क्वांटम चरण आकलन एल्गोरिथ्म में "चरण किकबैक" तंत्र क्यों काम करता है?

मैंने शायद कुछ समय पहले नील्सन और चुआंग (10 वीं वर्षगांठ संस्करण) से अध्याय द क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म और उसके अनुप्रयोगों को पढ़ा है और इस बात को स्वीकार कर लिया है, लेकिन आज, जब मैंने इसे फिर से देखा, तो यह नहीं हुआ ' t मुझे बिल्कुल स्पष्ट लगता है!

यहाँ चरण अनुमान एल्गोरिथ्म के लिए सर्किट आरेख है:

क्वबिट वाले पहले रजिस्टर को "कंट्रोल रजिस्टर" माना जाता है। यदि पहले रजिस्टर में कोई भी राज्य में है संबंधित नियंत्रित एकात्मक गेट दूसरे रजिस्टर पर लागू हो जाता है । यदि यह राज्य में है तो यह दूसरे रजिस्टर पर लागू नहीं होता है । यदि यह दो राज्यों के सुपरपोजिशन में है और दूसरे रजिस्टर पर संबंधित एकात्मक की कार्रवाई "रैखिकता" द्वारा निर्धारित की जा सकती है। ध्यान दें, कि सभी गेट केवल दूसरे रजिस्टर पर काम कर रहे हैं और पहले रजिस्टर पर कोई नहीं। पहला रजिस्टर केवल एक नियंत्रण माना जाता है । $t$ $|1\rangle$ $|0\rangle$ $|0\rangle$ $|1\rangle$

हालांकि, वे बताते हैं कि पहले रजिस्टर की अंतिम स्थिति इस प्रकार है :

\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 1} φ) | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 2} φ) | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{0} φ) | 1 ⟩)

$\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)$

मुझे आश्चर्य है कि क्यों हम हडामर्ड गेट्स की कार्रवाई के बाद, पहले से ही क्वैबिट्स के पहले रजिस्टर की स्थिति में बदलाव पर विचार करते हैं। पहले रजिस्टर की अंतिम स्थिति सिर्फ होनी चाहिए थी

{(\frac{| 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}})}^{\otimes t}

$\left(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt 2}\right)^{\otimes t}$

है ना? मैं यह कहता हूं क्योंकि पहला रजिस्टर केवल एक नियंत्रण माना जाता है। मुझे समझ नहीं आता कि नियंत्रण के रूप में कार्य करते समय पहले रजिस्टर की स्थिति कैसे या क्यों बदलनी चाहिए।

मैंने शुरू में सोचा था कि घातीय कारकों को पहले रजिस्टर क्वेट राज्यों का हिस्सा मानना केवल एक गणितीय सुविधा थी, लेकिन तब इसका कोई मतलब नहीं था। एक qubit या qubits की एक प्रणाली पर निर्भर नहीं करना चाहिए क्या गणितीय हमारे लिए सुविधाजनक है!

तो, क्या कोई यह समझा सकता है कि वास्तव में क्वैब्स के पहले रजिस्टर की स्थिति क्यों बदल जाती है, तब भी जब यह दूसरे रजिस्टर के लिए "नियंत्रण" के रूप में कार्य करता है? क्या यह सिर्फ एक गणितीय सुविधा है या कुछ गहरा है?

— संचेतन दत्ता
स्रोत

इसका उत्तर नहीं है, लेकिन: अगर यह राज्य में वास्तविक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, तो इसके लिए 'गणितीय सुविधा' का क्या मतलब होगा? या तो गणित सटीक रूप से वर्णन करता है कि क्वांटम कैसे बदलता है, या यह नहीं करता है। यदि ऐसा नहीं होता है, तो आपके पास इस एक उदाहरण से बड़ी समस्याएं हैं। यदि आप मानते हैं कि गणित भौतिकी का सही-सही वर्णन करता है, तो गणितीय प्रतिनिधित्व सिर्फ सुविधाजनक नहीं है: इस स्थिति के (डराने वाले आगे) "नियंत्रण" तार वास्तव में इस सबरूटीन में बदलते हैं। यह भ्रमित होना ठीक है कि क्यों, लेकिन पहले आपको यह स्वीकार करना होगा कि वे परिवर्तन करते हैं।

