क्या क्वांटम एल्गोरिथ्म का उपयोग करके वेटिंग मैट्रिक्स की पीढ़ी को गति देना संभव है?

Question

में इस ^[1] कागज, पेज 2 पर, वे उल्लेख है कि वे भार मैट्रिक्स पैदा कर रहे हैं इस प्रकार है:

$$W = \frac{1}{Md}[\sum_{m=1}^{m=M} \mathbf{x}^{(m)}\left(\mathbf{x}^{(m)}\right)^{T}] - \frac{\Bbb I_d}{d}$$

कहाँ पे $\mathbf{x}^{(m)}$के हैं $d$आयामी प्रशिक्षण के नमूने (यानी $\mathbf{x} := \{x_1,x_2,...,x_d\}^{T}$ कहाँ पे $x_i \in \{1,-1\} \ \forall \ i\in \{1,2,...,d\}$) और वहाँ है $M$कुल में प्रशिक्षण नमूने। मैट्रिक्स गुणन का उपयोग करके वेटिंग मैट्रिक्स की यह पीढ़ी एक राशि से अधिक के बाद$M$ शब्द समय जटिलता के संदर्भ में एक महंगा ऑपरेशन प्रतीत होता है अर्थात मुझे लगता है $O(Md)$ (?)।

क्या कोई क्वांटम एल्गोरिथ्म मौजूद है जो भारित मैट्रिक्स की पीढ़ी के लिए पर्याप्त गति प्रदान कर सकता है? मुझे लगता है कि कागज में उनका मुख्य स्पीड क्वांटम मैट्रिक्स इनवर्जन एल्गोरिथ्म (जो बाद में कागज पर उल्लिखित है) से आता है, लेकिन वे वेटिंग मैट्रिक्स पीढ़ी के इस पहलू पर ध्यान नहीं देते हैं।

[१]: क्वांटम होपफील्ड न्यूरल नेटवर्क लॉयड एट अल। (2018)

Answer 1

घनत्व मैट्रिक्स लेना

$$\rho=W+\frac{I_d}{d}=\frac 1M \sum_{m=1}^M\left|x^{\left(m\right)}\rangle\langle x^{\left(m\right)}\right|,$$ कई विवरण सभी पृष्ठ 2 पर निम्नलिखित पैराग्राफ में निहित हैं:

तंत्रिका नेटवर्क के क्वांटम रूपांतरों के लिए महत्वपूर्ण शास्त्रीय-से-क्वांटम रीड-इन सक्रियण पैटर्न है। हमारी सेटिंग में, सक्रियण पैटर्न में पढ़ना$x$ क्वांटम राज्य को तैयार करने की मात्रा $|x〉$। यह सिद्धांत रूप में क्वांटम रैंडम एक्सेस मेमोरी (qRAM) [33] या कुशल क्वांटम राज्य की तैयारी की विकासशील तकनीकों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, जिसके लिए प्रतिबंधित, ओरेकल आधारित, परिणाम मौजूद हैं [34]। दोनों मामलों में, कम्प्यूटेशनल ओवरहेड के संदर्भ में लघुगणकीय है$d$। एक वैकल्पिक रूप से एक पूरी तरह से क्वांटम परिप्रेक्ष्य को अनुकूलित कर सकता है और सक्रियण पैटर्न ले सकता है$|x〉$सीधे क्वांटम डिवाइस से या क्वांटम चैनल के आउटपुट के रूप में। पूर्व के लिए, हमारी तैयारी का रन समय कुशल है जब भी क्वांटम डिवाइस कई द्विपदीय रूप से क्वैब की संख्या के साथ स्केलिंग गेट्स से बना होता है। इसके बजाय, बाद के लिए, हम आम तौर पर चैनल को कुछ निश्चित सिस्टम-पर्यावरण इंटरैक्शन के रूप में देखते हैं जिन्हें लागू करने के लिए कम्प्यूटेशनल ओवरहेड की आवश्यकता नहीं होती है।

उपरोक्त संदर्भ हैं:

[३३]: वी। जियोवन्नेटी, एस। लॉयड, एल। मैककोन, क्वांटम रैंडम एक्सेस मेमोरी, फिजिकल रिव्यू लेटर्स १००, १६०५०१ (२०० 2008) [ पीआरएल लिंक , आरएक्सआई लिंक ]

[३४]: एएन सोकलाकोव, आर। स्केक, क्वांटम बिट्स के एक रजिस्टर के लिए कुशल राज्य की तैयारी, शारीरिक समीक्षा ए 30३, ०१२३० ((२००६)। [ PRA लिंक , arXiv लिंक ]

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कैसे के विवरण में जाने के बिना, ऊपर के दोनों वास्तव में क्रमशः एक कुशल qRAM को लागू करने के लिए योजनाएं हैं; और राज्य को फिर से तैयार करने वाली कुशल राज्य तैयारी$\left|x\right>$ समय के भीतर $\mathcal O\left(\log_2 d\right)$।

हालाँकि, यह केवल हमें अभी तक मिलता है: इसका उपयोग राज्य बनाने के लिए किया जा सकता है $\rho^{\left(m\right)} = \left|x^{\left(m\right)}\rangle\langle x^{\left(m\right)}\right|$, जबकि हम सभी संभव पर एक राशि चाहते हैं $m$'है।

