HHL एल्गोरिथ्म के लिए संभावित भविष्य के अनुप्रयोग क्या हो सकते हैं?

Question

^{शब्दावली पर ध्यान दें: "हैमिल्टनियन" शब्द का उपयोग इस प्रश्न में हेर्मिटियन मैट्रिसेस के बारे में बोलने के लिए किया जाता है।}

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HHL एल्गोरिथ्म क्वांटम कंप्यूटिंग के क्षेत्र में अनुसंधान का एक सक्रिय विषय लगता है, ज्यादातर क्योंकि यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण समस्या को हल करता है जो समीकरणों के एक रैखिक प्रणाली का समाधान खोज रहा है।

समीकरणों के रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए मूल पेपर क्वांटम एल्गोरिदम के अनुसार (हैरो, हासिडिम और लॉयड, 2009) और इस साइट पर पूछे गए कुछ प्रश्न

• क्वांटम चरण का आकलन और एचएचएल एल्गोरिथ्म - आइगेनवेल्स पर ज्ञान की आवश्यकता है?
• समीकरणों के रैखिक प्रणालियों के लिए क्वांटम एल्गोरिथ्म (HHL09): चरण 2 - प्रारंभिक अवस्थाओं की तैयारी और| ख $\vert \Psi_0 \rangle$$\vert b \rangle$

HHL एल्गोरिथ्म कुछ विशिष्ट मामलों तक सीमित है। यहाँ एक सारांश है (जो अपूर्ण हो सकता है!) HHL एल्गोरिथ्म की विशेषताओं का:

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एचएचएल एल्गोरिथ्म

HHL एल्गोरिथ्म निम्नलिखित सीमाओं के साथ समीकरण का एक रैखिक सिस्टम हल करता है :

$$A \vert x \rangle = \vert b \rangle$$

पर सीमाएं :$A$

• $A$ की जरूरत है Hermitian होने के लिए (और केवल मैट्रिक्स Hermitian काम करता है, को देखने के चैट में इस चर्चा )।
• [ 0 , 1 $A$ 'eigenvalues ​​की जरूरत है ( क्वांटम चरण अनुमान और HHL एल्गोरिथ्म - eigenvalues ​​पर ज्ञान की आवश्यकता है? )$[0,1)$
• $e^{iAt}$ को कुशलतापूर्वक लागू करने की आवश्यकता है। फिलहाल इस संपत्ति को संतुष्ट करने वाले एकमात्र ज्ञात मेट्रिस हैं:
  • स्थानीय हैमिल्टन ( यूनिवर्सल क्वांटम सिमुलेटर (लॉयड, 1996) देखें )।
  • $s$ -sparse Hamiltonians (देखें Adiabatic क्वांटम राज्य पीढ़ी और सांख्यिकीय शून्य ज्ञान (Aharonov और टा-Shma, 2003) )।

पर सीमाएँ :$\vert b \rangle$

• $\vert b \rangle$ rangle कुशलतापूर्वक तैयार होना चाहिए। यह मामला है:
  1. विशिष्ट अभिव्यक्तियों । उदाहरण के लिए राज्य है कुशलता से तैयार।| ख ⟩ = n ⨂ मैं = 0 ( | 0 ⟩ + | 1 $\vert b \rangle$ $$\vert b \rangle = \bigotimes_{i=0}^{n} \left( \frac{\vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle}{\sqrt{2}} \right)$$
  2. $\vert b \rangle$कुशलता से एक पूर्णांक पूर्णांक संभाव्यता वितरण के विवेक का प्रतिनिधित्व करने वाले ( सुपरपोजिशन बनाना जो कुशलता से पूर्णांक संभाव्यता वितरण के अनुरूप है (ग्रोवर और रूडोल्फ, 2002 )।

(आउटपुट) पर सीमाएँ :$\vert x \rangle$

• | एक्स ⟩ ⟨ x | एम | एक्स $\vert x \rangle$माप के द्वारा को पूरी तरह से पुनर्प्राप्त नहीं किया जा सकता है। एकमात्र जानकारी जिसे हम से पुनर्प्राप्त कर सकते हैं, वह एक "सामान्य जानकारी" ("अपेक्षा मान" है जो मूल HHL पेपर में नियोजित शब्द है) जैसे कि$\vert x \rangle$ $$\langle x\vert M\vert x \rangle$$

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प्रश्न: इन सभी सीमाओं को ध्यान में रखते हुए और हम कल्पना करते हैं कि 2050 में (या शायद 2025 में, कौन जानता है?) गलती-सहिष्णु बड़े पैमाने पर क्वांटम चिप्स के साथ (यानी हम हार्डवेयर द्वारा सीमित नहीं हैं), वास्तविक दुनिया की समस्याएं क्या हैं HHL एल्गोरिथ्म को हल कर सकता है (जिसमें HHL का उपयोग केवल एक सबरूटीन के रूप में किया जाता है) समस्याओं को हल करता है?