— निएल डे ब्यूड्रैप

मैथ्स वास्तव में इस उत्तर में बताया गया है: quantumcomputing.stackexchange.com/a/1791/1837 लेकिन वह स्थिति सरल है, और शायद समझने में आसान है

— DaftWullie

@ नीलदेउरुद्रप, ठीक है, मेरा सवाल ठीक है "क्यों" यह बदल जाता है

— सांचा दत्ता

@DaftWullie गणित कठिन नहीं लगता है। चलो बस एक नियंत्रित उदाहरण लेते हैं- गेट। यदि नियंत्रण रजिस्टर राज्य में है तो यह लागू हो जाता है को देने के लिए । लेकिन, वे विचार कर रहे हैं कि घातीय कारक को पहले रजिस्टर में नियंत्रण qubit का कारक माना जाएगा अर्थात और नहीं दूसरे रजिस्टर का। मेरा सवाल है: ऐसा क्यों?

U^{2^{0}}

$U^{2^0}$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

| u ⟩

$|u\rangle$

\exp (2 π i 2^{0} ϕ) | u ⟩

$\exp(2\pi i 2^0 \phi)|u\rangle$

\exp (2 π i 2^{0} ϕ)

$\exp(2\pi i 2^0 \phi)$

\exp (2 π i 2^{0} ϕ)

$\exp(2\pi i 2^0 \phi)$

— सांच्यन दत्ता

cc @NieldeBeaudrap ^

— दत्ता

जवाबों:

कल्पना कीजिए कि आप एक आइजन्वेक्टर है की । आप इस तरह के रूप में एक राज्य है, तो और आप controlled- लागू इसे करने के लिए, आप बाहर निकलने के । चरण एक विशिष्ट रजिस्टर से जुड़ा नहीं है, यह सिर्फ एक समग्र गुणक कारक है। $|u\rangle$ $U$ $|1\rangle|u\rangle$ $U$ $e^{i\phi}|1\rangle|u\rangle$

अब पहले रजिस्टर पर एक सुपरपोज़िशन का उपयोग करते हैं: आप इसे इस रूप में फिर से लिख सकते हैं इसलिए यह पहले रजिस्टर पर दिखाई देता है, भले ही यह दूसरे रजिस्टर पर बनाया गया था। (निश्चित रूप से यह व्याख्या पूरी तरह से सत्य नहीं है क्योंकि यह दो-खण्डों पर अभिनय करने वाले दो-क्विट गेट द्वारा बनाया गया था)।

(| 0 ⟩ + | 1 ⟩) | u ⟩ \mapsto | 0 ⟩ | u ⟩ + e^{i ϕ} | 1 ⟩ | u ⟩

$(|0\rangle+|1\rangle)|u\rangle\mapsto |0\rangle|u\rangle+e^{i\phi}|1\rangle|u\rangle$

(| 0 ⟩ + e^{i ϕ} | 1 ⟩) | u ⟩

$(|0\rangle+e^{i\phi}|1\rangle)|u\rangle$

यह कदम कई क्वांटम एल्गोरिदम के केंद्र में है।

हम क्यों नहीं लिखते हैं और बस दावा करें कि यह अलग नहीं है? $|\Psi\rangle=|0\rangle|u\rangle+|1\rangle(e^{i\phi}|u\rangle)$

कोई सिर्फ इसका दावा नहीं कर सकता, लेकिन इसे गणितीय रूप से दिखाना चाहिए। उदाहरण के लिए, हम दूसरी कक्षा में आंशिक ट्रेस ले सकते हैं, आंशिक ट्रेस लेने के लिए, हम योग करने के लिए एक आधार चुनते हैं। सादगी के लिए, चलो जहां और । फिर आप प्राप्त करें

