प्रेरणा

घनत्व मैट्रिक्स के पीछे प्रेरणा किसी दिए गए क्वांटम सिस्टम की स्थिति के बारे में ज्ञान की कमी का प्रतिनिधित्व करना है, इस प्रणाली के एक एकल विवरण के भीतर encapsulating, माप परिणामों के सभी संभावित परिणामों को देखते हुए, जिसे हम सिस्टम के बारे में जानते हैं। घनत्व मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व को वैश्विक चरणों से जुड़े किसी भी मुद्दे से छुटकारा पाने का अतिरिक्त फायदा है क्योंकि ज्ञान की कमी कई तरीकों से उत्पन्न हो सकती है:

| ϕ ⟩ ⟨ ϕ | = (e^{i φ} | ϕ ⟩) (e^{- i φ} ⟨ ϕ |) .

$|\phi\rangle\langle\phi|=(e^{i\varphi}|\phi\rangle)(e^{-i\varphi}\langle\phi|).$

ज्ञान की एक व्यक्तिपरक कमी - एक रेफरी आपके लिए राज्यों के एक सेट के लिए तैयार करता है प्रायिकता साथ , लेकिन आपको पता नहीं है कि कौन सा है। यहां तक कि अगर वे जानते हैं कि जो उन्होंने तैयार किया था, चूंकि आप नहीं करते हैं, इसलिए आपको इसका वर्णन करना होगा कि आप राज्यों के संभावित सेट और उनकी संबंधित संभावनाओं के बारे में क्या जानते हैं,। $\{|\phi_i\rangle\}$ $p_i$ $|\phi_j\rangle$ $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$
ज्ञान का एक उद्देश्य अभाव - यदि क्वांटम प्रणाली एक बड़ी उलझी हुई स्थिति का हिस्सा है, तो प्रणाली को शुद्ध स्थिति के रूप में वर्णित करना असंभव है, लेकिन माप के सभी संभावित परिणामों का वर्णन घनत्व मैट्रिक्स द्वारा द्वारा प्राप्त किया गया है" । $\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$

हालांकि, यह दिलचस्प है कि ज्ञान के उद्देश्य की कमी व्यक्तिपरक हो सकती है - एक दूसरी पार्टी बाकी उलझी हुई स्थिति पर ऑपरेशन कर सकती है। वे माप परिणाम आदि को जान सकते हैं, लेकिन यदि वे उन पर से नहीं गुजरते हैं, तो मूल क्वांटम सिस्टम रखने वाले व्यक्ति को कोई नया ज्ञान नहीं है, और इसलिए पहले की तरह ही घनत्व मैट्रिक्स का उपयोग करके अपने सिस्टम का वर्णन करता है, लेकिन अब यह एक व्यक्तिपरक वर्णन है ।

यह भी ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि घनत्व मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करने का एक विशेष तरीका चुनना, उदाहरण के लिए,, एक बहुत ही व्यक्तिपरक विकल्प है। यह एक विशेष तैयारी प्रक्रिया से प्रेरित हो सकता है, लेकिन गणितीय रूप से, समान मैट्रिक्स देने वाला कोई भी विवरण समकक्ष है। उदाहरण के लिए, एक एकल qubit पर, को अधिकतम मिश्रित स्थिति के रूप में जाना जाता है। एक आधार के पूर्णता संबंध के कारण, इसे 50:50 मिश्रण या दो ऑर्थोगोनल राज्यों में किसी भी 1-qubit आधार का उपयोग करके प्रतिनिधित्व किया जा सकता है । $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$ $\rho=\frac12\mathbb{I}$

\frac{1}{2} I = \frac{1}{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 | = \frac{1}{2} | + ⟩ ⟨ + | + \frac{1}{2} | - ⟩ ⟨ - | .

