केवल Toffoli गेट का उपयोग करके CCCNOT गेट को लागू करना

CCCNOT गेट एक चार-बिट प्रतिवर्ती गेट है जो अपनी चौथी बिट को फ़्लिप करता है अगर और केवल अगर पहले तीन बिट्स सभी राज्य । $1$

मैं टोफोली गेट्स का उपयोग करके CCCNOT गेट को कैसे लागू करूंगा? मान लें कि कार्यक्षेत्र में बिट्स किसी विशेष मान से शुरू होते हैं, या तो 0 या 1, बशर्ते आप उन्हें उस मूल्य पर लौटा दें।

quantum-gate gate-synthesis

— chuster
स्रोत

केवल टोफोली द्वार, या टोफोली और CNOT का उपयोग करना उचित खेल है?

— user1271772

केवल टोफोली फाटक की अनुमति है।

— चस्टर

इस प्रश्न का कौन सा भाग क्वांटम है? ऐसा लगता है कि आप एक शास्त्रीय प्रतिवर्ती गेट (CCCNOT) को छोटे शास्त्रीय प्रतिवर्ती गेट्स (CCNOTs) में बदलना चाहते हैं।

— user1271772

प्रश्न स्वयं क्वांटम कंप्यूटिंग से संबंधित नहीं है, लेकिन गेट्स क्वांटम सर्किटरी के लिए महत्वपूर्ण हैं।

— चस्टर 1918

मुझे लगता है कि आप जो देख रहे हैं वह निम्नलिखित सर्किट है। यहाँ, , और modulo । $b_1,b_2,b_3,b_4 \in \{0,1\}$ $\oplus$ $2$

यहाँ, पाँचवीं पंचाट का उपयोग सहायक , या अनीला पंचक के रूप में किया जाता है । यह शुरू होता है और समाप्त होता है। सर्किट लागू होने पर । $|0\rangle$ $|0\rangle$

मुझे इस बारे में विस्तार से बताएं कि यह सर्किट कैसे काम करता है। यह विचार सबसे पहले है कि क्या पहले दो क्वाइल राज्य में हैं । यह एक एकल टोफोली गेट का उपयोग करके किया जा सकता है, और परिणाम सहायक qubit में संग्रहीत किया जाता है। अब, समस्या कम हो जाती है flipping qubit , जब भी qubit और सहायक qubit में होती हैं | यह एक टोफोली गेट के एक अनुप्रयोग का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है, अर्थात् ऊपर दिखाए गए सर्किट में मध्य एक। अंत में, अंतिम टोफोली गेट उस अस्थायी परिणाम को अनसुना करने का कार्य करता है जिसे हमने सहायक qubit में संग्रहीत किया था, जैसे कि इस qubit की स्थिति सर्किट के लागू होने के बाद वापस आती है । $|1\rangle$ $4$ $3$ $|1\rangle$ $|0\rangle$

टिप्पणी अनुभाग में, यह सवाल उठाया गया कि क्या सहायक तंतुओं का उपयोग किए बिना, केवल टोफोली गेट्स का उपयोग करके इस तरह के सर्किट को लागू करना संभव है। इस प्रश्न का उत्तर नकारात्मक में दिया जा सकता है, जैसा कि मैं यहां दिखाऊंगा।

हम -gate को लागू करना चाहते हैं , जो चार क्विट पर कार्य करता है। हम निम्नलिखित मैट्रिक्स (पॉलि- गेज का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व ) को परिभाषित कर सकते हैं : इसके अलावा, हम -dimensional पहचान मैट्रिक्स को निरूपित करते हैं । अब, हम देखते हैं कि -गेट का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व , चार क्विट पर अभिनय करते हुए, निम्नलिखित मैट्रिक्स द्वारा दिया जाता है : इसलिए, हम इसके निर्धारक को निर्धारित कर सकते हैं: $\mathrm{CCCNOT}$ $X$

X = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]

$X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

N

$N$

I_{N}

$I_N$

C C C N O T

$\mathrm{CCCNOT}$

16 \times 16

$16 \times 16$

C C C N O T = [\begin{matrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{matrix}]

$\mathrm{CCCNOT} = \begin{bmatrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix}$

det (C C C N O T) = - 1

$\det(\mathrm{CCCNOT}) = -1$ अब टोफोली गेट के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व पर विचार करें, -क्वेट सिस्टम के पहले तीन क्विट पर अभिनय करते हैं । इसका मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व के रूप में लिखा गया है (जहां हमने के क्रोनकर उत्पाद का इस्तेमाल किया है): अपने निर्धारक पैदावार की गणना:

4

$4$

टी ओ च च ओ एल मैं \otimes {मैं}_{2} = [\begin{matrix} {मैं}_{6} & 0 \\ 0 & एक्स \end{matrix}] \otimes {मैं}_{2} = [\begin{matrix} {मैं}_{12} & 0 \\ 0 & एक्स \otimes {मैं}_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} {मैं}_{12} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {मैं}_{2} \\ 0 & {मैं}_{2} & 0 \end{matrix}]