{Tr}_{B} (| Ψ ⟩ ⟨ Ψ |_{A B}) = {Tr}_{B} (| 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes | u ⟩ ⟨ u | + | 1 ⟩ ⟨ 0 | \otimes e^{i ϕ} | u ⟩ ⟨ u | + | 0 ⟩ ⟨ 1 | \otimes | u ⟩ ⟨ u | e^{- i ϕ} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes e^{i ϕ} | u ⟩ ⟨ u | e^{- i ϕ})

$\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|_{AB})=\text{Tr}_B(|0\rangle\langle 0|\otimes |u\rangle\langle u|+|1\rangle\langle 0|\otimes e^{i\phi}|u\rangle\langle u|+|0\rangle\langle 1|\otimes |u\rangle\langle u|e^{-i\phi}+|1\rangle\langle 1|\otimes e^{i\phi}|u\rangle\langle u|e^{-i\phi})$

{| u ⟩, | u^{⊥} ⟩}

$\{|u\rangle,|u^\perp\rangle\}$

⟨ u | u^{⊥} ⟩ = 0

$\langle u|u^\perp\rangle=0$

⟨ u | (e^{i ϕ} | u ⟩ = e^{i ϕ}

$\langle u|(e^{i\phi}|u\rangle=e^{i\phi}$

{Tr}_{B} (| Ψ ⟩ ⟨ Ψ |_{A B}) = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e^{i ϕ} | 1 ⟩ ⟨ 1 | + e^{- i ϕ} | 0 ⟩ ⟨ 1 | + | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|_{AB})=|0\rangle\langle 0|+e^{i\phi}|1\rangle\langle 1|+e^{-i\phi}|0\rangle\langle 1|+|1\rangle\langle 1|$ यह रैंक 1 है (और आप देख सकते हैं कि चरण पहले रजिस्टर पर दिखाई दिया है), इसलिए राज्य उलझी नहीं है। यह वियोज्य है।

— DaftWullie
स्रोत

मेरा मुख्य मुद्दा "री-राइटिंग" भाग के साथ है। गणितीय रूप से यह केवल एक पुन: व्यवस्था है लेकिन शारीरिक रूप से फिर से लिखने के गहरे निहितार्थ हो सकते हैं। कहो, मैं इसे इसके बजाय क्यों नहीं लिखता हूँ और बस दावा करें कि यह टेनॉर उत्पादों में अलग नहीं है। उलझने के कारण उस कारक को पहले रजिस्टर में एक क्वेट की स्थिति के बजाय दूसरे रजिस्टर में एक क्वेट की स्थिति के क्यों होना चाहिए ?

| 0 ⟩ (| u ⟩) + | 1 ⟩ (e^{i ϕ} | u ⟩)

$|0\rangle(|u\rangle) + |1\rangle (e^{i\phi}|u\rangle)$

e^{i ϕ}

$e^{i\phi}$

— सांच्यन दत्ता

आप "उलझा हुआ" कैसे परिभाषित करते हैं? किसी भी परिभाषा से, यह उलझा हुआ नहीं है। उदाहरण के लिए, आंशिक ट्रेस लेने का प्रयास करें। इसके अलावा, मुझे लगता है कि आपको विभिन्न घटकों पर उस चरण को रखने की तुलना में एक वैश्विक चरण को पूरी अभिव्यक्ति से हटाने में आम तौर पर कोई समस्या नहीं है?