$\frac12\mathbb{I}=\frac12|0\rangle\langle 0|+\frac12|1\rangle\langle 1|=\frac12|+\rangle\langle +|+\frac12|-\rangle\langle -|.$

शुद्ध और मिश्रित अवस्था

शुद्ध स्थिति और मिश्रित राज्य के घनत्व मैट्रिक्स के बीच का अंतर सीधा है - शुद्ध स्थिति एक विशेष मामला है जिसे फॉर्म में लिखा जा सकता है, जबकि मिश्रित अवस्था इस रूप में नहीं लिखी जा सकती। गणितीय रूप से, इसका मतलब है कि शुद्ध स्थिति का घनत्व मैट्रिक्स में रैंक 1 है, जबकि मिश्रित राज्य में रैंक 1 से अधिक है। इसकी गणना करने का सबसे अच्छा तरीका : का अर्थ है शुद्ध स्थिति, अन्यथा यह मिश्रित है। इसे देखने के लिए, उस याद रखें , जिसका अर्थ है कि सभी eigenvalues 1 को योग। इसके अलावा, सकारात्मक अर्ध-निश्चित है, इसलिए सभी eigenvalues वास्तविक और गैर-नकारात्मक हैं। तो, अगर $\rho=|\psi\rangle\langle\psi |$ $\text{Tr}(\rho^2)$ $\text{Tr}(\rho^2)=1$ $\text{Tr}(\rho)=1$ $\rho$ $\rho$ रैंक 1 है, हैं , और उनका योग-वर्ग स्पष्ट रूप से है। गैर-ऋणात्मक संख्याओं के किसी भी अन्य सेट का योग-वर्ग, जिसका योग 1 से कम होना चाहिए 1। $(1,0,0,\ldots ,0)$

शुद्ध स्थिति प्रणाली के सही ज्ञान से मेल खाती है, हालांकि क्वांटम यांत्रिकी के बारे में मजेदार बात यह है कि इससे संभावित माप परिणामों का पूरा ज्ञान नहीं होता है। मिश्रित राज्य कुछ अपूर्ण ज्ञान का प्रतिनिधित्व करते हैं, चाहे वह तैयारी का ज्ञान हो, या एक बड़े हिल्बर्ट स्थान का ज्ञान हो।

मिश्रित राज्य का वर्णन अधिक समृद्ध है, बलोच क्षेत्र के चित्र को एक ही qubit पर देखा जा सकता है: शुद्ध राज्य वे सभी हैं जो गोलाकार की सतह पर हैं, जबकि मिश्रित राज्य वे सभी हैं जो वॉल्यूम के भीतर समाहित हैं। पैरामीटर की गिनती के संदर्भ में, दो मापदंडों के बजाय, आपको तीन की आवश्यकता है, बलोच वेक्टर की लंबाई के अनुरूप अतिरिक्त। जहां एक 3-तत्व यूनिट वेक्टर, पाउली मैट्रिसेस का वेक्टर है, और शुद्ध राज्य के लिए और मिश्रित राज्य के लिए ।

ρ = \frac{I + r \underline{n} \cdot \underline{σ}}{2},

$\rho=\frac{\mathbb{I}+r\underline{n}\cdot\underline{\sigma}}{2},$

\underline{n}

$\underline{n}$

\underline{σ}

$\underline{\sigma}$

r = 1

$r=1$

0 \leq r < 1

$0\leq r<1$

— DaftWullie
स्रोत

(+1) धन्यवाद, मेरी समझ के अनुसार, हमारे पास राज्य है और जानना चाहते हैं , और इसे खोजने का कोई तरीका नहीं है, इसलिए हम घनत्व को परिभाषित कर रहे हैं। मैट्रिक्स, क्या मैं सही हूँ? क्या हमारे पास अलग-अलग उद्देश्य के लिए घनत्व मैट्रिक्स की अलग-अलग परिभाषाएं हैं? जैसा कि, आपनेज्ञान की व्यक्तिपरक कमी के लिए और उद्देश्य के लिए , सबसे पहले, यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि ज्ञान की कमी से आपका क्या मतलब है?

| Ψ_{A B} ⟩

$|\Psi_{AB}\rangle$

| Ψ_{A} ⟩

$|\Psi_A\rangle$

ρ = \sum_{i} p_{i} | ϕ_{i} ⟩ ⟨ ϕ_{i} |

$\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$

ρ = {Tr}_{B} (ρ_{A B})

$\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$

— गोरीस्वामी

(contd।) दूसरे, क्या आप उदाहरण के साथ समझा सकते हैं कि आप व्यक्तिपरक और उद्देश्य से क्या मतलब रखते हैं ?