महत्वपूर्ण बात है, $\rho = \sum_m\rho^{\left(m\right)}/M$ मिश्रित है, इसलिए एक एकल शुद्ध राज्य द्वारा प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है, इसलिए शुद्ध राज्यों को फिर से बनाने पर उपरोक्त दो संदर्भों में से दूसरा लागू नहीं होता है और पहले राज्य को qRAM में होने की आवश्यकता होती है।

जैसे, लेखक तीन संभावित धारणाओं में से एक बनाते हैं:

1. उनके पास एक उपकरण है जो ऐसा होता है ताकि उन्हें सही इनपुट स्थिति दी जा सके

2. उनके पास या तो राज्य हैं $\rho^{\left(m\right)}$ qRAM में,

3. वे उपरोक्त संदर्भों में से दूसरे का उपयोग करते हुए, उन राज्यों को बनाने में सक्षम हैं। मिश्रित राज्य को तब एक क्वांटम चैनल (यानी पूरी तरह से सकारात्मक, ट्रेस संरक्षण (CPTP) मानचित्र) का उपयोग करके बनाया जाता है ।

क्षण के लिए उपरोक्त विकल्पों में से पहले दो के बारे में भूल जाना (पहले जादुई समस्या को वैसे भी हल करता है), चैनल या तो कर सकता है:

• एक इंजीनियर प्रणाली, जिसमें यह एक विशिष्ट उदाहरण के लिए एक एनालॉग सिमुलेशन में कुछ के लिए बनाया जाएगा। दूसरे शब्दों में, आपको एक भौतिक चैनल मिला है जो समय की एक भौतिक लंबाई लेता है$t$(कुछ समय जटिलता के विपरीत)। यह "फिक्स्ड सिस्टम-एनवायरनमेंट इंटरैक्शन है जिसे लागू करने के लिए कम्प्यूटेशनल ओवरहेड की आवश्यकता नहीं है।"

• चैनल खुद नकली है। इस पर कुछ पेपर हैं, जैसे कि क्वांटम चैनलों के Bény और Oreshkov के अनुमानित सिमुलेशन ( arXiv लिंक - यह पूरी तरह से पेपर की तरह दिखता है, लेकिन मैं किसी भी समय जटिलता बयान नहीं पा सका), लू एट। अल। प्रायोगिक क्वांटम चैनल सिमुलेशन (कोई arXiv संस्करण मौजूद नहीं है) और वेई, शिन और लॉन्ग के arXiv प्रिफरेंस आईबीएम के क्लाउड क्वांटम कंप्यूटर में कुशल यूनिवर्सल क्वांटम चैनल सिमुलेशन , जो (संख्याओं की संख्या के लिए)$n=\lceil\log_2 d\rceil$) एक समय की जटिलता देता है $\mathcal O\left(\left(8n^3+n+1\right)4^{2n}\right)$। की जटिलता के साथ, स्टाइन्सप्रिंग फैलाव का भी उपयोग किया जा सकता है$\mathcal O\left(27n^34^{3n}\right)$।

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अब विकल्प 2 ^{1 को देखते हुए} , एक संभावित अधिक कुशल तरीका यह होगा कि राज्यों को एड्रेस रजिस्टर से डेटा रजिस्टर में सामान्य विधि में स्थानांतरित किया जाए: रजिस्टर में पते के लिए$a$, $\sum_j\psi_j\left|j\right>_a$, इसे डेटा रजिस्टर में स्थानांतरित करने से राज्य डेटा रजिस्टर में आ जाता है $d$ जैसा $\sum_j\psi_j\left|j\right>_a\left|D_j\right>_d$। यह संभव है कि पते और डेटा रजिस्टर को एक मिश्रित स्थिति में बदल दिया जाए, जो एक छोटे समय में उपरि दे, हालांकि कोई अतिरिक्त कम्प्यूटेशनल जटिलता ओवरहेड नहीं है, जिससे उत्पादन में बहुत सुधार हुआ है।$\rho$, राज्यों के साथ एक qRAM दिया $\left|x^{\left(m\right)}\right>$, का $\mathcal O\left(n\right)$। यह राज्यों के निर्माण की जटिलता भी है$\left|x^{\left(m\right)}\right>$ पहली जगह में, उत्पादन की एक संभावित (बहुत सुधार) जटिलता दे रही है $\rho$ का $\mathcal O\left(n\right)$।

^{1 चैट में इस संभावना को इंगित करने के लिए @glS के साथ धन्यवाद}

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इस घनत्व मैट्रिक्स को तब 'qHop' (क्वांटम हॉपफील्ड) में खिलाया जाता है, जहाँ इसका उपयोग अनुकरण करने के लिए किया जाता है $e^{-iAt}$ के लिये

$$A=\begin{pmatrix}W-\gamma I_d && P\\ P&& 0\end{pmatrix}$$ पृष्ठ 8 पर " कुशल हैमिल्टनियन सिमुलेशन ऑफ ए " के अनुसार।

Comments

अपने संपादन के बारे में छोटे नोट के रूप में: आपको वास्तव में पते के रजिस्टर को "डिकोहेयर" करने की आवश्यकता नहीं है, या वास्तव में कुछ भी करना है। इसका उपयोग नहीं करने का सरल तथ्य डेटा रजिस्टर की सामग्री को विभिन्न के मिश्रण से अप्रभेद्य बनाता है$|D_j\rangle$

— glS