— दफ्तुल्ली जुले

मुझे शायद कुछ प्राथमिक गलतफहमी हो रही है । कहो, मेरी दो श्रेणियां हैं, जहाँ पहली एक (qubit ) राज्य में है और दूसरी एक (qubit B) राज्य में है । फिर संयुक्त अवस्था है । अब मैंने वास्तव में इसे रूप में लिखा हुआ देखा है , लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि ऐसा क्यों होना चाहिए। इस मामले में qu A और qubit B की वास्तविक भौतिक स्थिति क्या है ? क्या यह & या है &

A

$A$

(| 0 ⟩)_{A}

$(|0\rangle)_A$

(e^{i θ} | 0 ⟩)_{B}

$(e^{i\theta }|0\rangle)_B$

(| 0 ⟩)_{A} \otimes (e^{i θ} | 0 ⟩)_{B}

$(|0\rangle)_A\otimes (e^{i\theta}|0\rangle)_B$

e^{i θ} (| 0 ⟩)_{A} \otimes (| 0 ⟩)_{B}

$e^{i\theta}(|0\rangle)_A\otimes (|0\rangle)_B$

(e^{i θ} | 0 ⟩)_{A}

$(e^{i\theta}|0\rangle)_A$

| 0 ⟩_{B}

$|0\rangle_B$

(| 0 ⟩)_{A}

$(|0\rangle)_A$

(e^{i θ} | 0 ⟩)_{B}

$(e^{i\theta}|0\rangle)_B$ ?

— सांच्यन दत्ता

मुझे लगता है कि मुझे इस तरह "वैश्विक चरण" के आसपास स्थानांतरित करने में कोई समस्या है। मैंने इसके बारे में पहले कभी नहीं सोचा था।

— सांच्यन दत्ता

कोई भौतिक अंतर नहीं है। इसके बारे में इस तरह से सोचें: आप दोनों को अलग करने के लिए क्या प्रयोग करेंगे? यदि शारीरिक अंतर है, तो उन्हें अलग करने का एक तरीका होना चाहिए।

— दफ्तुल्ली

पहली टिप्पणी

'कंट्रोल' की यही घटना कुछ परिस्थितियों में बदलती राज्यों के साथ-साथ नियंत्रित-गेट्स के साथ भी होती है; वास्तव में, यह eigenvalue आकलन का संपूर्ण आधार है। इसलिए न केवल यह संभव है, यह क्वांटम गणना के बारे में एक महत्वपूर्ण तथ्य है कि यह संभव है। इसका एक नाम भी है: एक "चरण किक", जिसमें नियंत्रण क्वैबिट्स (या आमतौर पर, एक नियंत्रण रजिस्टर) कुछ लक्ष्य रजिस्टर पर कुछ ऑपरेशन के माध्यम से अभिनय के परिणामस्वरूप रिश्तेदार चरणों को लागू करता है। $\def\ket#1{\lvert#1\rangle}$

ऐसा होने का कारण

ऐसा क्यों होना चाहिए? मूल रूप से यह इस तथ्य से कम है कि मानक आधार वास्तव में उतना महत्वपूर्ण नहीं है जितना कि हम कभी-कभी इसका वर्णन करते हैं।

लघु संस्करण। नियंत्रण की मात्रा पर केवल मानक आधार वाले राज्य अप्रभावित हैं। नियंत्रण qubit एक राज्य में जो है में है, तो नहीं एक मानक आधार राज्य है, यह सिद्धांत रूप में बदला जा सकता है।

लंबा संस्करण -

बलोच क्षेत्र पर विचार करें। यह अंत में, एक क्षेत्र - पूरी तरह से सममित, कोई भी बात किसी भी अन्य की तुलना में अधिक विशेष होने के साथ, और कोई भी अक्ष किसी अन्य की तुलना में अधिक विशेष। विशेष रूप से, मानक आधार विशेष रूप से विशेष नहीं है।

CNOT ऑपरेशन सिद्धांत रूप में एक भौतिक ऑपरेशन है। इसका वर्णन करने के लिए, हम अक्सर इसे व्यक्त करते हैं कि कैसे यह मानक आधार को प्रभावित करता है , सदिश निरूपण का उपयोग करके इसे कैसे प्रभावित करता है - लेकिन यह सिर्फ एक प्रतिनिधित्व है। यह CNOT परिवर्तन के एक विशिष्ट प्रतिनिधित्व की ओर जाता है:

| 00 ⟩ \to [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], | 01 ⟩ \to [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], | 10 ⟩ \to [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], | 11 ⟩ \to [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]

$\ket{00} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{01} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{10} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{11} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$

C N O T \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] .

