क्वांटम चरण अनुमान और एचएचएल एल्गोरिथ्म - eigenvalues ​​के ज्ञान की आवश्यकता है?

Question

क्वांटम चरण आकलन एल्गोरिथ्म (QPE) एक क्वांटम गेट की दी गई आइजन्वेक्टर से जुड़े eigenvalue की एक सन्निकटन की गणना करता है ।$U$

औपचारिक रूप से, चलो के आइजन्वेक्टर हो , QPE हमें खोजने के लिए अनुमति देता है , सबसे अच्छा बिट के सन्निकटन ऐसी है कि और $\left|\psi\right>$$U$$\vert\tilde\theta\rangle$$m$$\lfloor2^m\theta\rfloor$$\theta \in [0,1)$

$$U\vert\psi\rangle = e^{2\pi i \theta} \vert\psi\rangle.$$

HHL एल्गोरिथ्म ( मूल पत्र ) इनपुट के रूप में लेता है एक मैट्रिक्स है कि संतुष्ट और एक क्वांटम राज्य और computes कि encodes रेखीय प्रणाली के समाधान ।$A$

$$e^{iAt} \text{ is unitary }$$ $\vert b \rangle$$\vert x \rangle$$Ax = b$

टिप्पणी : हर धर्मनिरपेक्ष मैट्रिक्स पर शर्त को पूरा करते हैं ।$A$

ऐसा करने के लिए, HHL एल्गोरिथ्म द्वारा प्रतिनिधित्व क्वांटम गेट पर QPE का उपयोग करता है । रैखिक बीजगणित के परिणामों के लिए धन्यवाद, हम जानते हैं कि यदि हैं, तो हैं और हैं । यह परिणाम क्वांटम लीनियर सिस्टम एल्गोरिदम में भी बताया गया है: एक प्राइमर (डर्वोविच, हर्बस्टर, माउंटनी, सेवरिनी, अशर और वॉसनिग, 2018) (पृष्ठ 29, समीकरण 68 और 69 के बीच)।{ λ j } j A { e i λ j t } j$U = e^{iAt}$$\left\{\lambda_j\right\}_j$$A$$\left\{e^{i\lambda_j t}\right\}_j$$U$

क्यूपीई की मदद से, एचएलएल एल्गोरिथ्म का पहला कदम का अनुमान लगाने की कोशिश करेगा, जैसे कि । इससे हमें समीकरण यानी थोड़ा विश्लेषण करके स्थितियों के निहितार्थ और , मैं इस निष्कर्ष के साथ समाप्त हुआ कि अगर (यानी ), चरण अनुमान एल्गोरिथ्म विफल हो जाता है सही स्वदेशी की भविष्यवाणी करें।ई मैं 2 π θ = ई मैं λ जे टी 2 π θ = λ जे टी + 2 कश्मीर π $\theta \in [0,1)$$e^{i2\pi \theta} = e^{i\lambda_j t}$θ = λ जे

$$2\pi \theta = \lambda_j t + 2k\pi, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$$ कश्मीर ∈ जेड θ ∈ [ 0 , 1 ) λ जे $$\theta = \frac{\lambda_j t}{2\pi} + k, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$$ $k\in \mathbb{Z}$$\theta \in [0,1)$≠[0,1)k π$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$$k \neq 0$

लेकिन जब कोई भी हर्मिटियन मैट्रिक्स हो सकता है, तो हम स्वतंत्र रूप से इसके आईजेन्यूल्स का चयन कर सकते हैं और विशेष रूप से हम लिए मनमाने ढंग से बड़े ईजेनवेल्यूज का चयन कर सकते हैं, जैसे कि क्यूपी विफल हो जाएगा ( )।ए λ जे$A$$A$$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

में क्वांटम सर्किट डिजाइन समीकरण (काओ, Daskin, फ्रैन्केल और कैस, 2012) के रैखिक प्रणालियों को सुलझाने के लिए वे अनुकरण करके इस समस्या का समाधान , जानते हुए भी कि eigenvalues के कर रहे हैं । उन्होंने मामले को टालने के लिए मैट्रिक्स (और इसके आइजेनवेल्यूज) को सामान्य कर दिया , जहां । ए{1,2,4,8}λजे$e^{\frac{iAt}{16}}$$A$$\left\{ 1, 2, 4, 8 \right\}$$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

दूसरी तरफ, ऐसा लगता है कि पैरामीटर का उपयोग इस सामान्यीकरण को करने के लिए किया जा सकता है।$t$

प्रश्न: क्या हमें मैट्रिक्स को सामान्य करने के लिए के आइजनवेल्यूज के ऊपरी-भाग को जानने की आवश्यकता है और सुनिश्चित करें कि एचएचएल एल्गोरिथ्म का क्यूपीई भाग सफल होगा? यदि नहीं, तो हम यह कैसे सुनिश्चित कर सकते हैं कि QPE सफल होगा (अर्थात )?λ जे$A$$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \in [0,1)$