— 21

@taritgoswami उद्देश्य का अर्थ है कि हर कोई इससे सहमत है। इसलिए, अगर मैं एक शुद्ध राज्य बनाता हूं, और दुनिया के लिए घोषणा करता हूं, तो हर कोई जानता है कि वह राज्य क्या है। यह एक वस्तुगत तथ्य है। लेकिन, अगर अलग-अलग लोग किसी राज्य के बारे में अलग-अलग चीजें जानते हैं, उदाहरण के लिए, वे जानते हैं कि यह या तो है। 0> या | 1>, लेकिन मैंने इसे मापा है, और पता है कि यह 1 है>, लेकिन मैंने किसी और को नहीं बताया है, फिर हर कोई वे इसके बारे में क्या जानते हैं, इसके आधार पर राज्य का वर्णन करता है, इसलिए प्रत्येक विषय में राज्य का एक अलग, व्यक्तिगत, विवरण होता है।

— दफ्तुल्ली

@taritgoswami अगर वहाँ है जो उलझ गया है, तो वहाँ कोई धारणा नहीं है । ऐसा नहीं है कि हम इसे नहीं पा सकते हैं; यह मौजूद नहीं है। घनत्व मैट्रिक्स A का अपने आप में सबसे अच्छा विवरण है जो मौजूद हो सकता है क्योंकि A स्वयं के द्वारा एक स्थिति में मौजूद नहीं है, यह बी के साथ विलय होता है। हमारे पास घनत्व मैट्रिक्स की अलग-अलग परिभाषा नहीं है। वही मौलिक गुण धारण करते हैं, जो भी आप कर रहे हैं, यह सिर्फ इतना है कि विभिन्न दर्शन हैं जिनके द्वारा आप घनत्व मैट्रिक्स के अर्थ और प्रासंगिकता को समझ सकते हैं।

| Ψ_{A B} ⟩

$|\Psi_{AB}\rangle$

| Ψ_{A} ⟩

$|\Psi_A\rangle$

— दफ्तुल्ली

घनत्व मैट्रिक्स के पीछे प्रेरणा ^[1] :

क्वांटम यांत्रिकी में, एक क्वांटम प्रणाली की स्थिति को एक राज्य वेक्टर द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है $|\psi\rangle$ (और स्पष्ट केट )। एक राज्य वेक्टर के साथ एक क्वांटम प्रणाली $|\psi\rangle$ एक शुद्ध राज्य कहा जाता है । हालांकि, यह एक प्रणाली के लिए अलग-अलग राज्य वैक्टर के सांख्यिकीय पहनावा में होना भी संभव है। उदाहरण के लिए, एक हो सकता है $50\%$ संभावना है कि राज्य वेक्टर है $|\psi_1\rangle$ और एक $50\%$ मौका है कि राज्य वेक्टर है $|\psi_2\rangle$ । यह प्रणाली मिश्रित अवस्था में होगी । घनत्व मैट्रिक्स मिश्रित राज्यों के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, क्योंकि किसी भी राज्य, शुद्ध या मिश्रित, एक एकल घनत्व मैट्रिक्स द्वारा विशेषता हो सकती है। एक मिश्रित राज्य एक क्वांटम सुपरपोजिशन से अलग है। एक मिश्रित अवस्था में संभाव्यताएं शास्त्रीय संभावनाएं होती हैं (जैसे कि संभाव्यताएं शास्त्रीय संभाव्यता सिद्धांत / सांख्यिकी में सीखती हैं), एक क्वांटम सुपरपोजिशन में क्वांटम संभावनाओं के विपरीत। वास्तव में, शुद्ध राज्यों का एक क्वांटम सुपरपोजिशन एक और शुद्ध राज्य है, उदाहरण के लिए, $\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$ । इस मामले में, गुणांक $\frac{1}{\sqrt {2}}$ संभावनाएं नहीं हैं, बल्कि संभावना आयाम हैं।

