क्या स्थानीय क्लिफर्ड तुल्यता का गैर-प्रमुख आयाम के क्वैडिट ग्राफ राज्यों के लिए प्रत्यक्ष चित्रमय प्रतिनिधित्व है?

Question

यह प्रश्न पिछले QCSE प्रश्न का अनुवर्ती है: " क्या क्वाडिट ग्राफ गैर-प्रमुख आयाम के लिए अच्छी तरह से परिभाषित हैं? " प्रश्न के उत्तर से, ऐसा प्रतीत होता है कि उपयोग करने वाले ग्राफ राज्यों को परिभाषित करने में कुछ भी गलत नहीं है$d$-दैवीय विचित्रताएं, हालांकि, ऐसा लगता है कि ग्राफ-राज्यों के अन्य निश्चित पहलू समान रूप से गैर-प्रधान आयाम का विस्तार नहीं करते हैं।

विशेष रूप से, क्वेट ग्राफ स्टेट्स के लिए, उनके प्रचलन और उपयोग के लिए एक महत्वपूर्ण पहलू यह तथ्य है कि: कोई भी दो ग्राफ स्टेट्स स्थानीय क्लिफोर्ड के समतुल्य होते हैं यदि और केवल स्थानीय पूरकता के कुछ अनुक्रम होते हैं जो एक ग्राफ को दूसरे (सरल के लिए) लेता है। अप्रत्यक्ष रेखांकन)। कहने की जरूरत नहीं है, यह क्वांटम त्रुटि सुधार, उलझाव और नेटवर्क आर्किटेक्चर के विश्लेषण में एक अविश्वसनीय रूप से उपयोगी उपकरण है।

विचार करते हुए $n$-क्वेट ग्राफ बताता है, समतुल्य ग्राफ अब आसन्न मैट्रिक्स साथ भारित होता है , जहां किनारे का वजन होता है ( साथ यह दर्शाता है कि कोई किनारे मौजूद नहीं है)। Qudit मामले में, यह दिखाया गया था कि LC तुल्यता को समान रूप से स्थानीय पूरकता ( ) के सामान्यीकरण और एक किनारे गुणा ऑपरेशन ( ) के शामिल किए जाने से बढ़ाया जा सकता है , जहाँ: जहाँ a, b = 1, \ ldots, d-1$A \in \mathbb{Z}_d^{n \times n}$$A_{ij}$$(i,j)$$A_{ij}=0$$\ast_a v$$\circ_b v$

$$\begin{align} \ast_a v &: A_{ij} \mapsto A_{ij} + aA_{vi}A_{vj} \quad \forall\;\; i,j \in N_G(v), \;i \neq j \\ \circ_b v &: A_{vi} \mapsto bA_{vi} \quad\forall\;\; i \in N_G(v), \end{align}$$ $a, b = 1, \ldots, d-1$और सभी अंकगणित modulo p किया जाता है $p$।

आलेखीय रूप से, यह निम्नलिखित परिचालनों द्वारा दर्शाया गया है ( Ref। 2 से पुन: प्रस्तुत ):

हालांकि, यदि ग्राफ राज्य को गैर-प्रमुख आयाम के क्विट्स पर परिभाषित किया गया है, तो हम इन कार्यों को देख सकते हैं (प्रतीत होता है) एलसी-तुल्यता का प्रतिनिधित्व करने में विफल हैं।

उदाहरण के लिए, qudit स्टेट लें rangle ने चित्र में ग्राफ को दर्शाया है। 1, जिसे qudit डाइमेंशन लिए परिभाषित किया गया है , और , जैसे कि । इस मामले में प्रदर्शन कर रहे हैं फिर , और इसलिए qudit को केवल स्थानीय परिचालनों का उपयोग करके अन्य सभी qudits से अलग किया गया है। स्पष्ट रूप से यह गलत है और पिछले प्रश्नों के उत्तर में वर्णित शून्य विभाजकों की समस्या के कारण होता है ।$|G\rangle$$G$$d=4$$x=y=z=2$$A_{12}=A_{13}=A_{14}=2$$\circ_2 1$$A_{1i} \mapsto 2 \times 2 = 4 \equiv 0 \bmod 4 \;\forall\; i$$1$

मेरा प्रश्न यह है: क्या ऐसे ग्राफ़ परिचालनों का कोई समूह है जो गैर-प्रमुख आयाम के क्वैड ग्राफ राज्यों के लिए स्थानीय क्लिफोर्ड समतुल्यता का ठीक से प्रतिनिधित्व करता हो?

नोट: मुझे मुख्य रूप से उन कार्यों में दिलचस्पी है जो किसी भी वेटेड ग्राफ के रूप में किसी राज्य के प्रतिनिधित्व पर सीधे लागू होते हैं, बजाय कई प्राइम-आयामी ग्राफ राज्यों में संभावित विघटन के, जैसा कि सेक में सुझाया गया है। 4.3 " बिल्कुल मैक्सिमली उलझा हुआ क्यूडिट ग्राफ स्टेट्स "।

Comments

चूंकि आपने नया टैग ग्राफ़-स्टेट्स बनाया है , तो क्या आप इसके लिए टैग विकी लिख सकते हैं? यहाँ जाओ । धन्यवाद।

— सांच्यन दत्ता

Answer 1

इस संदर्भ में मोडुलो अंकगणित का उपयोग करना गलत है। इसके बजाय परिमित क्षेत्र अंकगणित को लागू किया जाना चाहिए। में जहां और के संयोजन के रूप में परिभाषित किया गया है ।$\textrm{GF}(4) = \{0, 1, x, x^2\}$$x^2 = x + 1$$a$$\bar{a} = a^2$

इसके बाद जोड़, गुणा और संयुग्मन सारणी इस प्रकार हैं:

इस चित्र में हमारे पास , , , और जैसे कि और इसलिए स्पष्ट असंगति उत्पन्न नहीं होती है।$0 \equiv 0$$1 \equiv 1$$2 \equiv x$$3 \equiv x^2$$2 \times 2 = 3$

Comments

"2" की क्या परिभाषा आप यहाँ उपयोग कर रहे हैं? के लिए किसी भी अन्य सम्मेलन को अनुपस्थित करें$\mathbb F = GF(4)$, मैं अनुमान लगाऊंगा $2 := 1_{\mathbb F} + 1_{\mathbb F} = 0_{\mathbb F} =: 0$, कौनसे मामलेमें $2\times 2 = 0$।

— निएल डे ब्यूड्रैप

मैंने एक स्पष्ट संपादन जोड़ा है :)

— SLesslyTall