Comments

मान लें कि । क्या आप कह रहे हैं कि लंबोदर कभी नकारात्मक नहीं हो सकते? नकारात्मक स्वदेशी होने में क्या गलत है? मान लीजिए कि और । फिर: , और । लिए पूरी तरह से मान्य मान । उसमे गलत क्या है? क्यों को सकारात्मक या होना चाहिए ? ईजेंवल नकारात्मक हो सकते हैं। कश्मीर = 2 टी = 1 0 < ( λ / 2 π ) + $t=1$$k=2$$t=1$$0 < (\lambda / 2\pi) + 2 < 1$$-4\pi < \lambda < -2\pi$$\lambda = -3\pi$$\lambda/2\pi$$0$

— user1271772

@ user1271772 इस मामले में कोई में, कभी नकारात्मक हो नहीं कर सकते क्योंकि QPE थोपना कि । यदि (क्योंकि आपने एक नकारात्मक eigenvalue के साथ एक मैट्रिक्स प्लग किया है, तो यह निश्चित रूप से संभव है), तो QPE का आउटपुट प्रतिनिधित्व नहीं करेगा , बल्कि साथ , अर्थात " modulo ", और यह HHL एल्गोरिथ्म को विफल कर देगा। $\lambda$$\theta \in [0, 1)$$\lambda < 0$$\lambda$$\lambda - 2k\pi$$k = \lfloor \frac{\lambda}{2\pi} \rfloor$$\lambda$$2\pi$

— नेल्लीमे

Answer 1

आपको eigenvalues ​​(ऊपरी और निचले दोनों) पर एक बाध्य पता होना चाहिए। जैसा कि आप कहते हैं, आप तब को rescaling करके को सामान्य कर सकते हैं । वास्तव में, आपको पूर्ण सीमा से अधिक मान को फैलाने के लिए, सबसे सटीक अनुमान प्राप्त करने के लिए ऐसा करना चाहिए । Eigenvalues ​​को बांटना आमतौर पर एक समस्या नहीं है। उदाहरण के लिए, आपको संभवतः अपने मैट्रिक्स को विरल बनाने की आवश्यकता है, ताकि प्रत्येक पंक्ति पर बहुत सारे गैर-शून्य मैट्रिक्स तत्व न हों। वास्तव में, समस्या विनिर्देश संभवतया आपको प्रति पंक्ति गैर-शून्य प्रविष्टियों की संख्या और किसी भी प्रविष्टि के अधिकतम मान पर बाध्य करता है ।टी λ टी 2 π एक एन $A$$t$$\lambda t$$2\pi$$A$$N$$Q$

तब आप गेर्शगोरिन सर्कल सर्कल प्रमेय जैसा कुछ लागू कर सकते थे। इसमें कहा गया है कि अधिकतम ऊपरी अधिकतम और न्यूनतम निम्न से है जो न्यूनतम घिरा है। की मैट्रिक्स तत्व हैं ।

$$\max_i a_{ii}+\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\leq NQ,$$ a i j $$\min_ia_{ii}-\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\geq -NQ.$$ $a_{ij}$$A$

, के मानों के भीतर , यदि आप चिंता कर रहे हैं कि एक बड़ी मैट्रिक्स के लिए ( qubits कहें ), जबकि पंक्ति योग की गणना करना आसान हो सकता है (क्योंकि कई प्रविष्टियां नहीं हैं), सभी पंक्तियों पर अधिकतम एक लंबा समय लग सकता है समय (क्योंकि वहाँ पंक्तियाँ हैं), वहाँ विभिन्न तरीके के लिए यह करने के लिए अच्छा सन्निकटन मिल जाएगा (उदाहरण के नमूने, या समस्या संरचना के ज्ञान का उपयोग कर)। सबसे खराब स्थिति, आप शायद इसे थोड़ा गति देने के लिए ग्रोवर की खोज का उपयोग कर सकते हैं ।क्यू एन 2 $N$$Q$$n$$2^n$

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ग्रोवर एक सुधार नहीं है: भले ही हम एल्गोरिथ्म का उपयोग कर सकते हैं, फिर भी हमें प्रश्नों की आवश्यकता होगी, जो शास्त्रीय तरीकों पर HHL के घातीय सुधार को नष्ट कर देते हैं और इसे क्वाड्रिस स्पीड से बदल देते हैं। तो केवल आशा ही शेष है नमूना (त्रुटियों का एक अन्य स्रोत परिचय) या प्रार्थना करें और आशा करें कि समस्या हमें ऊपरी / निचले घावों का अनुमान लगाने की अनुमति देती है। मेरे लिए एल्गोरिथ्म के एक प्रमुख दोष की तरह लगता है। $\mathcal{O}(\sqrt{N})$

— नेल्लीमे जूल 4'18

निश्चित रूप से, मेरा केवल यही अर्थ था कि ग्रोवर आपको अधिकतम प्राप्त करने के भोली तरीके की तुलना में एक स्क्वायर रूट स्पीडअप देता है। ज़ाहिर है कि इससे कुल मिलाकर चलने वाले समय पर बुरा असर पड़ता है।

— दफ्तवूली जूल