उदाहरण: प्रकाश ध्रुवीकरण

शुद्ध और मिश्रित राज्यों का एक उदाहरण प्रकाश ध्रुवीकरण है। फोटॉन में दो हेलीकॉप्टर हो सकते हैं , जो दो ऑर्थोगोनल क्वांटम राज्यों के अनुरूप होते हैं, $|R\rangle$ (सही परिपत्र ध्रुवीकरण ) और $|L\rangle$ (बाएँ गोलाकार ध्रुवीकरण )। एक फोटॉन भी एक सुपरपोजिशन स्थिति में हो सकता है, जैसे कि $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$ (वर्टिकल पोलराइजेशन) या $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt{2}}$ (क्षैतिज ध्रुवीकरण)। अधिक आम तौर पर, यह किसी भी राज्य में हो सकता है $\alpha|R\rangle + \beta |L\rangle$ (साथ में $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ ) रैखिक , परिपत्र या अण्डाकार ध्रुवीकरण के अनुरूप । अगर हम पास हो गए $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$ एक परिपत्र ध्रुवीय के माध्यम से ध्रुवीकृत प्रकाश जो केवल या तो अनुमति देता है $|R\rangle$ ध्रुवीकृत प्रकाश, या केवल $|L\rangle$ ध्रुवीकृत प्रकाश, दोनों मामलों में तीव्रता आधी हो जाएगी। इससे ऐसा लग सकता है कि आधे फोटॉन राज्य में हैं $|R\rangle$ और दूसरे राज्य में $|L\rangle$ । लेकिन यह सही नहीं है: दोनों $|R\rangle$ तथा $|L\rangle$ आंशिक रूप से एक ऊर्ध्वाधर रैखिक ध्रुवीकरण द्वारा अवशोषित किया जाता है , लेकिन $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ प्रकाश बिना किसी अवशोषण के उस ध्रुवीकरण से गुजरेगा।

हालांकि, एकध्रुवीय प्रकाश बल्ब से प्रकाश जैसे अप्रकाशित प्रकाश किसी भी राज्य की तरह अलग है $\alpha|R\rangle + \beta|L\rangle$ (रैखिक, परिपत्र या अण्डाकार ध्रुवीकरण)। रैखिक या अण्डाकार रूप से ध्रुवीकृत प्रकाश के विपरीत, यह ध्रुवीय के माध्यम से गुजरता है $50\%$ ध्रुवीकरण का जो भी अभिविन्यास है उसकी तीव्रता में कमी; और गोलाकार ध्रुवीकृत प्रकाश के विपरीत, इसे किसी भी तरंग प्लेट के साथ रैखिक रूप से ध्रुवीकृत नहीं किया जा सकता है क्योंकि यादृच्छिक रूप से उन्मुख ध्रुवीकरण एक तरंग प्लेट से यादृच्छिक अभिविन्यास के साथ निकलेगा। वास्तव में, अप्रकाशित प्रकाश को किसी भी रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है $\alpha |R\rangle + \beta |L\rangle$ एक निश्चित अर्थ में। हालांकि, अप्रकाशित प्रकाश को पहनावा औसत के साथ वर्णित किया जा सकता है, जैसे कि प्रत्येक फोटॉन या तो $|R\rangle$ साथ में $50\%$ संभावना या $|L\rangle$ साथ में $50\%$ संभावना। यदि प्रत्येक फोटॉन या तो लंबवत ध्रुवीकृत था, तो ऐसा ही व्यवहार होगा $50\%$ संभावना या क्षैतिज रूप से ध्रुवीकृत $50\%$ संभावना।

इसलिए, अलोकित प्रकाश को किसी भी शुद्ध अवस्था द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है, लेकिन इसे कम से कम दो तरीकों से शुद्ध राज्यों के सांख्यिकीय पहनावा के रूप में वर्णित किया जा सकता है (आधे बाएं और आधे दाएं गोलाकार ध्रुवीकृत का पहनावा, या आधा लंबवत और आधा क्षैतिज रूप से रैखिक रूप से ध्रुवीकृत पहनावा )। ये दो पहनावा पूरी तरह से प्रयोगात्मक रूप से अप्रभेद्य हैं, और इसलिए उन्हें एक ही मिश्रित अवस्था माना जाता है। घनत्व मैट्रिक्स के फायदों में से एक यह है कि प्रत्येक मिश्रित राज्य के लिए सिर्फ एक घनत्व मैट्रिक्स है, जबकि प्रत्येक मिश्रित राज्य के लिए शुद्ध राज्यों के कई सांख्यिकीय नमूने हैं। फिर भी, घनत्व मैट्रिक्स में मिश्रित राज्य की किसी भी औसत दर्जे की संपत्ति की गणना करने के लिए आवश्यक सभी जानकारी शामिल है।

