/2$

यदि आप अधिक विवरण चाहते हैं, तो आप यहां देखना चाहते हैं ।

— DaftWullie
स्रोत

पारिभाषिक शब्दावली के लिए धन्यवाद! आप सही हैं, मैंने शर्तों का दुरुपयोग किया है।

— नेल्लीमे

हालांकि यह सवाल ठीक है कि जब तक आप "यूनिट वेक्टर" द्वारा "एकात्मक" की जगह

— लेते हैं

लेकिन यह उत्तर इस बात का जवाब नहीं देता है कि हम यूक्लिडियन मानदंड का उपयोग क्यों करते हैं। मैं समझ गया कि अन्य मानदंड सुविधाजनक नहीं हैं, लेकिन हमारे पास वास्तव में भौतिकी कानूनों के भीतर "सुविधाजनक" पर नियंत्रण नहीं है और क्या नहीं है, क्या हम करते हैं?

— नेल्लीमे

@ नीलिम यह असुविधाजनक नहीं है। यह है कि यदि आप 2-मानक का उपयोग नहीं करते हैं तो बहुत सारे ऑपरेशन मौजूद नहीं हैं। संचालन जैसे कि वर्ग-मूल नहीं, जिसे हम बाहर जा सकते हैं, एक प्रयोग कर सकते हैं, और देख सकते हैं। ताकि 2-मानदंडों को छोड़कर सब कुछ बाहर हो जाए

— DaftWullie

1

सभी भौतिकी के साथ के रूप में! सभी सिद्धांत वे हैं, जो सिद्धांत उपलब्ध आंकड़ों को सबसे उपयुक्त मानते हैं।

— DaftWullie

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गणितीय रूप से, क्योंकि साथ मानदंड केवल लिए एक हिल्बर्ट स्थान है । $\mathbb{R}^n$ $L^p$ $p=2$

— फेडेरिको पोलोनी
स्रोत

मैंने आपके उत्तर (जो QCSE के लिए एक महान पहला उत्तर है!) को उकेर दिया है, लेकिन क्या इसका 2-आदर्श होना जरूरी है? आप कह रहे हैं कि 1-मानदंड और 3-मान अमान्य हैं, लेकिन मेरे उत्तर में आदर्श के बारे में क्या है, जो 2-मानक का वर्ग है?

— user1271772

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@ user1271772 धन्यवाद! अगर मैं सही ढंग से समझूं, तो आपके द्वारा सुझाया गया फ़ंक्शन भी एक वेक्टर मानक नहीं है क्योंकि यह सजातीय नहीं है।

— फेडेरिको पोलोनी जू

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वैसे भी, जो आप सुझाव देते हैं वह सच है: कोई एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष संरचना का निर्माण कर सकता है, जो मानदंड से भिन्न है (हालांकि 2-मान के स्थान पर मानदण्ड के साथ नहीं )। सबसे सरल उदाहरण है: किसी भी सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स और मानदंड लें ।

L^{2}

$L^2$

L^{p}

$L^p$

A

$A$

‖ x ‖_{A} := \sqrt{x^{*} A x}

$\|x\|_A:=\sqrt{x^*Ax}$

— फेडेरिको पोलोनी जू

यह साथ सकारात्मक समरूप है , इसे साथ क्यों होना चाहिए ?

k = 2

$k=2$

k = 1

$k=1$

— user1271772

@ user1271772 परिभाषा में एक आवश्यकता है। वेक्टर मानदंडों के स्वयंसिद्धों में से एक 2. पी (एवी) = | ए | पी (वी) (बिल्कुल सजातीय या बिल्कुल स्केलेबल होने के नाते) (जांच, एक त्वरित संदर्भ के लिए, कि विकिपीडिया पृष्ठ मैंने ऊपर लिंक किया है)। बेशक, यह सिर्फ एक तर्कशास्त्रीय तर्क है "क्योंकि यह उस तरह से परिभाषित किया गया है", और मैं समझता हूं कि भौतिक विज्ञानी अधिक भौतिक कारण चाहते हैं।

k = 1

$k=1$

— फेडरिको पोलोनी

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एक सुरुचिपूर्ण तर्क यह पूछकर प्राप्त किया जा सकता है कि हम कौन से सिद्धांत बना सकते हैं जो वैक्टर द्वारा वर्णित हैं , जहाँ अनुमत परिवर्तन रैखिक नक्शे , संभावनाएँ हैं कुछ मानदंडों, और संभावनाओं द्वारा दिए गए उन मानचित्रों द्वारा संरक्षित किए जाने चाहिए। $\vec v = (v_1,\dots,v_N)$ $\vec v\to L\vec v$