मैं क्वांटम लीनियर सिस्टम अल्गोरिद्म के पेपर कंक्रीट रिसोर्स एनालिसिस से अवगत हूं, जो एक 2 डी टारगेट (इलेक्ट्रो, वैरोन, मऊ, अलेक्जेंडर, वैन डेन बर्ग एंड चपुराण, 2016) के विद्युत चुम्बकीय बिखरने वाले क्रॉस सेक्शन की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है और इसी के कार्यान्वयन में है। Quipper प्रोग्रामिंग भाषा है और मैं अन्य वास्तविक दुनिया उदाहरण हैं, जहां HHL व्यवहार में लागू किया जाएगा तलाश कर रहा हूँ। मुझे एक प्रकाशित पेपर की आवश्यकता नहीं है, यहां तक ​​कि एक अप्रकाशित पेपर भी नहीं है, मैं सिर्फ वास्तविक दुनिया के उपयोग के मामलों के कुछ उदाहरण रखना चाहता हूं ।

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संपादित करें:

यहां तक ​​कि अगर मैं हर उपयोग-मामले में दिलचस्पी रखता हूं, तो मैं कुछ उदाहरणों को प्राथमिकता दूंगा जहां एचएचएल का सीधे उपयोग किया जाता है, अर्थात अन्य एल्गोरिथ्म के सबरूटीन के रूप में उपयोग नहीं किया जाता है।

मुझे रेखीय प्रणालियों के उदाहरणों में और भी अधिक दिलचस्पी है, जिसके परिणामस्वरूप एक विभेदक ऑपरेटर का विवेक है जो HHL के साथ हल किया जा सकता है।

लेकिन मुझे एक और समय पर जोर देने दें जो मैं आपके उपयोग के बारे में जानता हूं ।

Comments

आप उल्लेख करते हैं कि आप कुछ उदाहरण चाहते हैं जहां एचएचएल "सीधे उपयोग किया जाता है"। मैं इस बारे में बहुत स्पष्ट नहीं हूं कि आपका क्या मतलब है। मुझे कुछ एल्गोरिदम (जो संभावित व्यावहारिक उपयोग हो सकते हैं) पता है जिसमें एचएचएल प्राथमिक चरणों में से एक है, लेकिन निश्चित रूप से एकमात्र कदम नहीं है। एचएचएल का उपयोग करके आनुवांशिक अनुक्रमों को पहचानने की तरह कुछ प्राथमिक चरणों (आपके द्वारा उल्लिखित सभी बाधाओं के अधीन) के लिए उपयुक्त उत्तर होगा? अन्य प्राथमिक कदमों में मुख्य रूप से हैमिल्टनियन सिमुलेशन और राज्य की तैयारी शामिल है।

— सांच्यन दत्ता

मैं कुछ उदाहरणों को प्राथमिकता दूंगा जहां HHL का सीधा उपयोग किया जाता है। इसका अर्थ है कि समस्या को सीधे हल करने के लिए समीकरण की रैखिक प्रणाली के रूप में तैयार किया जा सकता है। अंतर समीकरणों को हल करते समय यह मामला है: हम समीकरण को विवेकाधीन करते हैं और विचलित समस्या को हल करते हैं जो कि ज्यादातर समय एक विरल रैखिक प्रणाली है। लेकिन अन्य उदाहरणों का स्वागत किया जाता है।

— नेल्लीमे

Answer 1

कुछ साल पहले यह क्वांटम एल्गोरिदम और मोंट्रो और पालिस्टर द्वारा परिमित तत्व विधि में दिखाया गया था कि HHL एल्गोरिथ्म को परिमित तत्व विधि (FEM) पर लागू किया जा सकता है जो "सीमा मूल्य के समाधान के लिए संख्यात्मक अनुमानों को कुशलतापूर्वक खोजने की तकनीक है " आंशिक अंतर समीकरणों के लिए समस्याएं (बीवीपी), एक परिमित जाल के माध्यम से पैरामीटर स्थान का विवेक करने पर आधारित है " ।

उन्होंने दिखाया कि इस संदर्भ में एचएचएल का उपयोग मानक शास्त्रीय एल्गोरिथ्म ("संयुग्म ढाल विधि") पर एक बहुपद गति को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है (शायद सबसे अधिक)।