मिश्रित राज्य कहाँ से आते हैं? इसका उत्तर देने के लिए, विचार करें कि कैसे अप्रकाशित प्रकाश उत्पन्न किया जाए। एक तरीका थर्मल संतुलन में एक प्रणाली का उपयोग करना है , माइक्रोस्टेट के विशाल संख्याओं का एक सांख्यिकीय मिश्रण , प्रत्येक एक निश्चित संभावना ( बोल्ट्ज़मन कारक ) के साथ, थर्मल उतार-चढ़ाव के कारण एक से दूसरे में तेजी से स्विच करना । थर्मल यादृच्छिकता बताती है कि एक गरमागरम प्रकाश बल्ब , उदाहरण के लिए, अप्रकाशित प्रकाश का उत्सर्जन करता है। एकध्रुवीय प्रकाश उत्पन्न करने का दूसरा तरीका सिस्टम की तैयारी में अनिश्चितता का परिचय देना है, उदाहरण के लिए, इसे एक द्विभाजित क्रिस्टल से गुजरनाएक खुरदरी सतह के साथ, ताकि बीम के थोड़ा अलग हिस्से अलग-अलग ध्रुवीकरण प्राप्त कर सकें। एकतरफा प्रकाश उत्पन्न करने के लिए तीसरा तरीका एक ईपीआर सेटअप का उपयोग करता है: एक रेडियोधर्मी क्षय दो फोटॉनों को विपरीत दिशाओं में यात्रा कर सकता है, क्वांटम स्थिति में $\frac{|R,L\rangle + |L,R\rangle}{\sqrt{2}}$ । एक साथ दो फोटॉन एक शुद्ध स्थिति में हैं, लेकिन यदि आप केवल एक फोटॉन को देखते हैं और दूसरे को अनदेखा करते हैं, तो फोटॉन केवल अप्रकाशित प्रकाश की तरह व्यवहार करता है।

आम तौर पर, मिश्रित राज्य आमतौर पर प्रारंभिक अवस्था (जैसे थर्मल संतुलन) में एक सांख्यिकीय मिश्रण से उत्पन्न होते हैं, तैयारी प्रक्रिया में अनिश्चितता से (जैसे कि थोड़ा अलग पथ जो एक फोटॉन यात्रा कर सकता है), या एक सबसिस्टम को देखने से उलझा हुआ कुछ और।

घनत्व मैट्रिक्स को प्राप्त करना ^[2] :

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, एक प्रणाली विभिन्न राज्य वैक्टर के सांख्यिकीय कलाकारों की टुकड़ी में हो सकती है। कहते हैं कि है $p_1$ संभावना है कि राज्य वेक्टर है $|\psi_1\rangle$ तथा $p_2$ संभावना है कि राज्य वेक्टर है $|\psi_2\rangle$ प्रत्येक राज्य की संगत शास्त्रीय संभावनाएं तैयार की जा रही हैं।

कहो, अब हम एक ऑपरेटर की उम्मीद का मूल्य ढूंढना चाहते हैं $\hat{O}$ । यह इस प्रकार है:

⟨ \hat{O} ⟩ = p_{1} ⟨ ψ_{1} | \hat{O} | ψ_{1} ⟩ + p_{2} ⟨ ψ_{2} | \hat{O} | ψ_{2} ⟩

$\langle \hat{O} \rangle = p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle + p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$

ध्यान दें कि $\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle$ तथा $p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$ स्केलर हैं, और स्केलर के निशान स्केलर भी हैं। इस प्रकार, हम उपरोक्त अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिख सकते हैं:

⟨ \hat{O} ⟩ = T r (p_{1} ⟨ ψ_{1} | \hat{O} | ψ_{1} ⟩) + T r (p_{2} ⟨ ψ_{2} | \hat{O} | ψ_{2} ⟩)

$\langle \hat{O} \rangle = Tr(p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle) + Tr(p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle)$

अब, ट्रेस के चक्रीय invariance और रैखिकता गुणों का उपयोग कर :

⟨ \hat{O} ⟩ = p_{1} T r (\hat{O} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} |) + p_{2} T r (\hat{O} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |)

$\langle \hat{O} \rangle = p_1Tr(\hat{O} \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2Tr(\hat{O} \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)$

= T r (\hat{O} (p_{1} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} |) + p_{2} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |)) = T r (\hat{O} ρ)

