क्या एडियबेटिक क्वांटम कंप्यूटिंग ग्रोवर के एल्गोरिदम से तेज हो सकती है?

यह साबित हो चुका है कि एडियाबेटिक क्वांटम कंप्यूटिंग "मानक", या गेट-मॉडल क्वांटम कंप्यूटिंग के बराबर है। हालांकि, एडियाबेटिक कंप्यूटिंग, अनुकूलन समस्याओं के लिए वादे दिखाता है, जहां उद्देश्य एक फ़ंक्शन को कम करना (या अधिकतम करना) है जो किसी तरह से समस्या से संबंधित है - अर्थात, उस उदाहरण को खोजना जो कम से कम करता है (या अधिकतम करता है) यह फ़ंक्शन तुरंत हल करता है। मुसीबत।

अब, यह मुझे लगता है कि ग्रोवर का एल्गोरिथ्म अनिवार्य रूप से एक ही कर सकता है: समाधान स्थान पर खोज करने से, यह एक समाधान (संभवतः कई समाधानों में से) का पता लगाएगा जो ओरेकल मानदंड को संतुष्ट करता है, जो इस मामले में इष्टतम स्थिति के बराबर है, देखो समय में , जहां $O(\sqrt N)$ $N$ समाधान स्थान का आकार है।

इस एल्गोरिथ्म को इष्टतम दिखाया गया है: बेनेट एट अल के रूप में। (1997) ने इसे रखा, "क्लास को समय में एक क्वांटम ट्यूरिंग मशीन पर हल नहीं किया जा सकता है "। मेरी समझ में, इस का अर्थ है कि तेजी से अंतरिक्ष के माध्यम से खोज के द्वारा एक समाधान पाता है कि किसी भी क्वांटम एल्गोरिथ्म के निर्माण के लिए कोई रास्ता नहीं है $\rm NP$ $o(2^{n/2})$ , जहां $O(\sqrt N)$ $N$ समस्या के आकार के साथ तराजू।

तो मेरा सवाल यह है: जबकि एडियाबेटिक क्वांटम कंप्यूटिंग को अक्सर अनुकूलन के रूप में प्रस्तुत किया जाता है जब यह अनुकूलन समस्याओं की बात आती है, तो क्या यह वास्तव में से तेज हो सकता है? यदि हाँ, तो यह ग्रोवर के एल्गोरिथ्म की इष्टतमता के विपरीत है, क्योंकि किसी भी एडिबैटिक एल्गोरिथम को क्वांटम सर्किट द्वारा सिम्युलेट किया जा सकता है। यदि नहीं, तो एडियाबेटिक एल्गोरिदम को विकसित करने का क्या मतलब है, अगर वे कभी किसी ऐसी चीज से तेज नहीं होने जा रहे हैं जिसे हम सर्किट के साथ व्यवस्थित रूप से बना सकते हैं? या मेरी समझ में कुछ गड़बड़ है? $O(\sqrt N)$

grovers-algorithm adiabatic-model

— डियोन जे डॉन कीवी वैन वर्मिंगन
स्रोत

जवाबों:

अच्छा प्रश्न। असंरचित खोज के लिए, स्थिरोष्म क्वांटम गणना वास्तव में ठीक उसी देता है स्पीडअप जो मानक गेट-आधारित ग्रोवर का एल्गोरिथ्म करता है, जैसाकि रोलांड और सेर्फ़ द्वाराइसमहत्वपूर्ण पेपरमें साबित हुआ है। यह आपके द्वारा उल्लिखित एडियाबेटिक और गेट-आधारित क्वांटम गणना के बीच समानता से सहमत है। $\sqrt{N}$

(आपके प्रश्न के लिए एक मामूली सुधार: आप सही हैं कि ओरेकल-खोज समस्या के लिए सेटअप में, आपको अपनी खोज क्वेरी को हां / ना प्रश्न के रूप में फ्रेम करना होगा जो कि ऑर्कल उत्तर दे सकता है। लेकिन प्रश्न वास्तव में नहीं लिया गया है। जैसा कि " ने फ़ंक्शन ?" को बढ़ा दिया है , जैसा कि आपने प्रस्तावित किया है। इसके बजाय, यह " से कम या बराबर है ?" स्लाइड 9 और 10 यहां देखें । ऐसा इसलिए है क्योंकि बाद के लिए एक ओरेकल है। भौतिक सेटअप के लिए प्रश्न को अधिक यथार्थवादी मॉडल माना जाता है, जहां यह 'एक अनुमान है कि कोई किसी दिए गए लिए सीधे $x$ $f(x)$ $f(x)$ $M$ $f(x)$ $x$ ,परंतु ।) $f(x) - f_\text{min}$

फिर भी, एडियाबेटिक क्यूसी के दो संभावित लाभ हैं, जिनमें से दोनों को सैद्धांतिक रूप से अध्ययन करना मुश्किल है। पहला व्यावहारिक है: वास्तव में बड़े सुसंगत क्वांटम सर्किट का निर्माण एक पूरी तरह से कठिन है जो उन्हें केवल एक पत्रिका लेख में चित्रित करता है। भले ही एडियाबेटिक क्यूसी का पारंपरिक सेटअप पर कोई मौलिक लाभ नहीं है , लेकिन प्रयोगात्मक रूप से इसे लागू करना बहुत आसान हो सकता है।

