टोफोली गेट और पोपस्कु-रोर्लिच बॉक्स के बीच क्या संबंध है?

Question

पृष्ठभूमि

टोफोली गेट एक 3-इनपुट, 3-आउटपुट शास्त्रीय लॉजिक गेट है। यह भेजता है के लिए ( एक्स , वाई , एक ⊕ ( एक्स ⋅ y ) ) । यह महत्वपूर्ण है कि यह प्रतिवर्ती (शास्त्रीय) गणना के लिए सार्वभौमिक है।$(x, y, a)$$(x, y, a \oplus (x \cdot y))$

पोपेसु-रोहलिच बॉक्स एक गैर-सिग्नलिंग सहसंबंध का सबसे सरल उदाहरण है। यह आदानों की एक जोड़ी लेता है और आउटपुट ( एक , ख ) संतोषजनक एक्स ⋅ y = एक ⊕ ख ऐसी है कि एक और ख दोनों वर्दी यादृच्छिक परिवर्तनीय हैं। यह ( लेकिन सभी नहीं ) गैर-संकेतन सहसंबंधों के एक निश्चित वर्ग के लिए सार्वभौमिक है ।$(x, y)$$(a, b)$$x \cdot y = a \oplus b$$a$$b$

मेरी आँखों के लिए, इन दो वस्तुओं, अत्यंत समान लग विशेष रूप से अगर हम इसे उत्पादन होने से पीआर बॉक्स बढ़ाने । यह 2-इनपुट, 4-आउटपुट पीआर बॉक्स "3-इनपुट, 3-आउटपुट टोफोली गेट है लेकिन एक यादृच्छिक आउटपुट द्वारा प्रतिस्थापित तीसरे इनपुट के साथ। लेकिन मैं उनसे संबंधित किसी भी संदर्भ का पता लगाने में असमर्थ रहा हूं।$(x, y, a, b) = (x, y, a, a \oplus (x \cdot y))$

सवाल

टोफोली गेट और पोपस्कु-रोर्लिच बॉक्स के बीच क्या संबंध है? क्या प्रतिवर्ती शास्त्रीय सर्किट और (एक निश्चित वर्ग?) गैर-संकेतन सहसंबंधों के बीच एक पत्राचार जैसा कुछ है जो एक से दूसरे में मैप करता है?

टिप्पणियों

1. $x$$x$

2. $x$$(a, x \cdot a)$$a$$x \cdot a$$0$$x = 0$$x$$x \cdot a$। लेकिन इस प्रक्रिया को पहले से ही यादृच्छिकता के एक साझा स्रोत के साथ शास्त्रीय रूप से पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है। इसलिए मैं उम्मीद करूंगा कि अपरिवर्तनीय फाटकों सहित गैर-सिग्नलिंग सहसंबंधों के वर्ग का विस्तार नहीं कर सकता है जो कोई भी निर्माण कर सकता है।

Answer 1

टोफोली गेट्स और पीआर बक्से से संबंधित एक प्राकृतिक तरीका है कि वे दोनों को दो बाइनरी इनपुट के एंड फ़ंक्शन के प्रतिनिधित्व के रूप में देखें, लेकिन अलग-अलग तरीकों से। AND फ़ंक्शन के साथ संबंध स्पष्ट और प्रश्न द्वारा स्पष्ट रूप से स्वीकार किया गया है, लेकिन मैं इसे कुछ अलग तरीके से व्यक्त करूंगा:

1. $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$$|x,a\rangle \mapsto |x,a\oplus f(x)\rangle$

2. $(x,y)$$(\text{AND}(x,y)\oplus a, a)$$(a,\text{AND}(x,y)\oplus a)$$a\in\{0,1\}$एक समान रूप से उत्पन्न यादृच्छिक बिट है। पीआर बॉक्स का उत्पादन इसलिए या तो पूरी तरह से सहसंबद्ध है या यादृच्छिक बिट्स की पूरी तरह से विरोधी सहसंबद्ध जोड़ी है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि इनपुट का AND क्रमशः 0 या 1 है। यह दिलचस्प है क्योंकि ऐलिस और बॉब सामूहिक रूप से AND फ़ंक्शन (जो वे अपने आउटपुट बिट्स के XOR को प्राप्त करके प्राप्त कर सकते हैं) के आउटपुट को जानते हैं, जबकि व्यक्तिगत रूप से उन्हें इस मूल्य के बारे में कोई जानकारी नहीं है।

यह विचार कि पीआर बॉक्स प्रभावी ढंग से इस वितरित तरीके से कार्य करता है और विम वैन डैम के प्रमाण में एक महत्वपूर्ण विचार है कि पीआर बॉक्स की उपस्थिति में संचार जटिलता तुच्छ हो जाती है:

विम वैन डैम। सुपरस्ट्रॉन्ग नॉनक्लोकैलिटी के निहित परिणाम। प्राकृतिक कम्प्यूटिंग 12 (1): 9-12, 2013।