$= Tr(\hat{O} (p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)) = Tr(\hat{O} \rho)$

कहाँ पे $\rho$ जिसे हम घनत्व मैट्रिक्स कहते हैं। घनत्व ऑपरेटर में प्रयोग के लिए एक अपेक्षा मूल्य की गणना करने के लिए आवश्यक सभी जानकारी शामिल है।

इस प्रकार, मूल रूप से घनत्व मैट्रिक्स $\rho$ है

{पी}_{1} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} | + {पी}_{2} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |

$p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert$ इस मामले में।

आप स्पष्ट रूप से इस तर्क को अलग कर सकते हैं जब एक सिस्टम के लिए दो से अधिक राज्य वैक्टर अलग-अलग संभावनाओं के साथ संभव हैं।

घनत्व मैट्रिक्स की गणना:

एक उदाहरण लेते हैं, निम्नानुसार है।

उपरोक्त छवि में, गरमागरम प्रकाश बल्ब $1$ पूरी तरह से यादृच्छिक ध्रुवीकृत फोटोन का उत्सर्जन करता है $2$ मिश्रित राज्य घनत्व मैट्रिक्स के साथ।

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, एक अप्रकाशित प्रकाश को एक पहनावा औसत के साथ समझाया जा सकता है या कहें कि प्रत्येक फोटॉन या तो है $|R\rangle$ या $|L\rangle$ साथ में $50%$ प्रत्येक के लिए संभावना। एक और संभावित पहनावा औसत है: प्रत्येक फोटॉन या तो है $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ या $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ साथ में $50\%$ प्रत्येक के लिए संभावना। अन्य संभावनाएं भी बहुत हैं। कुछ खुद के साथ आने की कोशिश करें। ध्यान देने वाली बात यह है कि इन सभी संभावित पहनावों के लिए घनत्व मैट्रिक्स बिल्कुल समान होगा। और यही कारण है कि शुद्ध मैट्रिक्स में घनत्व मैट्रिक्स का अपघटन अद्वितीय नहीं है। चलो देखते है:

केस 1 : $50\%$ $|R\rangle$ और $50\%$ $|L\rangle$

ρ_{mixed} = 0.5 | R ⟩ ⟨ R | + 0.5 | L ⟩ ⟨ L |

$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 |R\rangle \langle R| + 0.5 |L\rangle \langle L|$

अब, आधार में $\{|R\rangle, |L\rangle\}$ , $|R\rangle$ के रूप में चिह्नित किया जा सकता है $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ तथा $|L\rangle$ के रूप में चिह्नित किया जा सकता है $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 0.5 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0.5 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$

= 0.5 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0.5 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$

केस 2 : $50\%$ $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ और $50\%$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$

ρ_{mixed} = 0.5 (\frac{| R ⟩ + | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | + ⟨ L |}{\sqrt{2}}) + 0.5 (\frac{| R ⟩ - | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | - ⟨ L |}{\sqrt{2}})

$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0.5 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$

आधार में $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$ , $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ के रूप में चिह्नित किया जा सकता है $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ तथा $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ के रूप में चिह्नित किया जा सकता है $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 0.5 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0.5 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

= 0.5 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0.5 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$ इस प्रकार, हम स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि हमें केस 1 और केस 2 दोनों में समान घनत्व वाले मेट्रिसेस मिलते हैं।

हालांकि, ऊर्ध्वाधर विमान ध्रुवीय (3) से गुजरने के बाद, शेष फोटॉन सभी लंबवत ध्रुवीकृत (4) हैं और शुद्ध राज्य घनत्व मैट्रिक्स हैं:

ρ_{शुद्ध} = 1 (\frac{| आर ⟩ + | एल ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ आर | + ⟨ एल |}{\sqrt{2}}) + 0 (\frac{| आर ⟩ - | एल ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ आर | - ⟨ एल |}{\sqrt{2}})

$\rho_{\text{pure}} = 1 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$

आधार में $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$ , $|R\rangle$ के रूप में चिह्नित किया जा सकता है $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ तथा $|L\rangle$ के रूप में चिह्नित किया जा सकता है $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 1 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

$\therefore 1 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$

= 1 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

एकल qubit मामले:

इस मामले में, घनत्व मैट्रिक्स बस होगा:

ρ_{शुद्ध} = 1 | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$\rho_{\text{pure}} = 1|\psi\rangle \langle \psi|$