यह पता चला है कि मूल रूप से केवल तीन विकल्प हैं:

नियत सिद्धांत। फिर हमें उन वैक्टरों की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि हम हमेशा एक विशिष्ट स्थिति में होते हैं, अर्थात वैक्टर और इसी तरह के होते हैं, और के केवल क्रमपरिवर्तन होते हैं। $(0,1,0,0,0)$ $L$
शास्त्रीय संभाव्य सिद्धांत। यहां, हम -norm और stochastic मैप्स का उपयोग करते हैं । संभावनाओं कर रहे हैं। $1$ $v_i$
क्वांटम यांत्रिकी। यहां, हम -norm और एकात्मक परिवर्तनों का उपयोग करते हैं । आयाम हैं। $2$ $v_i$

ये ही संभावनाएं हैं। अन्य मानदंडों के लिए कोई दिलचस्प परिवर्तन मौजूद नहीं है।

यदि आप इस बारे में अधिक विस्तृत और अच्छी व्याख्या चाहते हैं, तो स्कॉट आरोनसन की "क्वांटम कम्प्यूटिंग चूंकि डेमोक्रिटस" में इस पर एक व्याख्यान है , साथ ही एक पेपर भी है ।

— नॉर्बर्ट शुच
स्रोत

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अन्य उत्तर पता क्यों के संदर्भ में जिसका उपयोग करने के लिए स्थान है, लेकिन भार नहीं। $p=2$ $L^p$

आप एक हर्मिटियन सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स में डाल सकते हैं ताकि आंतरिक उत्पाद । लेकिन इससे आपको ज्यादा फायदा नहीं होता है। इसका कारण यह है कि आप परिवर्तनशील चर भी हो सकते हैं। आसानी के लिए, उस मामले पर विचार करें जब विकर्ण है। विकर्ण के मामले में जो व्याख्या करेगा, बजाय की संभावना के रूप में । तो क्यों न केवल चर को । आप इसे के स्थान पर फ़ंक्शन के रूप में सोच सकते हैं जहां प्रत्येक बिंदु द्वारा भारित होता है । $M_{ij}$ $\sum x_i^* M_{ij} y_j$ $M$ $M_{ii} \mid x_i \mid^2$ $\mid x_i \mid^2$ $M_{ii}>0$ $\tilde{x}_i = \sqrt{M_{ii}} x_i$ $L^2$ $n$ $M_{ii}$

निरंतर 1 चर मामले के लिए, हाँ आप भी उपयोग कर सकते हैं । केवल लंबाई को बताता है। यह अभी भी एक अच्छा हिल्बर्ट स्थान है। लेकिन समस्या यह है कि अनुवाद को एक समरूपता माना जाता था और तोड़ता है। तो शायद उपयोग न करें । कुछ उद्देश्यों के लिए, वह समरूपता मौजूद नहीं है, इसलिए आपके पास एक । $L^2 (\mathbb{R} , w(x) dx)$ $w(x)$ $x \to x+a$ $w(x)$ $w(x)$ $w(x) \neq 1$

कुछ मामलों में यह मानक रूप में स्थानांतरित नहीं होने के लिए उपयोगी है। यह चारों ओर फेरबदल करता है कि आप कुछ गणना कैसे करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप कुछ संख्याएँ कर रहे हैं, तो आप इस तरह के फेरबदल के द्वारा अपनी त्रुटियों को कम कर सकते हैं कि वास्तव में छोटी या बड़ी संख्या में आपकी मशीन मुश्किल से बचती है।

एक मुश्किल बात यह है कि आप यह सुनिश्चित करते हैं कि आपने कब अपने चर बदले और कब नहीं। आप मानक आंतरिक उत्पाद को बदलने के बीच भ्रमित नहीं होना चाहते हैं, कुछ एकात्मक और परिवर्तनशील चर बनाम एक चरण में करने की कोशिश कर रहे हैं। आपसे गलती से आदि कारकों को छोड़ने की संभावना है , इसलिए सावधान रहें। $\sqrt{M_{ii}}$

— AHusain
स्रोत

-1

-डायमेंशनल स्पेस पर यूक्लिडियन मानदंड , जैसा कि यहां परिभाषित किया गया है , क्वांटम राज्यों के लिए उपयोग किया जाने वाला एकमात्र मानक नहीं है। $n$

एक क्वांटम राज्य को एक एन-आयामी हिल्बर्ट स्थान पर परिभाषित नहीं करना पड़ता है, उदाहरण के लिए 1 डी हार्मोनिक थरथरानवाला के लिए क्वांटम राज्य कार्य जिनके ऑर्थो-सामान्यता द्वारा परिभाषित किया गया है: $\psi_i(x)$

\int ψ_{i} (x) ψ_{j}^{*} (x) d x .