$\mathrm{CNOT} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}}\,.$ और संक्षिप्तता की खातिर हम कहते हैं कि उन स्तंभ वैक्टर हैं दो qubits पर मानक आधार राज्यों, और इस मैट्रिक्स कि है एक CNOT मैट्रिक्स।

क्या आपने कभी एक प्रारंभिक विश्वविद्यालय गणित वर्ग किया था, या एक पाठ्यपुस्तक पढ़ी थी, जहां यह एक रैखिक परिवर्तन और मैट्रिक्स के बीच अंतर पर जोर देना शुरू कर दिया था - जहां यह कहा गया था, उदाहरण के लिए, कि एक मैट्रिक्स रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व कर सकता है , लेकिन यह नहीं था एक रैखिक परिवर्तन के रूप में ही ? क्वांटम गणना में CNOT के साथ स्थिति इस बात का एक उदाहरण है कि यह भेद कैसे सार्थक है। सीएनओटी एक भौतिक प्रणाली का एक परिवर्तन है , स्तंभ वैक्टर का नहीं; मानक आधार अवस्थाएं एक भौतिक प्रणाली का सिर्फ एक आधार हैं, जिसे हम पारंपरिक रूप से कॉलम वैक्टर द्वारा दर्शाते हैं। $\{0,1\}$

क्या होगा अगर हम एक अलग आधार का प्रतिनिधित्व करने के लिए चुनते हैं - कहते हैं, एक्स eigenbasis - by स्तंभ वैक्टर, बजाय? मान लीजिए कि हम करना चाहते हैं $\{0,1\}$

\begin{aligned} | + + ⟩ \to & [1 0 0 0]^{†}, \\ | + - ⟩ \to & [0 1 0 0]^{†}, \\ | - + ⟩ \to & [0 0 1 0]^{†}, \\ | - - ⟩ \to & [0 0 0 1]^{†} . \end{aligned}

$\begin{aligned} \ket{++} \to{}& [\, 1 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{+-} \to{}& [\, 0 \;\; 1 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{-+} \to{}& [\, 0 \;\; 0 \;\; 1 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{--} \to{}& [\, 0 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 1 \,]^\dagger \,. \end{aligned}$ यह गणितीय रूप से पूरी तरह से वैध विकल्प है, और क्योंकि यह केवल एक उल्लेखनीय विकल्प है, यह भौतिकी को प्रभावित नहीं करता है - यह केवल उस तरीके को प्रभावित करता है जिस तरह से हम भौतिकी को लिखते हैं। इसके बराबर में एक तरह से विश्लेषण करना साहित्य में असामान्य नहीं है (हालांकि यह स्पष्ट रूप से कॉलम वैक्टर के लिए एक अलग सम्मेलन लिखने के लिए दुर्लभ है जैसा कि मैंने यहां किया है)। हमें मानक आधार वैक्टर का प्रतिनिधित्व करना होगा:

| 00 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}], | 01 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}], | 10 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}], | 11 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}] .

$\ket{00} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{01} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{10} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{11} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}}\,.$ फिर, हम कॉलम वैक्टर का उपयोग दाईं ओर केवल बाईं ओर स्थित राज्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए कर रहे हैं । लेकिन प्रतिनिधित्व में यह बदलाव प्रभावित करेगा कि हम CNOT गेट का प्रतिनिधित्व कैसे करना चाहते हैं।