यदि आप orthonormal आधार का उपयोग कर रहे हैं $\{\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle,\beta^*|0\rangle - \alpha^*|1\rangle\}$ ,

घनत्व मैट्रिक्स बस होगा:

[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

यह ऊपर दिए गए 'केस 2' के समान है, इसलिए मैंने गणनाएँ नहीं दिखाईं। यदि यह भाग अस्पष्ट लगता है तो आप टिप्पणियों में प्रश्न पूछ सकते हैं।

हालाँकि, आप भी उपयोग कर सकते हैं $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ जैसा कि @DaftWullie ने अपने जवाब में किया था ।

1-qubit राज्य के लिए सामान्य मामले में, घनत्व मैट्रिक्स, में $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ आधार होगा:

ρ = 1 (α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩) \otimes (α^{*} ⟨ 0 | + β^{*} ⟨ 1 |)

$\rho = 1(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes (\alpha^* \langle 0| + \beta^* \langle 1|)$

= [\begin{matrix} α \\ β \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} α^{*} & β^{*} \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} \alpha^* & \beta^* \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} α α^{*} & α β^{*} \\ β α^{*} & β β^{*} \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} \alpha\alpha^* & \alpha\beta^* \\ \beta\alpha^* & \beta\beta^* \end{bmatrix}$

ध्यान दें कि यह मैट्रिक्स $\rho$ आलसी है यानी $\rho = \rho^2$ । यह शुद्ध राज्य के घनत्व वाले मैट्रिसेस की एक महत्वपूर्ण संपत्ति है और हमें मिश्रित राज्यों के घनत्व मैट्रिसेस से उन्हें अलग करने में मदद करता है।

अप्रचलित व्यायाम:

1. दिखाएँ कि शुद्ध राज्यों के घनत्व को रूप से विकर्ण किया जा सकता है $\text{diag}(1,0,0,...)$ ।
2. सिद्ध करें कि शुद्ध राज्यों के घनत्व परिपक्व होते हैं।

स्रोत और संदर्भ :

[१] : https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix

[२] : https://physics.stackexchange.com/a/158290

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विकिमीडिया पर उपयोगकर्ता Kaidor

— संचेतन दत्ता
स्रोत

यह पहली बार में थोड़ा भ्रमित कर रहा है कि आप अपनी प्रारंभिक स्थिति के रूप में क्या विचार कर रहे हैं। शायद स्विचिंग पर विचार करें | L> और | R> से | H> और | V> (D के लिए ध्रुवीकरण के साथ)। जबकि तकनीकी रूप से यह कुछ आधार में समान सामान है, मुझे लगता है कि एच, वी आधार में ध्रुवीकरण के बारे में सोचना अधिक स्वाभाविक है।

— स्टीवन सगोना

मुझे लगता है कि यह सवाल शुद्ध और मिश्रित के बीच भिन्नता के सबसे बुनियादी पहलू को याद करता है, और यह है कि मिश्रित राज्य यांत्रिक रूप से क्वांटम का व्यवहार नहीं करते हैं। आप कहते हैं कि राज्य शास्त्रीय मिश्रण हैं, लेकिन आप इस बात की ओर ध्यान नहीं देते हैं कि कैसे सूक्ष्मतम रूप से क्वांटम यांत्रिक रूप से व्यवहार करते हैं (जो nontrivial है)। उदाहरण के लिए यदि आपके पास 1qubit के सुपरपोजिशन में कुछ है तो प्रत्येक विकल्प का 50/50 मौका भी है। तो यह अवस्था एक शास्त्रीय से अलग कैसे है। मुझे लगता है कि हम दिखाते हैं कि हम एक सुपरपोज़िशन राज्य का "क्वांटम हस्तक्षेप" कैसे देख सकते हैं कि अंतर को ठीक से कैसे समझा जाए।

— स्टीवन सगोना

: ^ यह विचार यहां थोड़ा चर्चा की है physics.stackexchange.com/questions/409205/...

— स्टीवन Sagona

@StevenSagona कि बाहर इशारा करने के लिए धन्यवाद। मैं अपना जवाब अपडेट करूंगा।

— सांच्यन दत्ता

शुद्ध राज्यों और मिश्रित राज्यों के लिए घनत्व परिपक्वता