वास्तविक दुनिया के उपयोग के मामलों के संबंध में, वे कहते हैं कि

"एक उदाहरण अनुप्रयोग निकायों को शामिल करने वाली किसी भी गतिशील समस्या है , जिसका अर्थ है आयाम 2 एन के कॉन्फ़िगरेशन स्थान पर परिभाषित पीडीई को हल करना। इसके अलावा, गणितीय वित्त में समस्याओं के लिए एक महत्वपूर्ण लाभ हो सकता है; उदाहरण के लिए, मूल्य निर्धारण मल्टीसेट विकल्पों में ब्लैक को हल करने की आवश्यकता होती है। परिसंपत्तियों की संख्या द्वारा दिए गए आयाम के साथ एक डोमेन पर -Scholes समीकरण "$n$

यह एचएचएल के लिए संभावित उपयोग के मामलों का एक पूरा क्षेत्र खोलता है ( की स्पार्सिटी पर शर्तों को संतुष्ट किया जा सकता है)।$A$

Comments

मेरे पास अभी लेख पढ़ने का समय नहीं है, लेकिन अमूर्त से ऐसा लगता है कि पेपर दिलचस्प है। मैंने पढ़ा है जल्दी से खंड तृतीय और eigenvalues के लिए किसी भी संदर्भ नहीं मिल सका लेकिन अन्य बिंदुओं या तो तुच्छ हैं ( hermitian है), अन्य लेखों में की गई (के Hamiltonian सिमुलेशन -sparse मैट्रिक्स के साथ ) या में शामिल लेख (राज्य की तैयारी)। मुझे इस लेख के बारे में नहीं पता था, और आवेदन मेरे लिए विशेष रुचि है (परिमित-तत्व पीडीई के साथ निकटता से जुड़ा हुआ है)। आपके पास मेरा उत्थान है (और शायद इनाम) :)$M$ $M$$s$$s=3$

— नेल्लीमे

हे Nelimee, यदि आपको उत्तर उपयोगी लगा और यह महसूस किया कि यह आपके प्रश्न का उत्तर देता है, तो कृपया इसे स्वीकार किए गए उत्तर के रूप में चुनें। धन्यवाद! :)

— SLesslyTall

Answer 2

रेबेंट्रोस्ट एट अल। हाल ही में अपने ए क्वांटम हॉपफील्ड न्यूरल नेटवर्क (2018) पेपर में HHL09 एल्गोरिथ्म का इस्तेमाल किया , जो होपफील्ड नेटवर्क के ऊर्जा फ़ंक्शन के अनुकूलन के लिए था ।

मूल रूप से, यदि लैग्रैनिज (जिसका उपयोग नेटवर्क ऊर्जा को अनुकूलित करने के लिए किया जाता है ने बाधा दी ) है:$E = -\frac{1}{2}x^{T}Wx + \theta^Tx$$Px - x^{\text{(inc)}} = 0$

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{2}x^{T}Wx + \theta^Tx - \lambda^T (Px - x^{\text{(inc)}}) + \frac{\gamma}{2}x^T x$$ फिर ऑप्टिमाइज़ेशन समीकरण और को के रूप में लिखा जा सकता है । ध्यान दें कि अभिव्यक्ति में नियमितीकरण पैरामीटर है। हमें खोजने की आवश्यकता है जो नेटवर्क ऊर्जा विषय को बाधा बढ़ाता है और इस प्रकार, हमें एक मैट्रिक्स व्युत्क्रम तकनीक की आवश्यकता होती है। कागज में उन्होंने ठीक वैसा ही किया है और मैट्रिक्स व्युत्क्रम के लिए उन्होंने HHL09 एल्गोरिथ्म का उपयोग किया है। कागज के पृष्ठ 4 देखें।$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0$$A \mathbf{v} = \mathbf{w}$$\gamma$$\mathbf{v}$$Px = x^{(\text{inc})}$

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संक्षेप में, मेरा मानना ​​है कि एक बार जब हमारे पास क्वांटम कंप्यूटर होते हैं, जिसमें पर्याप्त मात्रा में क्वैब और डिकॉयनेस समय होता है, तो एचएचएल एल्गोरिदम किसी भी क्वांटम मशीन लर्निंग एल्गोरिदम के लिए सबसे उपयोगी सबरूटीन में से एक होने वाला है (क्योंकि लगभग सभी मशीन लर्निंग और न्यूरल नेटवर्क एल्गोरिदम में "ढाल वंश" या "अनुकूलन" के कुछ रूप शामिल हैं)।