एक तेज-तर्रार पाठक यह नोटिस कर सकता है कि जिन वैक्टरों को मैंने दाईं ओर ऊपर लिखा है, वे के सामान्य मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व के कॉलम हैं । इसका एक अच्छा कारण है: प्रतिनिधित्व राशियों का यह परिवर्तन संदर्भ फ्रेम का एक परिवर्तन है जिसमें दो क्विट की अवस्थाओं का वर्णन करना है। का वर्णन करने के लिए , , और इसके बाद, हमने एक घुमाव द्वारा प्रत्येक क्वेट के लिए हमारे संदर्भ के फ्रेम को बदल दिया है जो हैडमार्ड ऑपरेटर के सामान्य मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व के समान है - क्योंकि वही ऑपरेटर और ऑब्जर्वर को इंटरचेंज करता है । संयुग्मन द्वारा। $H \otimes H$ $\ket{++} = [\, 1 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger$ $\ket{+-} = [\, 0 \;\; 1 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger$ $X$ $Z$

संदर्भ का यह एक ही ढांचा लागू होगा कि हम CNOT ऑपरेशन का प्रतिनिधित्व कैसे करते हैं, इसलिए इस स्थानांतरित प्रतिनिधित्व में, हमने किया होगा। 0 \ end {bmatrix}} \ end {संरेखित} जो - यह याद रखना कि स्तंभ अब eigenstates का प्रतिनिधित्व करते हैं - इसका मतलब है कि CNOT परिवर्तन करता है

\begin{aligned} C N O T \to \frac{1}{4} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathrm{CNOT} \to \tfrac{1}{4}{}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \,\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\, \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} }\, = \,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}} \end{aligned}$

X

$X$

\begin{aligned} C N O T | + + ⟩ & = | + + ⟩, \\ C N O T | + - ⟩ & = | - - ⟩, \\ C N O T | - + ⟩ & = | - + ⟩, \\ C N O T | - - ⟩ & = | + - ⟩ . \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathrm{CNOT}\,\ket{++} &= \ket{++} , \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{+-} &= \ket{--}, \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{-+} &= \ket{-+} , \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{--} &= \ket{+-} . \end{aligned}$ यहाँ ध्यान दें कि यह केवल पहला, 'नियंत्रण' है, जिसका राज्य परिवर्तन होता है; लक्ष्य अपरिवर्तित रह गया है।

अब, मैं संदर्भ फ्रेम में बदलाव के बारे में इस बात के बिना इस तथ्य को बहुत अधिक तेज़ी से दिखा सकता था। कंप्यूटर विज्ञान में क्वांटम अभिकलन में परिचयात्मक पाठ्यक्रमों में, 'संदर्भ फ्रेम' शब्दों का उल्लेख किए बिना एक समान घटना का वर्णन किया जा सकता है। लेकिन मैं आपको एक मात्र गणना से अधिक देना चाहता था। मैं इस तथ्य पर ध्यान आकर्षित करना चाहता था कि एक CNOT सिद्धांत में है न कि केवल एक मैट्रिक्स; मानक आधार कोई विशेष आधार नहीं है; और जब आप इन चीजों को हटा देते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि सीएनओटी द्वारा महसूस किए गए ऑपरेशन में स्पष्ट रूप से नियंत्रण की स्थिति को प्रभावित करने की क्षमता है, भले ही सीएनओटी केवल वही चीज है जो आप अपनी कक्षाओं में कर रहे हैं।

बहुत विचार यह है कि एक 'नियंत्रण' क्वबिट मानक आधार पर केंद्रित है, और क्वैब के राज्यों के बारे में एक पूर्वाग्रह एम्बेड करता है जो हमें ऑपरेशन के बारे में सोचने के लिए आमंत्रित करता है। लेकिन एक भौतिक विज्ञानी के रूप में, आपको एकतरफा संचालन पर गहरा संदेह होना चाहिए। प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है ; और यहाँ मानक आधार वाले राज्यों पर CNOT की स्पष्ट एकतरफाता इस तथ्य से प्रमाणित होती है कि, X eigenbasis राज्यों के लिए, यह 'लक्ष्य' है जो एकतरफा रूप से 'नियंत्रण' की स्थिति के संभावित परिवर्तन को निर्धारित करता है।