$\mathrm{Toffoli} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_6 & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{12} & 0 \\ 0 & X \otimes I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{12} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_2 \\ 0 & I_2 & 0 \end{bmatrix}$

det (टी ओ च च ओ एल मैं \otimes {मैं}_{2}) = 1

$\det(\mathrm{Toffoli} \otimes I_2) = 1$

टोफोली फाटक भी अलग-अलग मात्रा के पाठ्यक्रम पर कार्य कर सकते हैं। मान लीजिए कि हमने टोफोली फाटक को पहली, दूसरी और चौथी कतार पर कार्य करने दिया, जहाँ चौथी कतार लक्ष्य की कक्षा है। फिर हम नए मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व प्राप्त से एक कॉलम कहा गया है कि तीसरे और चौथे qubit में केवल भिन्न होते हैं, यानी, के लिए इसी को स्वैप करके ऊपर प्रदर्शित साथ , साथ , इत्यादि यहाँ ध्यान देने योग्य महत्वपूर्ण बात यह है कि स्तम्भों के स्वैप की संख्या सम है, और इसलिए कि निर्धारक अपरिवर्तित रहता है। जैसा कि हम सिर्फ qubits (यानी, के लगातार क्रमपरिवर्तन के अनुक्रम के रूप में प्रत्येक क्रमपरिवर्तन को लिख सकते हैं

| 0001 ⟩

$|0001\rangle$

| 0010 ⟩

$|0010\rangle$

| 0101 ⟩

$|0101\rangle$

| 0110 ⟩

$|0110\rangle$

2

$2$

S_{4}

$S_4$

में ट्रांसपोज़िशन द्वारा उत्पन्न होता है ), हम पाते हैं कि सभी टोफोली गेट्स के लिए, किसी भी नियंत्रण और लक्ष्य qubits के संयोजन पर लागू किया गया है, इसके मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व में निर्धारक है ।

S_{4}

$S_4$

1

$1$

ध्यान देने वाली अंतिम बात यह है कि निर्धारणकर्ता मैट्रिक्स गुणन के साथ संगत दो गुणा और के लिए मैट्रिक्स गुणा, यानी, के साथ करता है। इसलिए, यह अब स्पष्ट हो जाता है कि अनुक्रम में एक से अधिक Toffoli फाटकों को लागू करने के एक सर्किट जिसका मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व से एक निर्धारक अलग है बनाता है कभी नहीं है, जो विशेष रूप से संकेत मिलता है कि -gate पर केवल Toffoli फाटकों का उपयोग कर लागू नहीं किया जा सकता है qubits । $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ $A$ $B$ $1$ $\mathrm{CCCNOT}$ $4$

स्पष्ट प्रश्न, अब, क्या परिवर्तन है जब हम एक सहायक qubit की अनुमति देते हैं। इसका उत्तर हमें तब मिलता है जब हम की कार्रवाई को हैं- -bitbit प्रणाली पर: यदि हम इस निर्धारक की गणना करते हैं, तो हम पाते हैं : इसलिए, के निर्धारक पर -gate अभिनय qubits है के बजाय । यही कारण है कि पिछला तर्क लिए मान्य नहीं है $\mathrm{CCCNOT}$ $5$

C C C N O T \otimes I_{2} = [\begin{matrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{matrix}] \otimes I_{2} = [\begin{matrix} I_{28} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_{2} \\ 0 & I_{2} & 0 \end{matrix}]

$\mathrm{CCCNOT} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{28} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_2 \\ 0 & I_2 & 0 \end{bmatrix}$

det (C C C N O T \otimes I_{2}) = 1

$\det(\mathrm{CCCNOT} \otimes I_2) = 1$

C C C N O T

$\mathrm{CCCNOT}$

5

$5$

1

$1$

- 1

$-1$

5

$5$ qubits, जैसा कि हम पहले से ही जानते थे कि स्पष्ट रूप से निर्मित सर्किट के कारण ओपी ने पूछा था।

— arriopolis
स्रोत

सर्किट प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाने वाला स्रोत, या विधि उपयोगी होगी!

— glS

मुझे ऐसे किसी स्रोत के बारे में पता नहीं है जो यह समझाता है कि इस तरह के सर्किट को व्यापक तरीके से कैसे डिज़ाइन किया जाए। क्वांटम कंप्यूटिंग के बारे में सीखते समय मैंने जिन स्रोतों का उपयोग किया था, वे नीलसन और चुआंग की पुस्तक थी, और व्याख्यान नोट्स जो यहां मिल सकते हैं: homepages.cwi.nl/~rdewolf/qcnotes.pdf , लेकिन ये स्रोत विशेष रूप से डिज़ाइन पर ध्यान केंद्रित नहीं करते हैं क्वांटम सर्किट के।

— एरोपोलिस

मैंने इस बारे में विस्तार से बताने की कोशिश की कि सर्किट कुछ और कैसे काम करता है। आशा है कि यह इस एक के समान सर्किट डिजाइन करने में मदद करता है! :)

— एरोपोलिस

क्या यह सहायक के बिना संभव है?

— user1271772

दिलचस्प सवाल है, लेकिन मुझे ऐसा नहीं लगता। जब भी कोई चार क्विट सिस्टम पर अभिनय करने वाले टोफोली गेट के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व को लिखता है, तो इस मैट्रिक्स का निर्धारक । हालांकि, के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व के निर्धारक पर -gate अभिनय qubits है , तो यह Toffoli गेट के लगातार अनुप्रयोगों का निर्माण नहीं किया जा सकता। इस सहायक qubit के साथ, अंतर यह है कि -gate का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व हो जाता है ।

+ 1

$+1$

C C C N O T

$CCCNOT$

4

$4$

- 1

$-1$

C C C N O T

$CCCNOT$

+ 1

$+1$

— अरिपोपोलिस