$\int \psi_i(x)\psi_j^*(x)dx.$

अगर हमें मिलता है: $i=j$

\int | ψ (x) |^{2} d x = \int P (x) d x = 1,

$\int |\psi(x)|^2dx = \int P(x)dx = 1,$

क्योंकि कुल संभावना 1 होनी चाहिए।
यदि , हमें 0 मिलता है, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन ऑर्थोगोनल हैं। $i\ne j$

यूक्लिडियन मानदंड, जैसा कि मैंने दिए गए लिंक में परिभाषित किया है, असतत चर पर क्वांटम राज्यों के लिए अधिक है जहां कुछ गणना संख्या है। उपरोक्त मामले में, (जो संभावित मानों की संख्या है कि हो सकता है) अगणनीय, इसलिए आदर्श एक पर एक इयूक्लिडियन आदर्श के लिए दिए गए परिभाषा में फिट नहीं बैठता है आयामी गति। $n$ $n$ $x$ $n$

हम उपरोक्त मानदंड में एक वर्गाकार रूट ऑपरेटर भी लगा सकते हैं, और फिर भी हमारे पास आवश्यक संपत्ति होगी कि , और यूक्लिडियन मानदंड को इस मानदंड के विशेष मामले के रूप में माना जा सकता है , उस स्थिति के लिए जहां को केवल कुछ गणनीय मानों से चुना जा सकता है। क्वांटम यांत्रिकी में उपरोक्त मानदंड का उपयोग करने का कारण यह है कि यह गारंटी देता है कि प्रायिकता फ़ंक्शन 1 से एकीकृत है, जो कि संभाव्यता की परिभाषा के आधार पर एक गणितीय कानून है। यदि आपके पास कुछ अन्य मानदंड हैं जो गारंटी दे सकते हैं कि संभाव्यता सिद्धांत के सभी कानून संतुष्ट हैं, तो आप उस मानदंड का भी उपयोग कर पाएंगे। $\int P(x)dx=1$ $x$ $P(x)$

— user1271772
स्रोत

@ नीलिम: मैं आपके चैट संदेश का जवाब नहीं दे सकता "मुझे 0 वोटों के साथ आपके उत्तर की बात नहीं मिली" क्योंकि मुझे 2 और दिनों के लिए चैट करने पर प्रतिबंध है, लेकिन इस उत्तर का कौन सा हिस्सा आपको नहीं मिलता है?

— user1271772

@ नीलिमे? मैं अब -1 पर हूं इसलिए यह जानना कि कौन सा हिस्सा अस्पष्ट है

— user1271772

आप जो लिखते हैं वह अनंत आयामों में सिर्फ यूक्लिडियन मानदंड है। आपका कथन "एन-डायमेंशनल स्पेस पर यूक्लिडियन मानदंड, जैसा कि यहां परिभाषित किया गया है, क्वांटम राज्यों के लिए उपयोग किया जाने वाला एकमात्र मानदंड नहीं है।" गलत होने की हद तक भ्रामक है।

— नोर्बर्ट शुच

@Norbert। (1) यह यूक्लिडियन मानदंड का वर्ग है। (२) यहाँ यह असीमित रूप से अनंत है। यह अब अनंत n के लिए भी n-आयामी नहीं है।

— user1271772

@ (1) ऐसा इसलिए है क्योंकि आप वर्गमूल लगाना भूल गए हैं। इसके अलावा, का वर्गमूल है । (२) यह सच नहीं है। , उस मानदंड के साथ मानकीकृत कार्यों का स्थान, एक अलग करने योग्य स्थान है, अर्थात इसका एक अनगिनत अनंत आधार है।

1

$1$

1

$1$

L^{2} (R^{n})

$L^2(\mathbb R^n)$

— नॉर्बर्ट शुच जू