आप सोच रहे थे कि क्या कोई ऐसी चीज थी जो केवल गणितीय सुविधा थी, जिसमें संकेतन का विकल्प शामिल था। वास्तव में, वहाँ है: जिस तरह से हम अपने राज्यों को मानक आधार पर जोर देने के साथ लिखते हैं, जो आपको मानक आधार के संदर्भ में केवल ऑपरेशन के एक गैर-गणितीय अंतर्ज्ञान को विकसित करने के लिए ले जा सकता है । लेकिन प्रतिनिधित्व को बदलें, और वह गैर-गणितीय अंतर्ज्ञान चला जाता है।

एक ही चीज जिसे मैंने एक्स-ईजेनबैसिस राज्यों पर सीएनओटी के प्रभाव के लिए स्केच किया है, वह भी चरण अनुमान में चल रहा है, केवल सीएनओटी की तुलना में एक अलग परिवर्तन के साथ। 'टारगेट' क्वबिट में स्टोर किए गए 'फेज' को 'कंट्रोल' क्वाइबिट तक किक किया जाता है, क्योंकि टारगेट एक ऑपरेशन के एक आइजनस्टैट में होता है, जिसे पहली क्वैबिट द्वारा सुसंगत रूप से नियंत्रित किया जा रहा है। क्वांटम अभिकलन के कंप्यूटर विज्ञान पक्ष पर, यह क्षेत्र में सबसे प्रसिद्ध घटनाओं में से एक है। यह हमें इस तथ्य का सामना करने के लिए मजबूर करता है कि मानक आधार केवल इसमें विशेष है कि यह वह है जिसके साथ हम अपने डेटा का वर्णन करना पसंद करते हैं - लेकिन यह नहीं कि भौतिक विज्ञान कैसे व्यवहार करता है।

— निएल डी ब्यूड्रैप
स्रोत

-1

बड़ा सवाल है।
मैंने एक बार यह भी पूछा था, लेकिन यह सिर्फ गणितीय सुविधा की बात नहीं है।
नियंत्रित-यू एक "उलझा हुआ" द्वार है।
एक बार उलझने के बाद, आप राज्य को "पहले रजिस्टर" और "दूसरे रजिस्टर" में अलग नहीं कर सकते।
केवल शुरुआत में ही अलग से इन रजिस्टरों के बारे में सोचें, या जब कोई उलझाव न हो। उलझने के बाद, आपकी सबसे अच्छी शर्त गणित (मैट्रिक्स गुणन) के माध्यम से पूरी तरह से काम करना है, और आप वास्तव में नीलसन और चुआंग द्वारा दिए गए राज्य प्राप्त करेंगे।

सवाल उठाने की कोशिश कर रहा हूं, लेकिन जब तक मेरी 15 प्रतिष्ठा नहीं है, तब तक इंतजार करने की जरूरत है।

मैं कोई उलझाव नहीं देख सकता। दोनों रजिस्टरों के बीच आउटपुट अलग-अलग प्रतीत होता है। पहले रजिस्टर की स्थिति है, जबकि दूसरे रजिस्टर की स्थिति है।

\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 1} φ) | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 2} φ) | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{0} φ) | 1 ⟩)

$\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)$

| u ⟩

$|u\rangle$

— सांच्यन दत्ता

@ लेकिन मैं इसे पूर्ण उत्तर के रूप में नहीं लिखता क्योंकि मुझे स्वयं अपने मन में अवधारणा को आंतरिक रूप से समझना मुश्किल है, वैसे भी यह "फेज़ किक-बैक" घटना के कारण है, और यह वास्तव में इस तथ्य के कारण भी है कि नियंत्रण और लक्ष्य कुछ उलझे हुए हैं। कोशिश करें और मोस्का की पीएचडी थीसिस की धारा 2.2 को पढ़ें, यह अब तक मुझे मिला सबसे अच्छा विवरण है।

— FSIC

@ F.Siciliano ठीक है, धन्यवाद। मैं इसे एक पठन

— सांचायण दत्त