दूसरे, एक ही विशाल चेतावनी मानक ग्रोवर के एल्गोरिथ्म के रूप में AQC पर लागू होती है: यह केवल असंरचित पर लागू होती है या "ब्लैक-बॉक्स" खोज , जहां हम उन उत्तरों के बीच किसी भी सहसंबंध को अनदेखा करते हैं जो कि "समान" या "" में खिलाया जाता है। संबंधित "प्रश्न। कोई भी वास्तविक खोज समस्या जिसके बारे में हम परिभाषा देते हैं, उसकी कुछ संरचना होती है, हालाँकि यह संरचना हमारे लिए विश्लेषण करने के लिए बहुत जटिल हो सकती है। उदाहरण के लिए, यदि हम फ़ंक्शन को ऊर्जा परिदृश्य के रूप में चरम पर पहुंचाने के बारे में सोचते हैं, तो यह उचित लगता है कि सिस्टम "दूर" की तुलना में "पास" स्थानीय मिनीमाता के बीच अधिक आसानी से सुरंग बना सकता है।

तो वास्तव में एक वास्तविक प्रयोग में एडियाबेटिक बनाम गेट-आधारित सेटअप के सापेक्ष लाभों की तुलना करने के लिए, आपको "सापेक्षता अवरोध को दूर करने" की आवश्यकता होगी और उस विशिष्ट फ़ंक्शन की संरचना पर विचार करना होगा जिसे आप चरम पर लाने की कोशिश कर रहे हैं, जिसे आमतौर पर वास्तव में करना मुश्किल है। इससे वास्तविक दुनिया में दो दृष्टिकोणों के सापेक्ष लाभों के बारे में सामान्य निष्कर्ष निकालना बहुत मुश्किल हो जाता है। सैद्धांतिक रूप से बिना शर्त जटिलता पृथक्करण सिद्ध करना इतना कठिन भी है। हम सभी के लिए जानते हैं, वास्तविक दुनिया के लिए ओरेकल समस्याओं के बजाय, क्वांटम कंप्यूटर एक्सपोनेंशियल स्पीडअप देने में सक्षम हो सकते हैं - संभवतः एनपी-पूर्ण समस्याओं के लिए भी, जो कि एनपी बीक्यूपी का अर्थ होगा , हालांकि यह बहुत संभावना नहीं माना जाता है। $\subset$

— tparker
स्रोत

बहुत बढ़िया जवाब, बहुत धन्यवाद! एक और बात: "रिलेटिवेशन बाधा पर काबू पाने" से आपका वास्तव में क्या मतलब है?

— डियोन जे डॉन कीवी वैन वरुमिंगेन

@DonKiwi यह सैद्धांतिक सीएस शब्दजाल का एक अजीब सा है। अक्सर हम दावे के लिए कोई प्रमाण नहीं ढूंढ पाते हैं, लेकिन हम इस बात को साबित करने के लिए मेटा-परिणाम साबित कर सकते हैं कि दावे को साबित करने के लिए किस तरह के प्रमाण काम करेंगे या नहीं। एक "बाधा" एक परिणाम को संदर्भित करता है कि कुछ व्यापक श्रेणी के प्रमाण एक दावे को साबित करने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली नहीं हैं। उदाहरण के लिए, किसी भी सबूत है कि एक संरचित समस्या के लिए कुछ विशेष खोज एल्गोरिथ्म की तुलना में तेजी से देता है

\sqrt{N}

$\sqrt{N}$ स्पीडअप को विशेष समस्या संरचना के विवरणों का लाभ उठाने की आवश्यकता होगी - क्योंकि यदि यह नहीं होता है तो यह संभवतः ग्रोवर के एल्गोरिथ्म की तुलना में तेज नहीं हो सकता है,

— tparker

which has been proven to be optimal for unstructured search. That's what it means that the proof would need to "overcome the relativization barrier". Similarly, there exists an oracle

O

$O$ relative to which

P^{O} = {N P}^{O}

$\mathbf{P}^O = \mathbf{NP}^O$ , so any prove that

P \neq N P

$\mathbf{P}\neq \mathbf{NP}$ cannot relativize either (it can't use oracles). Remarkably, some proofs do relativize; for example, the proof of the time hierarchy theorem. This means that not only is

P \neq E X P T I M E

$\mathbf{P} \neq \mathbf{EXPTIME}$ , but

P^{O} \neq {E X P T I M E}^{O}

$\mathbf{P}^O \neq \mathbf{EXPTIME}^O$ for any oracle

O

$O$ !

— tparker

आह, यह अब समझ में आता है। मुझे इस क्षेत्र में किसी भी घटनाक्रम को देखने के लिए वास्तव में दिलचस्पी होगी।

— डायन जे डॉन कीवी वैन व्रीमुनिंजेन

Adiabatic क्वांटम अभिकलन कम्प्यूटेशनल जटिलता परिप्रेक्ष्य से सर्किट-आधारित क्वांटम गणना की तुलना में तेजी से कुछ भी नहीं कर सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक गणितीय प्रमाण है कि सर्किट-आधारित क्वांटम गणना कुशलता से एडियाबेटिक क्वांटम कम्प्यूटेशन [ इस पेपर के खंड 5 देखें ] का अनुकरण कर सकती है ।

क्या यह वास्तव में से तेज हो सकता है $\mathcal{O}(\sqrt{N})$ ?

जवाब न है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अगर AQC इसे कर सकता है, तो कहो, $\mathcal{O}(\log{N})$ , then circuit-based QC could also do it in $\mathcal{O}(\log{N})$ by the algorithm in section 5 of the paper I linked above. This would violate the optimality of $\mathcal{O}(\sqrt{N})$ for unstructured search.

— user1271772
स्रोत

I wonder where the downvote came from...

— user1271772